Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) In Kapitel 1 wurde das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren Zahlen mittels Vielfachenmengen bestimmt. Eine weitere Methode ist die Primfaktorenzerlegung. Da das kgV ein Vielfaches aller Zahlen sein muss, wird folgende Überlegung verwendet: Jeder Primfaktor der Zahlen, muss auch ein Primfaktor des kleinsten gemeinsamen Vielfachen sein. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 252 und 420. 420 2 252 2 1) Es werden die Primfaktoren von 252 und 420 angeschrieben. 210 2 126 2 2) Umrande zuerst alle Primfaktoren der größeren Zahl. 105 3 63 3 3) Streiche diese bei der kleineren Zahl durch. 35 5 21 3 4) Umrande anschließend die übrig gebliebenen Primfaktoren 7 7 7 7 bei der zweiten Zahl. 1 1 5) Das kgV ist das Produkt der umrandeten Zahlen. kgV(252; 420) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 3 Beachte, dass das Produkt 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 die erste Zahl, = 420 ∙ 3 = 1 260 also 420 ergibt. Das erleichtert die Rechnung. 108 Berechne das kgV der beiden Zahlen. i) Löse im Kopf. ii) Löse mit Hilfe von Vielfachenmengen. iii) Löse mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung. a) 6; 9 b) 8; 12 c) 22; 33 d) 8; 24 e) 8; 7 f) 40; 60 109 Gegeben ist die Primfaktorenzerlegung von zwei Zahlen. Gib das kgV an. a) 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 b) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 c) 189 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5 kgV 210; 42= kgV 24; 180= kgV 189; 45= 110 Berechne das kgV der beiden Zahlen und überprüfe dein Ergebnis. a) 120; 80 b) 20; 35 c) 63; 99 d) 693; 154 e) 70; 100 f) 64; 14 111 Berechne das kgV der drei Zahlen mit der Primfaktorenzerlegung. a) 18; 24; 36 b) 22; 33; 44 c) 50; 60; 70 d) 40; 60; 120 112 Markus hat das kgV von zwei Zahlen bestimmt. Dabei ist ihm ein Fehler passiert. Finde diesen und erkläre, welcher Fehler gemacht wurde. a) 24; 28= 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 4 ∙ 3 = 336 b) 36; 40= 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 180 28 2 24 2 36 2 40 2 14 2 12 4 18 2 20 2 7 7 3 3 9 3 10 2 1 1 3 3 5 5 1 1 113 Für zwei beliebige natürliche Zahlen a und b gilt folgender Zusammenhang: a ∙ b = ggT(a; b) ∙ kgV(a; b) a) Überprüfe den Zusammenhang anhand der beiden Zahlen: i) 30; 40 ii) 18; 20 iii) 250; 350 b) Welche Folgerung erhältst du für teilerfremde Zahlen? Ó Arbeitsblatt n266kx Muster H2 H2 H2 H2 H4 H3 Überprüfe, ob beide Zahlen ein Teiler vom kgV sind Hier müssen die Primfaktoren von allen Zahlen im kgV vorkommen 24 5 Der ggT und das kgV mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv
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