Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen Teiler und Vielfache Kann man eine natürliche Zahl n durch eine natürliche Zahl t ohne Rest dividieren, dann nennt man t Teiler von n und n ein Vielfaches von t. t | n 3 ist ein Teiler von 9: 3 | 9 9 ist ein Vielfaches von 3 Teilermengen und Vielfachenmengen Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl n nennt man Teilermenge von n und schreibt T n. 1 und die Zahl selbst sind stets Teiler von n. Man nennt diese unechte Teiler. Alle anderen Teiler nennt man echte Teiler. Die Menge aller Vielfachen einer Zahl n nennt man Vielfachenmenge von n und schreibt V n. T 12= {1, 2, 3, 4, 6, 12} unechte Teiler von 12: 1 und 12 echte Teiler von 12: 2, 3, 4, 6 V 12= {12, 24, 36, 48, 60, 72 …} Die Summen- und Produktregel Summenregel: t | a und t | b w t | (a + b) Produktregel: t | a w t | (c ∙ a) Summenregel: 4 | 100 und 4 | 24 w 4 | 124 Produktregel: 4 | 12 w 4 | (3 ∙ 12) Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist genau dann durch … ææ 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. ææ 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. ææ 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen eine durch 4 teilbare Zahl bilden. ææ 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist. ææ 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. ææ 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen eine durch 8 teilbare Zahl bilden. ææ 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. ææ 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. 2 | 6 120, weil die letzte Ziffer 0 ist 3 | 6 120, weil die Ziffernsumme (9) durch 3 teilbar ist 4 | 6 120, weil 20 durch 4 teilbar ist 5 | 6 120, weil die letzte Ziffer 0 ist 6 | 6 120, weil die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist 8 | 6 120, weil 120 durch 8 teilbar ist 9 | 6 120, weil die Ziffernsumme (9) durch 9 teilbar ist 10 | 6 120, weil die letzte Ziffer 0 ist Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen Primzahlen sind natürliche Zahlen, größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Alle natürlichen Zahlen, größer als 1, die keine Primzahlen sind, nennt man zusammengesetzte Zahlen. P = {2,3,5,7,11,13,17,…} …Menge der Primzahlen Beispiele für zusammengesetzte Zahlen: 4, 6, 8, 9 Primfaktorenzerlegung: 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen kann mit Teilermengen oder mit der Primfaktorenzerlegung bestimmt werden. Zwei Zahlen, deren ggT 1 ist, nennt man teilerfremde Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen kann mit Vielfachenmengen oder mit der Primfaktorenzerlegung bestimmt werden. 26 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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