A B C D E F Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Auch mit E-Book+ erhältlich
Mathematik verstehen 1, Schülerbuch mit E-Book Schulbuchnummer 170055 Mathematik verstehen 1, Schülerbuch mit E-Book+ Schulbuchnummer 190237 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 17. Juli 2014, GZ 5.018/0079-B/8/2013, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 1. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 25. August 2020, GZ. 2020-0.379.779 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 1, Schülerbuch“ (BNR 170.055) kein Einwand besteht. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 5. Juli 2019, GZ BMB-5.018/0071IT/3/2017, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 1. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 25. August 2020, GZ. 2020-0.379.615 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 1, Schülerbuch mit E-BOOK+“ (BNR 190.237) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Ó 7uj3qa Informationen für Lehrerinnen und Lehrer auf www.oebv.at im Bereich Digitales Zusatzmaterial. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: Klaus Vedfelt / Getty Images 1. Auflage (Druck 0002) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2021 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien; Mag.a Thi Quach Herstellung: Pia Moest, Wien; Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11145-6 (Mathematik verstehen SB 1 + E-Book) ISBN 978-3-209-11157-9 (Mathematik verstehen SB 1 + E-Book+) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Handlungsbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Darstellen, Modellbilden (H1) 1.06 … Operieren, Rechnen (H2) 1.07 … Interpretieren (H3) 1.08 … Argumentieren, Begründen (H4) Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Code am Ende der Seite angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online-Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Die Abkürzung Info führt zu weiteren Hintergrundinformationen. Jene mit Demo bietet interaktive Applets zum besseren Theorieverständnis. Unter Übung gibt es weitere Übungsaufgaben, die direkt am Computer zu lösen sind. Die Abkürzung Werkzeug kennzeichnet Aufgaben, die mittels Technologie (GeoGebra, Tabellenkalkulation, …) gelöst werden können. Für diese Aufgaben ist der Einsatz des Taschenrechners sinnvoll. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 284. D O I A C B Ó ó Hier siehst du, in welchem Inhaltsbereich du dich gerade befindest. 2 Inhaltsbereich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Ein neuer Anfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I1: Zahlen und Maße 1 Natürliche Zahlen 10 1.1 Zählen und Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Zeichen, Ziffern und Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Zahlen ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Zahlen runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 EXTRABLATT Null, eins, zwei, drei, … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6 Kompetenzcheck 34 2 Mit natürlichen Zahlen rechnen 36 2.1 Natürliche Zahlen addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Natürliche Zahlen multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4 EXTRABLATT Spaß am Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.5 Kompetenzcheck 78 3 Zahlen in Dezimaldarstellung 80 3.1 Die Unterteilung der Einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Zahlen in Dezimaldarstellung ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3 Zahlen in Dezimaldarstellung runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4 Zahlen in Dezimaldarstellung addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5 Zahlen in Dezimaldarstellung multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.6 Zahlen in Dezimaldarstellung dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.7 Alle Grundrechenarten mit Zahlen in Dezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.8 EXTRABLATT Rund ums Komma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.9 Kompetenzcheck 110 4 Länge, Masse, Temperatur, Zeit 112 4.1 Wir vermessen unsere Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2 Längenmaße 113 4.3 Massenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6 EXTRABLATT Alles in Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.7 Kompetenzcheck 126 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Zahlen in Bruchdarstellung 128 5.1 Teile des Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.2 Zahlen in Bruch- und Dezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3 Zahlen in Bruchdarstellung ordnen 135 5.4 Zahlen in Bruchdarstellung addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5 Zahlen in Bruchdarstellung multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6 Zahlen in Bruchdarstellung dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.7 EXTRABLATT Teilen – einst und jetzt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.8 Kompetenzcheck 148 I2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 6 Mit Variablen arbeiten 150 6.1 Was ist eine Variable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.2 Variablen und Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3 Terme aufstellen und deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.4 Gleichungen aufstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5 Gleichungen lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.6 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.7 Direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.8 EXTRABLATT Gleich, gleicher, Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.9 Kompetenzcheck 166 I3: Geometrische Figuren und Körper 7 Einführung in die Geometrie 168 7.1 Punkte, Strecken, Strahlen, Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.2 Winkel und Winkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.4 EXTRABLATT Vom Punkt zur Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.5 Kompetenzcheck 184 8 Kreis und Kreisteile 186 8.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.2 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.3 Fläche und Flächenteile des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.4 EXTRABLATT Es geht rund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.5 Kompetenzcheck 198 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
9 Rechteck und Quadrat 200 9.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.2 Rechteck und Quadrat konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.3 Der Umfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.4 Der Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.5 EXTRABLATT Alles recht eckig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.6 Kompetenzcheck 214 10 Der Maßstab 216 10.1 Der Verkleinerungsmaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.2 Der Vergrößerungsmaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.3 EXTRABLATT Fern und nah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.4 Kompetenzcheck 226 11 Quader und Würfel 228 11.1 Geometrie im Raum 228 11.2 Schrägriss und Netz von Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.3 Volumen von Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.4 Oberflächeninhalt von Quader und Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.5 EXTRABLATT Würfelspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.6 Kompetenzcheck 256 I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 12 Datenmengen 258 12.1 Daten darstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 12.2 Daten auswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 12.3 EXTRABLATT Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.4 Kompetenzcheck 276 Lösungen zum Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Stichwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mein Schulweg 1 Beantworte die Fragen und zeichne deine Angaben mit Hilfe von Zeigern auf die Ziffernblätter! 1) Wann bist du heute von zuhause 2) Wie spät war es, als du in der Schule weggegangen? angekommen bist? 3) Wie viele Minuten warst du von zuhause in die Schule unterwegs? 4) Wann bist du gestern von der Schule 5) Wie spät war es, als du zuhause weggegangen? angekommen bist? 6) Wie lang war dein gestriger Nachhauseweg? 2 1) Wie gestaltet sich dein Schulweg? Kreuze an, wie du in die Schule kommst! zu Fuß mit dem Fahrrad mit dem Roller mit dem Bus mit der Bahn mit der Straßenbahn mit der U-Bahn mit dem Auto mit 2) Schätze, wie viele Kilometer dein Zuhause von der Schule entfernt ist! 3) Stellt euch in einer Reihe von der kürzesten zur längsten Entfernung auf! C Ein neuer Anfang 6 Wie lang brauchst du zur Schule? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Das bin ich – mein Steckbrief 3 Mein Name ist . Mein Geburtstag ist am . Meine Augenfarbe ist . Meine Körpergröße beträgt . Diese Farbe gefällt mir am besten: . Am liebsten esse ich . Ich spreche folgende Sprachen: . Das ist mein Lieblingstier: . Dieses Lied gefällt mir am besten: . Das ist mein Lieblingsbuch: . Dieser Film hat mich begeistert: . 4 Kreuzzahlrätsel: Löst untenstehende Aufgaben und tragt die Ergebnisse zur Kontrolle waagrecht bzw. senkrecht in die gekennzeichneten Felder ein! In jedem Feld steht nur eine Ziffer. waagrecht: senkrecht: A Anzahl der Stunden an einem Tag A das Doppelte von 125 B 11 mit sich selbst multipliziert B die Differenz von 2000 und 752 D das Vierfache von 65 C die Summe von 1 540 und 896 G Anzahl der Wochen im Jahr D das Zehnfache von 276 H Anzahl der Monate in zwei Jahren E das Vierfache von 155 I 12·12·12 F Schreibe den 8. November als TTMM! K die Summe von 2459 und 1142 I 9999 + 3692 L das Dreifache von 462 J das Dreifache von 2452 M Wie viele Minuten hat eine Stunde? L das Doppelte von 85 minus 3 N Wie viele Tage hat ein Jahr? N die Differenz von 100 und 62 O Anzahl der Februar-Tage im Schaltjahr? P Anzahl der Tage im April Q Wie viele Stunden hat ein Jahr? R Schreibe den 15. März als TTMM! B A2 4 1 2 1 5 0 B C D E F G H I Q R J K L M N O P 1 7 Ein neuer Anfang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung der Grundrechenarten 5 Berechne im Kopf und schreibe die Ergebnisse in das jeweils passende leere Feld! 6 Berechne und ringle das richtige Ergebnis mit Buntstift ein! a) 167 + 56 213 223 233 323 b) 426 + 274 590 600 690 700 c) 257 – 71 167 176 186 196 d) 352 – 89 163 253 263 273 7 Berechne und ringle das richtige Ergebnis mit Buntstift ein! a) 248·4 888 892 992 1 082 b) 302·11 322 3002 3022 3322 c) 7255 140 145 205 245 d) 1 6667 239 229 238 246 8 Überlege, wie die Zahlenfolge gebildet wird, und setze sie fort! a) 160 140 120 100 b) 165 150 135 120 c) 16 28 40 52 d) 84 92 100 108 e) 257 246 235 224 f) 570 520 470 420 g) 197 206 215 224 h) 1 000 900 800 700 i) 60 100 140 180 ÷7 ·9 ·2 - 6 ÷10 + 14 + 11 6 ÷3 ÷7 ·2 ·5 -7 -27 +16 +40 9 ÷6 ÷12 ÷11 ·4 ·11 -17 +14 +17 7 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ein neuer Anfang EXTRABLATT Was ist Mathematik? Mathematik ist mehr als Rechnen. Der Begriff „Mathematik“ bedeutet „Kunst des Lernens“. Vor vielen Jahrhunderten verstand man darunter das Untersuchen von Figuren und das Rechnen mit Zahlen. Heute ist Mathematik eine Wissenschaft, die sich mit Zahlen, Größen, Mengen und Figuren beschäftigt. Das Rechnen ist zwar nur ein Teilbereich. Ohne das Rechnen wäre mathematisches Arbeiten aber kaum denkbar. Die mathematische Welt ist unsere Welt. Mathematik ist nichts Fernes und Fremdes, das man nur in der Schule kennenlernt und dann nie wieder braucht. Mathematik findet man im Sport, in Gesprächen, in Zeitungen, in Geschichten, auf Reisen, in Vorhersagen, in Wissenschaft und Technik sowie in vielen weiteren Bereichen unseres Alltags. Daneben ist Mathematik geschichtlich betrachtet eine großartige Leistung vieler Menschen, die wichtige Aussagen getroffen haben, die auch heute noch gültig sind. Der Nutzen und die Einsatzmöglichkeiten der Mathematik werden immer größer. Daher ist Mathematik in unseren Tagen immer noch ein bedeutendes Forschungsgebiet. Mathematik betreibt man seit ungefähr 30000 Jahren. Aus dieser Zeit stammen Knochen, die viele Kerben enthalten. Forscherinnen und Forscher sind sich sicher, dass es sich hier um frühe Darstellungen von Zahlen handelt. Vor ungefähr 5 000 Jahren benutzten die Babylonier und Ägypter hoch entwickelte mathematische Verfahren, zB für Landvermessungen. Vor etwa 2 500 Jahren haben die Griechen die Mathematik begründet, die wir heute kennen. Mathematische Beweise gelten heute noch ganz genauso. 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I 1 Zahlen und Maße 1.1 Zählen und Zahlen Seit vielen tausend Jahren ist das Zählen für die Menschen wichtig. Während zwei oder drei Gegenstände auf einmal überblickt werden können, muss ab ungefähr fünf Gegenständen tatsächlich abgezählt werden. Das Ergebnis dieses Abzählens ist eine Zahl. 1.01 Zählt in eurem Klassenraum Personen oder Gegenstände und schreibt die Zahl auf! Wer hat die größte Zahl, wer hat die kleinste Zahl aufgeschrieben? 1.02 Auf dem ersten Bild seht ihr keine Gummibärchen, auf dem zweiten Bild seht ihr drei Gummibärchen. Um die Zahl der Gummibärchen auf dem dritten Bild herauszufinden, müsst ihr sie zählen. Wie viele Gummibärchen sind auf dem dritten Bild zu sehen? Die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, … nennt man natürliche Zahlen. C B O Arbeitsheft S 3 Deine Ziele in diesem Kapitel • Grundkenntnisse über natürliche Zahlen erwerben und einsetzen können. • Natürliche Zahlen im jeweiligen Zusammenhang deuten können. • Sachverhalte in mathematische Darstellungen übertragen und diese bewerten können. • Eigenschaften und Beziehungen von natürlichen Zahlen begründen können. 1 Natürliche Zahlen 10 Wie viele? Wie groß? An welcher Stelle? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Diese Folge von Zahlen hat kein Ende. Man kann beliebig lang weiterzählen. Daher gibt es auch keine größte natürliche Zahl. Es lässt sich stets eine finden, die größer als die genannte ist. Natürliche Zahlen nennt man diese deshalb, weil sie in der Natur bzw. im Alltag vorkommen, zB: zwei Kinder, zehn Bäume, 78 Häuser, ein Tisch, kein Fahrrad, fünf Katzen usw. Aufgaben 1.03 Versuche zu erklären, warum es keine größte natürliche Zahl geben kann! 1.04 Warum ist es sinnvoll, die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen zu zählen? Hinweis: Wie viele Sessel, Fenster, Autos, … befinden sich in deinem Klassenzimmer? 1.05 Schätzt, wie viele Perlen auf diesem Bild zu sehen sind! Hinweis: Zählt die Perlen in einem kleinen Kästchen! Insgesamt ist das Bild in 25 gleich große Kästchen unterteilt. Überlegt, wie man so ungefähr auf die richtige Zahl kommen kann! 1.06 Schreibe alle natürlichen Zahlen auf, die zwischen a) 4 und 11, b) 15 und 27, c) 97 und 113 liegen! Wie viele Zahlen sind das? 1.07 Jemand behauptet: „Zwischen 8 und 14 liegen die natürlichen Zahlen 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.“ Bist du mit dieser Behauptung einverstanden? Wie lautet dein Standpunkt? Vorgänger und Nachfolger einer natürlichen Zahl In der Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, 4, 5, … gibt es zu jeder Zahl – außer zur Zahl 0 – einen Vorgänger. Dieser ist beim gewohnten Zählen immer unmittelbar vor der betreffenden Zahl. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger, der sich beim Zählen immer unmittelbar nach der betreffenden Zahl befindet. Bei der Zahl 7 sieht das so aus: … 6 7 8 … Vorgänger von 7 Nachfolger von 7 Der Nachfolger ist stets um 1 größer, der Vorgänger stets um 1 kleiner als die betreffende Zahl. Daher kann die Zahl 0auch keine natürliche Zahl als Vorgänger haben. Aufgaben 1.08 Gib den Vorgänger der Zahl an! Erkläre, wie du den Vorgänger ermittelst! a) 8 c) 200 e) 14000 b) 19 d) 979 f) 2340212 1.09 Gib den Nachfolger der Zahl an! Erkläre, wie du den Nachfolger ermittelst! a) 7 c) 298 e) 14199 b) 29 d) 879 f) 2340200 1.10 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl an! a) 700 c) 2000 b) 851 d) 101 400 A A I B D I D Ó Übung – 45g46y D D Ó 1 11 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Gerade und ungerade Zahlen Die natürlichen Zahlen lassen sich in gerade Zahlen (0, 2, 4, 6, 8, …) und in ungerade Zahlen (1, 3, 5, 7, 9, …) einteilen. Beispiel: Die gerade Zahl 8 lässt sich in einer Zweierreihe von Gummibärchen darstellen. Mit der ungeraden Zahl 9 ist das nicht möglich: Es bleibt ein Gummibärchen übrig. Aufgaben 1.11 Schreibe alle geraden Zahlen auf, die zwischen a) 3 und 15, b) 37 und 49, c) 144 und 166 liegen! Wie viele Zahlen sind das? 1.12 Schreibe alle ungeraden Zahlen auf, die zwischen a) 8 und 22, b) 78 und 94, c) 207 und 251 liegen! Wie viele Zahlen sind das? 1.13 Schreibe alle 1) natürlichen, 2) geraden, 3) ungeraden Zahlen auf, die zwischen 50 und 100 liegen! Wie viele Zahlen sind das? 1.14 a) Wie viele natürliche Zahlen liegen zwischen 10 und 22? Kreuze an! 10 11 12 13 b) Wie viele gerade natürliche Zahlen liegen zwischen 10 und 22? Kreuze an! 5 6 10 12 c) Wie viele ungerade natürliche Zahlen liegen zwischen 10 und 22? Kreuze an! 5 6 10 11 1.15 Kreuze an, welche Eigenschaft für die Zahlen 5, 21 und 43 zutrifft! Der Vorgänger und der Nachfolger sind beides ungerade Zahlen. Der Vorgänger und der Nachfolger sind beides gerade Zahlen. Der Vorgänger ist eine gerade, der Nachfolger eine ungerade Zahl. Der Vorgänger ist eine ungerade, der Nachfolger eine gerade Zahl. Vielfache einer natürlichen Zahl Alle geraden Zahlen mit Ausnahme der Zahl 0 sind Vielfache von 2. So gilt: 1·2 = 2, 2·2 = 4, 3·2 = 6, 4·2 = 8, 5·2 = 10, … Vielfache von 2 sind somit: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Jede weitere natürliche Zahl mit Ausnahme der Zahl 0 hat Vielfache, beispielsweise: Vielfache von 3 sind: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … Vielfache von 8 sind: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … Vielfache von 14 sind: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, … D D D D I 12 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.16 Schreibe alle Vielfachen von a) 4, b) 11, c) 15, d) 25, e) 36 auf, die kleiner als 60 sind! 1.17 Schreibe alle Vielfachen von a) 7, b) 9, c) 16, d) 23, e) 49 auf, die kleiner als 100 sind! 1.18 Gib den Vorgänger des Vorgängers der Zahl a) 34, b) 61, c) 385, d) 800, e) 1 436 an! 1.19 Gib den Nachfolger des Nachfolgers der Zahl a) 58, b) 109, c) 401, d) 1 226, e) 3004 an! 1.20 Gib den Nachfolger des Vorgängers der Zahl a) 77, b) 123, c) 942, d) 2540, e) 6633 an! 1.21 Zählt man zu einer natürlichen Zahl deren Nachfolger dazu, erhält man a) 9, b) 31, c) 255. Wie lautet diese natürliche Zahl? 1.22 Zählt man zu einer natürlichen Zahl, die nicht 0 sein darf, deren Vorgänger dazu, erhält man a) 23, b) 191, c) 399. Wie lautet diese natürliche Zahl? 1.23 Kreuze alle zutreffenden Aussagen an! Zählt man zwei gerade Zahlen zusammen, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl. Zählt man zwei ungerade Zahlen zusammen, so ist das Ergebnis eine ungerade Zahl. Zählt man zwei ungerade Zahlen zusammen, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl. Zählt man eine gerade und eine ungerade Zahl zusammen, so ist das Ergebnis manchmal eine gerade, manchmal eine ungerade Zahl. 1.24 Zu einer natürlichen Zahl wird deren Nachfolger dazugezählt. Ist es möglich, dass das Ergebnis eine gerade Zahl ist? Begründe die Antwort! 1.25 Streiche alle Zahlen, die kein Vielfaches von 2 sein können! Begründe die Entscheidung! 784 454 267 455 238 190 343 239 480 500 907 1 000 444 777 1.26 Streiche alle Zahlen, die kein Vielfaches von 5 sein können! Begründe die Entscheidung! 34 356 255 290 1 212 2346 256 5000 10000 788 2455 678 5780 555 1.27 Wählt eine beliebige natürliche Zahl außer der Zahl 0 und zählt den Vorgänger und den Nachfolger dieser Zahl zusammen! Vergleicht das Ergebnis mit der gewählten natürlichen Zahl! Wiederholt dies mit weiteren natürlichen Zahlen! Was fällt auf? 1.28 Schreibe alle Vielfachen von 5 auf, die kleiner als 100 sind! Unterstreiche alle Zahlen, die auch Vielfache von 2 sind! Von welcher natürlichen Zahl sind die unterstrichenen Zahlen Vielfache? Begründe die Antwort! 1.29 Kreuze alle zutreffenden Aussagen an! Alle Vielfachen von 8 sind auch Vielfache von 4. Alle Vielfachen von 4 sind auch Vielfache von 8. Einige Vielfache von 4 sind auch Vielfache von 8. Kein Vielfaches von 4 ist Vielfaches von 8. 1.30 Ist es möglich, ein Vielfaches von 11 zu finden, das auch Vielfaches von 13 ist? Wenn ja, schreibe es an und erkläre, wie du es ermittelt hast. Wenn nicht, begründe, dass es ein solches Vielfaches nicht geben kann! D D D O D O D I O O I A I A I A I B D A I O A 1 13 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zahlenmengen Im Alltag ist mit einer Menge eine Vielzahl von Personen oder Gegenständen gemeint. In der Mathematik ist eine Zahlenmenge eine Zusammenfassung von Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft. Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Sie bestehen aus Elementen, die in geschwungenen Klammern (Mengenklammern) genannt werden. Beispiel: Menge A aller ungeraden natürlichen Zahlen, die zwischen 10 und 20 liegen: A = {11, 13, 15, 17, 19} [Lies: A ist die Menge der Zahlen 11, 13, 15, 17, 19.] 13 * A bedeutet: 13 ist ein Element der Menge A. 14 + A bedeutet: 14 ist kein Element der Menge A. Zwei Mengen A und B nennt man gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Deren Reihenfolge ist nicht von Bedeutung. Beispiel: A = {4, 8, 54, 47, 2}, B = {54, 2, 8, 4, 47}. A und B sind gleich. Vorgegebene Mengen werden mit besonderen Großbuchstaben gekennzeichnet: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ist die Menge der natürlichen Zahlen. N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ist die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0. [Lies: N Stern] N g= {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen. N u= {1, 3, 5, 7, 9, 11, …} ist die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Da diese Mengen unendlich viele Elemente haben, kann man nicht alle aufschreiben. Dies wird durch drei Punkte vor der zweiten Klammer angedeutet. Bei Vielfachenmengen gilt dies auch, zB bei der Menge der Vielfachen von 5: V 5= {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}. Aufgaben 1.31 Schreibe die folgende Zahlenmenge mit Mengenklammern an! a) A = Menge aller natürlichen Zahlen, die zwischen 12 und 23 liegen b) B = Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 8 sind c) C = Menge aller geraden natürlichen Zahlen, die zwischen 23 und 47 liegen d) D = Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen, die zwischen 58 und 70 liegen 1.32 Schreibe die folgende Vielfachenmenge mit Mengenklammern und Punkten an! a) V2 b) V4 c) V6 d) V10 e) V12 f) V14 g) V25 h) V100 i) V250 j) V1 000 1.33 Setze das richtige Symbol „*“ bzw. „+“ ein! a) 5 N c) 0 Ng e) 4 {2, 4, 8} g) 54 V8 i) 30 Nu k) 1 {1} b) 0 N* d) 12 Nu f) 9 {6, 8, 10} h) 121 V11 j) 67 N* l) 3 {4, 5} 1.34 Gegeben ist die Zahlenmenge A = {12, 14, 16, 18}. Kreuze die richtigen Beschreibungen der Menge A an! Menge aller geraden natürlichen Zahlen zwischen 12 und 18 Menge aller geraden natürlichen Zahlen zwischen 10 und 20 Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 12 und 18 Menge aller geraden natürlichen Zahlen zwischen 11 und 19 D D I I 14 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Verwendung natürlicher Zahlen Natürliche Zahlen werden für Größenangaben von Mengen oder für Messergebnisse verwendet. Auch Ordnungen innerhalb von Mengen können damit beschrieben werden. Anzahl (Größe einer Menge) Messergebnis (Maßzahl) Ordnung (Rangplatz) Über Größen von Mengen und Messergebnisse geben die sogenannten Kardinalzahlen Auskunft. Will man mit natürlichen Zahlen eine Ordnung herstellen, verwendet man Ordinalzahlen, die den Rangplatz angeben. Nehmen fünf Personen an einem Laufwettbewerb teil, so ist die Zahl 5 in diesem Zusammenhang eine Kardinalzahl. Die Zahl 5 wird zur Ordinalzahl bei der 5. Person, die durch das Ziel läuft. Ordinalzahlen sind natürliche Zahlen, die durch Punkte nach der Zahl gekennzeichnet werden, zB: 1., 2., 3., … . Sprachlich ist eine Ordinalzahl durch die Endsilbe -te gekennzeichnet, zB: der erste Platz, die dritte Läuferin, der siebente Spieler. Aufgaben 1.35 Kreuze an, wofür die natürliche Zahl in den folgenden Sätzen steht! Anzahl Maßzahl Rangplatz Beim Schirennen kam Silvia als Zweite ins Ziel. Die Kiste wiegt 38 Kilogramm. Auf dem Schulhof spielen 17 Kinder. Peter füllt 10 Liter in die Gießkanne. Das dritte Taxi in dieser Reihe ist schwarz. In diesem Wald stehen 164 Tannenbäume. 1.36 Sind die Zahlen in den folgenden Sätzen Kardinal- oder Ordinalzahlen? Kreuze an! Kardinalzahl Ordinalzahl Die Mannschaft hat das elfte Match der Saison gewonnen. In dieser Klasse sitzen 25 Schülerinnen und Schüler. Das Gebäude auf der anderen Straßenseite ist 31 Meter hoch. Der 3. Juni ist Sonjas Geburtstag. 1.37 Schreibe drei Sätze auf, in denen eine natürliche Zahl a) die Größe einer Menge, b) eine Maßzahl, c) einen Rangplatz angibt! 1.38 Schreibe drei Sätze auf, in denen eine natürliche Zahl als a) Kardinalzahl, b) Ordinalzahl vorkommt! Auf dem Tisch befinden sich fünf Gegenstände. Die Leiter ist drei Meter lang. Der Speisewagen ist der vierte Waggon. I I D D 1 15 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Zeichen, Ziffern und Zahlensysteme Die einfachste Art, eine Zahl darzustellen, ist in Form von Strichen: So würde etwa ||||| die Zahl 5 bedeuten. Für kleine Zahlen ist das möglich. Will man aber größere Zahlen aufschreiben, muss man das übersichtlicher machen und eine bestimmte Anzahl von Strichen bündeln. Es ist daher üblich, die Zahl 5 mit Strichen immer so darzustellen: ||||. Man kann auch für solche Bündelungen eigene Zeichen einführen. Das römische Zahlensystem Römische Zahlzeichen sind Aneinanderreihungen von Strichen oder Kerben. So steht I für die Zahl 1, II für die Zahl 2, III für die Zahl 3. Bei der Zahl 5 wird zum ersten Mal gebündelt, indem für 5 der Buchstabe V steht. Weitere Bündelungen sind bei 10, bei 50, bei 100, bei 500 und bei 1 000. Die sieben Zahlzeichen sind somit folgende: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000 Auf alten Gebäuden, Denkmälern, Grabsteinen oder Münzen finden sich oft Jahreszahlen in römischer Darstellung. Um eine bestimmte Zahl anzuschreiben, werden die benötigten Zeichen in der Regel nebeneinandergestellt und deren Werte zusammengezählt: Beispiele: XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLXXVIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 178 • • In einer römischen Zahl dürfen höchstens drei gleiche Zeichen nebeneinander stehen. • • Grundsätzlich stehen Zeichen mit größerem Wert links von Zeichen mit kleinerem Wert. • • Steht ein Zeichen mit kleinerem Wert links von einem Zeichen mit größerem Wert, so wird der kleinere Wert vom größeren abgezogen. Die letztgenannte Regel gilt in diesen Fällen: IV IX XL XC CD CM 5 – 1 = 4 10 – 1 = 9 50 – 10 = 40 100 – 10 = 90 500 – 100 = 400 1 000 – 100 = 900 Beispiele: LIV = 50 + 4 = 54 CDXLIV = 400 + 40 + 4 = 444 XCIX = 90 + 9 = 99 CMXLIX = 900 + 40 + 9 = 949 Auf dem rechts abgebildeten Denkmal von Kaiser Franz I. auf dem Freiheitsplatz in Graz steht die Jahreszahl MDCCCXLI = 1 000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 40 + 1 = 1 841. Die römische Darstellung hat auch einige Eigenarten: Manchmal ist IIII für IV zu lesen. Weiters findet man nur I, X und C vor Zeichen mit größerem Wert, nicht aber V, L und D. I steht auch nicht vor C oder M, dabei wäre IC für 99 einfacher als XCIX und IM für 999 einfacher als CMXCIX. 16 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.39 a) Der wievielte Grazer Stadtbezirk ist St. Peter (Abbildung 1.1)? b) Welche Jahreszahl ist am Eingang der Kirche in Gaubitsch-Kleinbaumgarten zu lesen (Abbildung 1.2)? 1.40 Schreibe die angegebene Zahl mit den heute gebräuchlichen Ziffern an! a) XIII e) XCI i) MLII b) XIV f) CCXXIX j) MDXC c) XXXVII g) DCCCLXXXVIII k) MMCCXLIX d) LXXI h) CMI l) MMM 1.41 Schreibe die Lebensdaten der folgenden Personen mit heute gebräuchlichen Ziffern an! a) Kaiserin Maria Theresia: MDCCXVII – MDCCLXXX b) Joseph Haydn: MDCCXXXII – MDCCCIX c) Albert Einstein: MDCCCLXXIX – MCMLV d) Ingeborg Bachmann: MCMXXVI – MCMLXXIII e) Falco: MCMLVII – MCMXCVIII f) Amy Winehouse: MCMLXXXIII – MMXI g) Stephen Hawking; MCMXLII – MMXVIII h) Chadwick Boseman: MCMLXXVI – MMXX 1.42 Schreibe die angegebene Zahl in römischer Darstellung an! a) 24 c) 98 e) 349 g) 712 i) 1 001 k) 1 488 m) 2015 b) 52 d) 111 f) 499 h) 887 j) 1 345 l) 1 971 n) 3333 1.43 Schreibe dein eigenes Geburtsjahr in römischer Darstellung an: 1.44 Gib die größte Zahl an, die man nur mit dem Zahlzeichen a) I, b) X, c) C anschreiben kann! 1.45 Wie lautet a) die größte Zahl, b) die kleinste Zahl, die man mit den Zahlzeichen I, C, D und M anschreiben kann? Jedes Zahlzeichen darf nur einmal vorkommen. 1.46 Gib die um 10 größere Zahl von a) XCII, b) DXLIV, c) MCMXIX in römischer Darstellung an! 1.47 Wie lautet die um 4 kleinere Zahl von a) L, b) D, c) M in römischer Darstellung? 1.48 Stelle die folgende fehlerhaft angeschriebene römische Zahl richtig! a) „IL“ b) „IIC“ c) „DDI“ d) „XM“ 1.49 Führe die folgende Rechnung in römischer Darstellung durch! a) XXXII + XLIV b) DCCLV – CLXXVI c) MMXI + CMLXXXIX d) MMDCCCXLVIII – DXLVII 1.50 Kann man in römischer Darstellung die Zahl a) 0, b) 100000anschreiben? Begründe die Antwort! Welche Nachteile hat die römische Darstellung gegenüber der heute üblichen? D Abb. 1.1 Abb. 1.2 D D D D O O O O I O A 1 17 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Das dekadische Zahlensystem Das römische Zahlensystem eignet sich, um Jahreszahlen in Stein zu meißeln. Große Zahlen sind aber schwer darzustellen. Das Rechnen ist in dieser Darstellung auch sehr unvorteilhaft. Erst die Erfindung der Darstellung von 0 war der Durchbruch für unser heutiges dekadisches Zahlensystem, dessen Grundlage die Zahl 10 ist. Dies ist verständlich, da einfaches Zählen mit den Fingern bei der Zahl 10 enden muss. Daher finden bei 10 und den Vielfachen von 10 Bündelungen statt: 10 Einer = 1 Zehner oder kurz: 10E = 1 Z 10 Zehner = 1 Hunderter oder kurz: 10Z = 1H 10 Hunderter = 1 Tausender oder kurz: 10H = 1T 10 Tausender = 1 Zehntausender oder kurz: 10T = 1 ZT Das dekadische Zahlensystem wird auch Dezimalsystem genannt. Es wurde ungefähr im 8. Jahrhundert in Indien erfunden und von den Arabern im 12. Jahrhundert nach Europa gebracht. Das Besondere an diesem System ist, dass wir nur mit den zehn Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 0 (auch häufig (ost-)arabische Ziffern genannt) beliebig große Zahlen aufschreiben können. Das dekadische Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem. Der Wert einer Ziffer hängt also davon ab, an welcher Stelle sie steht. Beispiel: Die Zahl 30819 besteht aus den Ziffern 1, 3, 8, 9 und 0. Sie kann in eine Stellenwerttafel eingesetzt werden: ZT T H Z E 3 0 8 1 9 Wir beginnen rechts: Die Ziffer 9 steht an der Einerstelle und hat daher den Stellenwert 9·1 = 9. Die Ziffer 1 steht an der Zehnerstelle und hat daher den Stellenwert 1·10 = 10. Die Ziffer 8 steht an der Hunderterstelle und hat daher den Stellenwert 8·100 = 800. Die Ziffer 0 steht an der Tausenderstelle und hat daher den Stellenwert 0·1 000 = 0. Die Ziffer 3 steht an der Zehntausenderstelle und hat daher den Stellenwert 3·10000 = 30000. Daraus folgt: 3·10000 + 0·1 000 + 8·100 + 1·10 + 9·1 = 30000 + 0 + 800 + 10 + 9 = 30819 • • Das dekadische Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem mit der Zahl 10 als Grundlage. • • Eine Zahl besteht aus Ziffern, die in der Zahl einen bestimmten Stellenwert haben. • • Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, … sind dekadische Einheiten. • • Zehn gleiche dekadische Einheiten ergeben jeweils die nächstgrößere Einheit. 18 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Eine Stellenwerttafel kann man nach links beliebig erweitern: Billionen Milliarden Millionen Tausender … Bd HB ZB B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E 10 ZT = 1 HT (Hunderttausender) 10 ZMd = 1 HMd („Hundertmilliarde“) 10 HT = 1 M (Million) 10 HMd = 1 B (Billion) 10 M = 1 ZM („Zehnmillion“) 10 B = 1 ZB („Zehnbillion“) 10 ZM = 1 HM („Hundertmillion“) 10 ZB = 1 HB („Hundertbillion“) 10 HM = 1 Md (Milliarde) 10 HB = 1 Bd (Billiarde) 10 Md = 1 ZMd („Zehnmilliarde“) … Ab der Million werden dekadische Einheiten jedoch meist nur mehr in Tausenderschritten angegeben, daher sind einige ungebräuchliche Begriffe in Anführungszeichen geschrieben. So geht es weiter: 1 000 Billiarden = 1 Trillion 1 000 Quintillionen = 1 Quintilliarde 1 000 Trillionen = 1 Trilliarde 1 000 Quintilliarden = 1 Sextillion 1 000 Trilliarden = 1 Quadrillion 1 000 Sextillionen = 1 Sextilliarde 1 000 Quadrillionen = 1 Quadrilliarde 1 000 Sextilliarden = 1 Septillion 1 000 Quadrilliarden = 1 Quintillion … So große Zahlen braucht aber man im Alltag fast nie. Bei einer Septillion folgen dem Einser schon 42 Nuller: 1 Septillion = 1 000000000000000000000000000000000000000000 Vorsicht: Im Englischen fehlen die Bezeichnungen, die auf -illiarde enden. Dort gilt: „Eine Milliarde“ heißt „one billion“, „eine Billion“ heißt „one trillion“, „eine Billiarde“ heißt „one quadrillion“ usw. Bei Übersetzungen muss man dies daher beachten. Um große Zahlen besser lesen zu können, ist es sehr sinnvoll, diese so aufzuschreiben, dass die Ziffern von rechts ausgehend in Dreiergruppen angeordnet werden. Beispiele: 23678 … dreiundzwanzigtausend sechshundertachtundsiebzig 5300020009 … fünf Milliarden dreihundert Millionen zwanzigtausend und neun Natürliche Zahlen lassen sich auch mit dekadischen Einheiten anschreiben: Beispiele: 30819 = 3ZT 8T 1 Z 9E 4725647308 = 4Md 7HM 2ZM 5M 6HT 4ZT 7T 3H 8E Diese Schreibweise soll die dekadischen Einheiten deutlich machen. Aufgaben 1.51 Erkläre den Unterschied zwischen a) Zahl und Ziffer, b) Stelle und Stellenwert! 1.52 Wie viele Stellen hat die Zahl? a) dreihundert d) zwei Milliarden b) viertausend e) zehn Billionen c) acht Millionen f) 100 Billiarden 1.53 Schreibe die Zahl in Dreiergruppen an! a) 5831903 c) 9784035256 b) 300257441 d) 7012299834765 I I D 1 19 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.54 Schreibe die natürliche Zahl in Ziffern an! a) achthundertvierundsiebzig: b) fünftausendzweihundertneununddreißig: c) siebzigtausendneunhundertzweiundneunzig: d) dreihunderttausendundvier: e) neunhundertneunundvierzig Millionen einhundertsiebzehn: f) fünf Milliarden dreihundertvier Millionen siebenhundertneunzehntausendsechsundsiebzig: 1.55 Schreibe die natürliche Zahl in Worten an! a) 543 c) 9008 e) 80060 g) 89001 004 b) 8937 d) 12700 f) 674233 h) 4082300603 1.56 Welchen Stellenwert hat die Ziffer 4 in der angegebenen Zahl? a) 42 b) 7498 c) 412956 d) 500416328 1.57 Welchen Stellenwert hat die Ziffer 8 in der angegebenen Zahl? a) 684 b) 5658 c) 82117 d) 7082574210 1.58 Um welche natürliche Zahl handelt es sich bei folgender Darstellung? a) 3·1 000 + 5·100 + 7·10 + 4 = 3574 b) 6·10000 + 2·1 000 + 9·100 + 4·10 + 3 = c) 1·100000 + 6·10000 + 2·1 000 + 9·100 + 1·10 + 4 = d) 2·1 000000 + 5·10000 + 3·1 000 + 7·10 + 5 = e) 3·10000000 + 7·1 000 = f) 8·1 000000000 + 9·100000000 + 4·1 000000 + 5·1 000 + 7·10 = 1.59 Mit welchen dekadischen Einheiten kann die Zahl 3408 angeschrieben werden? 3T 4H 8Z 3H 4Z 8E 3T 4H 8E 3ZT 4T 8E 1.60 Mit welchen dekadischen Einheiten kann die Zahl 403020 angeschrieben werden? 4T 3H 2Z 4HT 3T 2E 4T 3H 2E 4HT 3T 2Z 1.61 Trage die folgende natürliche Zahl richtig in die Stellenwerttafel ein! M HT ZT T H Z E a) 461 b) 8307 c) 70099 d) 160732 e) 7081 091 f) 9914300 D D I I D D D D 20 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.62 Trage die natürliche Zahl richtig in die Stellenwerttafel ein! B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E a) 682073 b) 4568301 c) 12743948 d) 8408729401 e) 450105528032 f) 7044072118364 1.63 Stelle die natürliche Zahl mit Ziffern dar! a) 5H 9Z 3E c) 8T 7H 4Z 1 E e) 4ZT 5T 3H 8Z 2E g) 3M 1 ZT 5H 8E i) 5Md 9HT 1H b) 9H 4E d) 3T 2Z f) 4HT 5T 7H h) 7ZM 1 ZT 2Z 8E j) 3B 1 ZMd 5ZT 1.64 Stelle die natürliche Zahl mit dekadischen Einheiten dar! a) 112 c) 4061 e) 15302 g) 92010 i) 3405543 k) 39000860 b) 3405 d) 9800 f) 80465 h) 112067 j) 8061 000 l) 5093400704 1.65 Wie viele Zehner sind drei Hunderter? Lösung: 3·100 = 30·10, daher: 3H = 30Z 1.66 a) Wie viele Einer sind zwei Zehner? d) Wie viele Hunderter sind zwei Millionen? b) Wie viele Zehner sind sechs Hunderter? e) Wie viele Tausender sind sieben Milliarden? c) Wie viele Zehner sind drei Tausender? f) Wie viele Hunderter sind eine Billion? 1.67 a) Wie viele Zehner sind 5000? d) Wie viele Zehner sind 8340000? b) Wie viele Hunderter sind 8000? e) Wie viele Hunderter sind 3780050000? c) Wie viele Tausender sind 23000000? f) Wie viele Tausender sind 55500000000? 1.68 Frau Ebner wechselt Geld in der Bank. Wie viele Zehn-Euro-Scheine bekommt sie für a) 70€, b) 230€, c) 590€, d) 2300€? 1.69 Herr Ertl wechselt Geld in der Bank. Wie viele Hundert-Euro-Scheine bekommt er für a) 800€, b) 7800€, c) 89300€, d) 614200€? 1.70 Gegeben sind Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen. Verbinde jeweils gleiche Zahlen! 4T 3Z 1 E 5201 5·100 + 2·10 + 1·1 DXII 4031 839H 7E 52H 1 E 521 5H 1 Z 2E 3ZT 8T 9H 7E 83907 achtunddreißigtausendneunhundertsieben 1.71 Betrachte die Zahlen 2784, 27840 und 200784! Welche Veränderungen bewirkt die Ziffer 0? 1.72 Für eine große Gartenanlage sollen 1 200 Blumen angekauft werden. In einem Beet dürfen sich nur genau zehn Blumen befinden. Wie viele Blumenbeete können so angelegt werden? D D D O O D D D I A O 1 21 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.73 In ein Baumarktregal passen 100 Glühbirnen. In dieser Abteilung befinden sich 25 dieser Regale. Wie viele Glühbirnen können dort gelagert werden? Kreuze die richtige Antwort an! 4 25 2500 25000 250000 1.74 Ein Buch soll genau 1 000 Seiten haben. Ein Verlag gibt einer Firma den Auftrag 100000 Stück zu drucken. Wie viele Seiten werden insgesamt für alle Bücher gedruckt? 1.75 Angestellte einer Fabrik benötigen im Jahr ungefähr 50000000 Gummiringerl. Ein Händler liefert diese in Schachteln zu je 1 000 Stück. Wie viele Schachteln muss er der Fabrik pro Jahr liefern? Kreuze die richtige Antwort an! 500 5000 50000 500000 5000000 1.76 In eine Pralinenschachtel passen zehn Pralinen. Ein Süßwarengeschäft hat im Lager 20 Regale mit jeweils 200 Schachteln. Wie viele einzelne Pralinen sind das? Kreuze die richtige Antwort an! 2000 4000 20000 40000 400000 1.77 Schreibe die sechsstellige natürliche Zahl in Ziffern und Worten an, die aus lauter Einsern besteht! Achte bei der Darstellung mit Ziffern auf korrekte Dreiergruppen! 1.78 Schreibe die 13-stellige natürliche Zahl in Ziffern und Worten an, die aus lauter Achtern besteht! Achte bei der Darstellung mit Ziffern auf korrekte Dreiergruppen! 1.79 Schreibt die folgende natürliche Zahl (auf Englisch) in Ziffern an! a) one thousand fourhundred and fifty-six: b) three million onehundred and eightythousand and seven: c) four billion ninehundred million twohundredthousand and seventy: 1.80 Schreibt die folgende natürliche Zahl auf Englisch in Worten an! a) 167096 b) 52800040 c) 7386926319 1.81 a) Wie viele Millionen sind vier Milliarden? d) Wie viele Trillionen sind zwei Quadrilliarden? b) Wie viele Milliarden sind sieben Billionen? e) Wie viele Trilliarden sind acht Quintillionen? c) Wie viele Billionen sind eine Trillion? f) Wie viele Quadrillionen sind eine Quintilliarde? 1.82 Die Erde ist von der Sonne ungefähr 150 Millionen km entfernt. a) Schreibe diese Zahl in Ziffern an! b) Der Planet Saturn ist ungefähr 10-mal so weit von der Sonne entfernt wie die Erde. Schreibe die Entfernung Sonne – Saturn in Kilometer an! 1.83 Der Planet Merkur ist von der Sonne ungefähr 58 Millionen km entfernt. a) Schreibe diese Zahl in Ziffern an! b) Der Zwergplanet Pluto ist ungefähr 100-mal so weit von der Sonne entfernt wie der Merkur. Schreibe die Entfernung Sonne – Pluto in Kilometer an! O O O D D D D B D B O D O Ó D O Ó Info – y4z2z8 22 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.3 Zahlen ordnen Zahlenvergleiche 1.84 In der Klasse 1A sind 18 Kinder und in der Klasse 1B sind 20 Kinder. In welcher Klasse sind mehr Kinder, in welcher sind weniger Kinder als in der anderen? Formuliert die Antworten mit Hilfe der Zahlen 18 und 20! Was ist beim Ordnen von Zahlen entscheidend? 18 ist kleiner als 20. Dafür schreibt man: 18 < 20 („<“ ist das Kleiner-Zeichen.) 20 ist größer als 18. Dafür schreibt man: 20 > 18 („>“ ist das Größer-Zeichen.) Dabei zeigt die Spitze des Zeichens stets zur kleineren Zahl. Eine Aussage wie 18 < 20 oder 20 > 18 nennt man Ungleichung. Vergleicht man mehrere Zahlen miteinander, schreibt man diese in eine Ungleichungskette. Hier unterscheidet man nach Ordnungsreihenfolge die Kleiner-Kette und die Größer-Kette. Beispiel: 1A: 18 Kinder, 1B: 20 Kinder, 1C: 17 Kinder, 1D: 22 Kinder Kleiner-Kette: 17 < 18 < 20 < 22 Größer-Kette: 22 > 20 > 18 > 17 Aufgaben 1.85 Schreibe die folgende Aussage mit Hilfe des Zeichens „<“ oder des Zeichens „>“ an! a) 11 ist kleiner als 18. e) 27 ist kleiner als 32 und 32 ist kleiner als 47. b) 96 ist größer als 86. f) 104 ist größer als 103 und 103 ist größer als 102. c) 305 ist kleiner als 350. g) Die Zahl 45 liegt zwischen 42 und 48. d) 547 ist größer als 532. h) Die Zahl 72 liegt zwischen 74 und 70. 1.86 Schreibe die folgende Aussage in Worten an! a) 15 < 19 b) 75 > 57 c) 147 < 174 d) 21 < 31 < 41 e) 321 > 231 > 123 1.87 Setze das Kleiner-Zeichen oder das Größer-Zeichen korrekt ein! a) 35 39 e) 370 317 i) 1 381 1183 m) 16500 15600 b) 89 98 f) 789 798 j) 2472 2274 n) 31 281 32181 c) 121 112 g) 901 910 k) 4092 4209 o) 49957 48975 d) 336 363 h) 956 965 l) 8564 8546 p) 156372 158372 1.88 Schreibe die folgenden natürlichen Zahlen in einer Kleiner-Kette an! a) 132, 231, 221, 123 b) 979, 997, 977, 987 c) 1 551, 1 515, 1155, 1151 1.89 Schreibe die folgenden natürlichen Zahlen in einer Größer-Kette an! a) 476, 646, 467, 466 b) 2835, 2358, 2853, 2538 c) 30192, 39012, 32102, 30219 1.90 Schreibe die vorgegebene Zahl gemeinsam mit deren Vorgänger und deren Nachfolger als Kleiner-Kette und als Größer-Kette an! a) 65 c) 89 e) 454 g) 799 i) 2990 k) 9352 m) 58800 o) 417999 b) 77 d) 210 f) 600 h) 1111 j) 3449 l) 27354 n) 89999 p) 999990 B D D I Ó D D D Ó Übung – 3s5ds6 1 23 Natürliche Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.atRkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=