Ganze Zahlen EXTRABLATT 1.7 Das Minus ist das Plus des Negativen Aufgaben 1.121 Die folgende Aufgabe könnt ihr sicherlich lösen. Aber ist dies in der Wirklichkeit möglich? Wenn fünf Personen in einem Raum sind und sieben davon gehen hinaus, wie viele müssen wieder hineingehen, damit der Raum leer ist? 1.122 Herr Schilling besucht ein Gasthaus. Nach der Mahlzeit kommt der Ober mit der Rechnung: „Das macht 22€, der Herr.“ Herr Schilling gibt ihm einen 20€-Schein und sagt: „Danke sehr, stimmt schon.“ Natürlich klärt ihn der Ober über den Fehler auf, aber hätte der Ober von Herrn Schilling bei dieser Aktion Trinkgeld bekommen? Wenn ja, wie viel? 1.123 Füllt in dem gezeichneten Zahlenhaus die Felder so aus, dass die Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen genau die im Dach angegebene Zahl ergibt! Schon bei den Babyloniern war ein Zeichen bekannt, das „weniger als“ bedeutet. Im chinesischen Rechenbuch „Chiu Chang Suan Shu“ werden für Gleichungen Rechenregeln für Additionen und Subtraktionen positiver und negativer Zahlen formuliert. Die Inder stellten Begriffe wie Vermögen und Schulden an die Stelle von positiven und negativen Zahlen. Leonardo von Pisa, genannt FIBONACCI (ca. 1170 – ca. 1240), stellte folgende Aufgabe: Vier Personen besitzen unbekannte Geldbeträge x 1, x 2, x 3und x 4. Sie finden eine Geldbörse mit unbekanntem Inhalt b. Dann soll gelten: x 1 + b = 2·(x 2+ x 3) x 2 + b = 3·(x 3+ x 4) x 3 + b = 4·(x 4+ x 1) x 4 + b = 5·(x 1+ x 2) Ich werde zeigen, dass dieses Problem unlösbar ist, wenn nicht zugelassen wird, dass die erste Person Schulden hat. Tatsächlich sind die Lösungen: x 1= ‒1, x 2= 4, x 3= 1, x 4= 4 und b = 11. Der deutsche Mathematiker Michael STIFEL (1487–1567) bezeichnete negative Zahlen als „fingierte Zahlen unter null“. Fingiert bedeutet „vorgetäuscht, eingebildet“, und so lehnten viele Mathematiker des 16. und 17. Jahrhunderts negative Zahlen ab, mancher bezeichnete sie sogar als „Unsinn“. Leonhard EULER (1707–1783) dachte bei negativen Zahlen immer noch an Schulden, schrieb aber schon das Zeichen „–“ vor diese Zahlen. Carl Friedrich GAUSS (1777–1855) meinte: „Positive und negative Zahlen können nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich zu stellen ist.“ Erst im 19. Jahrhundert begann man Rechengesetze zu formulieren und somit negative Zahlen so zu sehen, wie wir sie heute auch verstehen. Die Erweiterung des Zahlbegriffs durch die negativen Zahlen sollte so geschehen, dass bei der Ordnung und den Grundrechenarten die Rechengesetze für natürliche Zahlen auf die ganzen Zahlen übertragbar sind. Diese Forderung stellte der Mathematiker Hans Hermann HANKEL (1839 –1873) auf und nannte sie Permanenzprinzip: Eine Zahlbereichserweiterung ist nach Möglichkeit so durchzuführen, dass möglichst viel von dem Altgewohnten erhalten bleibt. C C ‒3 7 ‒1 ‒3 +5 C 1 41 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=