Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetze 2.87 a) Berechne “ ‒ 3 _ 4 §+ “ + 1 _ 8 §sowie “ + 1 _ 8 §+ “ ‒ 3 _ 4 §! Was fällt auf? b) Berechne 2,6· $ 1 _ 8· “ ‒ 4 _ 5 § %sowie “ 2,6· 1 _ 8 §· “ ‒ 4 _ 5 §! Was fällt auf? c) Berechne 2 _ 5· $ (‒0,1) + 1 _ 2 % sowie 2 _ 5·(‒0,1) + 2 _ 5· 1 _ 2! Was fällt auf? Lösung: a) “ ‒ 3 _ 4 §+ “ + 1 _ 8 §= “ ‒ 6 _ 8 §+ “ + 1 _ 8 § = ‒ 5 _ 8 “ + 1 _ 8 §+ “ ‒ 3 _ 4 §= “ + 1 _ 8 §+ “ ‒ 6 _ 8 § = ‒ 5 _ 8 Die Ergebnisse sind gleich. b) 2,6· $ 1 _ 8· “ ‒ 4 _ 5 § %= 2,6· “ ‒ 1 _ 10 §= ‒0,26 “ 2,6· 1 _ 8 §· “ ‒ 4 _ 5 § = 13 _ 40· “ ‒ 4 _ 5 § = ‒ 13 _ 50= ‒0,26 Die Ergebnisse sind gleich. c) 2 _ 5· $ (‒0,1) + 1 _ 2 % = 2 _ 5·0,4 = 2 _ 5· 2 _ 5= 4 _ 25 2 _ 5·(‒0,1) + 2 _ 5· 1 _ 2 = ‒ 1 _ 25 + 1 _ 5 = ‒ 1 _ 25 + 5 _ 25 = 4 _ 25 Die Ergebnisse sind gleich. Die Regeln und Rechengesetze in der Menge Q gelten wie in Z: Vorrangregeln: – Was in Klammern steht, muss zuerst berechnet werden. – Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen ausgeführt. – Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. Kommutativgesetze für rationale Zahlen a und b: a + b = b + a a·b = b·a Assoziativgesetze für rationale Zahlen a, b, c: a + (b + c) = (a + b) + c a·(b·c) = (a·b)·c Distributivgesetze für rationale Zahlen a, b, c: a·(b + c) = a·b + a·c (a + b)·c = a·c + b·c (a + b)c = ac + bc mit c ≠ 0 2.88 1) Ist die Rechnung 4 – 9 in der Menge N ausführbar? Wenn nicht, in welcher dann? 2) Ist die Rechnung (‒5)2 in der Menge Z ausführbar? Wenn nicht, in welcher dann? 3) Ist die Rechnung 2 _ 3 “ – 5 _ 6 §+ 1 in der Menge Q ausführbar? Wenn nicht, in welcher dann? Lösung: 1) 4 – 9 = ‒5. Die Rechnung ist in N nicht ausführbar, aber in Z. 2) (‒5)2 = ‒2,5. Die Rechnung ist in Z nicht ausführbar, aber in Q. 3) 2 _ 3 “ – 5 _ 6 § + 1 = 2 _ 3· “ – 6 _ 5 § + 1 = – 4 _ 5 + 1 = 1 _ 5. Die Rechnung ist in Q ausführbar. Alle vier Grundrechenarten mit rationalen Zahlen lassen sich in der Menge Q ausführen. Einzige Ausnahme bleibt die Division durch 0. D O D O 2 61 Rationale Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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