Schritt für Schritt Mathematik 4
Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch + E-Book Schulbuchnummer: 225380 Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 225382 Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 225383 Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 225385 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 27. November 2025, Geschäftszahl 2025-0.158.043, gemäß 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildnachweis S. 8.1: Svetlana Braun / Getty Images - iStockphoto; S. 9.1: Dmitry Kalinovsky / Getty Images - iStockphoto; S. 11.1: moodboard / Getty Images - iStockphoto; S. 11.2: VladislavStarozhilov / Thinkstock; S. 11.3: brebca / Getty Images - iStockphoto; S. 12.1: zi3000 / Getty Images - iStockphoto; S. 12.2: DGLimages / Getty Images - iStockphoto; S. 21.1: tumdee / Getty Images - iStockphoto; S. 21.2: RakicN / Getty Images - iStockphoto; S. 28.1: Katie Dobies / Getty Images - iStockphoto; S. 34.1: ABykov / Getty Images - iStockphoto; S. 38.1: Physicx / Getty Images - iStockphoto; S. 40.1: Wivoca / Getty Images; S. 42.1: Public Domain / Wikimedia Commons; S. 47.1: Irene Messerer, St. Pölten; S. 47.2: Irene Messerer, St. Pölten; S. 47.3: Irene Messerer, St. Pölten; S. 52.1: bilhagolan / Getty Images - iStockphoto; S. 57.1: Brinja Schmidt / Getty Images - iStockphoto; S. 57.2: Tomasz migla / Getty Images; S. 58.1: Volker Gällner / Thinkstock; S. 59.1: Evgeny Sergeev / Thinkstock; S. 62.1: dedMazay / Thinkstock; S. 62.2: yuriz / Getty Images - iStockphoto; S. 65.1: demerzel21 / Getty Images - iStockphoto; S. 67.1: Yuan Yue / Getty Images - iStockphoto; S. 78.1: TennesseePhotographer / Getty Images - iStockphoto; S. 81.1: coramueller / Getty Images - iStockphoto; S. 81.2: eugenesergeev / Getty Images - iStockphoto; S. 87.1: Michael Gaffney / Getty Images - iStockphoto; S. 87.2: fabiomanuelli / Getty Images - iStockphoto; S. 91.1: Sung Yoon Jo / Getty Images - iStockphoto; S. 91.2: RobertoDavid / Getty Images - iStockphoto; S. 93.1: PhonlamaiPhoto / Getty Images - iStockphoto; S. 95.1: Gestur Gislason / Getty Images - iStockphoto; S. 120.1: davidf / Getty Images; S. 121.1: stockvisual / Getty Images; S. 131.1: Batke / iStockphoto.com; S. 142.1: dark_ink / Getty Images - iStockphoto; S. 143.1: Photo and Co / Getty Images; S. 144.1: gameover2012 / Getty Images - iStockphoto; S. 158.1: Visivasnc / Getty Images - iStockphoto; S. 158.2: FabrikaCr / Getty Images; S. 159.1: Mikhail Dmitriev / Getty Images; S. 164.1: karimhesham / Getty Images; S. 164.2: Ivica Gulija / Getty Images - iStockphoto; S. 164.3: diegograndi / Getty Images - iStockphoto; S. 164.4: JLGutierrez / Getty Images - iStockphoto; S. 164.5: Mr Vito / Getty Images; S. 169.1: Mlenny / Getty Images; S. 174.1: FooTToo / Getty Images - iStockphoto; S. 178.1: Maria Brandhofer, Wien; S. 180.1: Tristan3D / Fotolia; S. 180.2: MH Foto Design; S. 180.3: Evgeny Tomeev / iStockphoto.com; S. 180.4: gawriloff / Thinkstock; S. 180.5: Saddako / Thinkstock; S. 181.1: olgamarc / Getty Images - iStockphoto; S. 184.1: Maria Brandhofer, Wien; S. 184.2: ÖNB-Bildarchiv / picturedesk.com ; S. 190.1: Creatas / Getty Images - iStockphoto; S. 192.1: Smileus / Getty Images - iStockphoto; S. 194.1: alvarez / Getty Images; S. 196.1: bortonia / Getty Images; S. 196.2: Matton Images; S. 196.3: Oleksandr Melnyk / Getty Images; S. 198.1: CS0523183 / Getty Images - iStockphoto; S. 200.1: Science Photo Library / picturedesk.com; S. 202.1: Corri Seizinger / Getty Images; S. 204.1: Michail Rudenko / Getty Images; S. 206.1: Anna Zasimova / Getty Images - iStockphoto; S. 206.2: Helmut Klapper, Vorarlberger Landesbibliothek; S. 208.1: Renate Marounek, Langenzersdorf; S. 209.1: marog-pixcells / Fotolia; S. 210.1: tashka2000 / Getty Images - iStockphoto; S. 211.1: studiocasper / Getty Images; S. 211.2: ThomasVogel / Getty Images; S. 211.3: leminuit / Getty Images - iStockphoto; S. 214.1: poligonchik / Getty Images - iStockphoto; S. 217.1: Gabriele Grassl / Getty Images - iStockphoto; S. 223.1: katayErr / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11431-0 (Schritt für Schritt Mathematik SB 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-11447-1 (Schritt für Schritt Mathematik SB 4 + E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12913-0 (Schritt für Schritt Mathematik SB 4 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12914-7 (Schritt für Schritt Mathematik SB 4 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 4 Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … rechte Winkel erkennen. … Katheten und Hypotenuse benennen. … rechtwinklige Dreiecke konstruieren. … quadrieren. … die Fläche eines Quadrats berechnen. … mit Termen rechnen und Äquivalenzumformungen durchführen Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Überprüfe deine Einschätzung! Die Seiten von rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen. a) Beschrifte das rechtwinkelige Dreieck und markiere den rechten Winkel ( ). b) Notiere, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben. Schreibe als Potenz und berechne, wenn möglich. a) 4 · 4 b) 3 · 3 c) 7 · 7 d) b · b Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a. a) a = 4,6 m b) a = 24 cm c) a = ? 1 Kästchenlänge ⩠ 1 cm Konstruiere die Dreiecke in einem Koordinatensystem ( _ 01 ⩠ 1 cm). Kontrolliere, ob das Dreieck rechtwinklig ist und beschrifte es. a) A (–4 | 0), B (–3 | 3), C (3 | 1) b) A (4 | 3), B (5 | –1), C (–2 | 1) Vereinfache den Term und führe die Probe durch (x = 1, y = 2, z = 3). a) 11x – 3y – 2z + 6x + 4z – 7x b) 8z – (– 6 + 5y – 2z) c) (2x + 4)2 Forme die Formel mittels Äquivalenzumformung so um, dass der gesuchte Wert berechnet werden kann. Gib an, um welche Formel es sich handelt. a) u = 3a ges: a b) u = 2a + 2b ges: b c) V = a · b · h ges: a d) A = (a + c) · h ______ 2 ges: h M, O 252 O 253 O 254 O 255 O 256 O 257 Rechte Winkel ohne Lineal? Bereits im alten Ägypten wurden rechte Winkel benötigt. Zum Beispiel benötigten die Bauern, deren Äcker am Nil lagen das Wissen, wie man einen rechten Winkel bildet. Da die Äcker jährlich vom Nil überschwemmt wurden, mussten danach die Grenzmarkierungen ihrer rechteckigen Felder neu angelegt werden. Um exakte 90°-Winkel zu erhalten, wurde ein sehr einfaches Werkzeug namens Zwölfknotenschnur genutzt. Auch beim Bau von Tempeln wurde von den sogenannten Seilspannern (= Harpedonapten) die Zwölfknotenschnur für die Konstruktion von rechten Winkeln genutzt. Das Werkzeug dafür wurde Merchet genannt. Ihr habt nun die Aufgabe die Zwölfknotenschnur selbst herzustellen. Dafür benötigt ihr eine Schnur, in welche ihr 11 Knoten im jeweils genau gleichen Abstand knüpft (1). Mit dem 12. Knoten verbindet nun beide Enden der Schnur (2). Spannt nun die Schnur zu einem Dreieck, in dem die drei Ecken jeweils bei einem Knoten liegen (3). a) Wie viele verschiedene Dreiecke könnt ihr so herstellen? b) Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke? c) Welche Seitenverhältnisse (Anzahl der Abstände) haben die rechtwinkligen Dreiecke? Befragt auch andere Gruppen, zu welchem Ergebnis sie gekommen sind. d) Zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit kleinen Punkten als Symbol für die Knoten ins Heft (zum Beispiel mit 1 cm-Abständen). Schafft ihr andere rechtwinklige Dreiecke, die mehr als 12 Knoten haben, zu zeichnen? M, O 258 C 1. 2. 3. Das lerne ich: Wie man rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Figuren erkennen und beschriften kann. Wie man mit dem pythagoräischen Lehrsatz die fehlende dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet. Wie man den pythagoräischen Lehrsatz umformt und anwendet. Wie man einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes erbringt. 46 47 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 4 Lernen Lernen 29 Umfang eines Kreises Sarah und Klemens haben verschieden große Kreise aus Karton ausgeschnitten und deren Durchmesser eingezeichnet. Anschließend haben sie die Kreise abgerollt und die Kreislinien als Strecken dargestellt. Miss die jeweiligen Strecken und die Durchmesser der Kreise. Dividiere anschließend jede Strecke durch den Durchmesser. Was kannst du feststellen? Berechne den Umfang des Kreises. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. a) d = 5 cm b) d = 17,2 m c) r = 12,9 mm d) r = 0,95 dm Bestimme den Durchmesser und den Umfang des Kreises. a) d = u = b) d = u = c) d = u = d) d = u = e) d = u = f) Wie verändert sich der Umfang, wenn sich der Durchmesser verdoppelt? Das Rad eines Muldenkippers hat einen Radius von 0,98 m. Es dreht sich pro Tag 6 000-mal. Welche Strecke wird dabei zurückgelegt? Die Spitze des Minutenzeigers einer Herrenarmbanduhr ist vom Drehpunkt 12 mm entfernt. Welche Weglänge legt die Spitze des Minutenzeigers in 24 h zurück? M M M M, O, DI 487 Umfang eines Kreises Die Kreislinie, die einen Kreis begrenzt, heißt Kreisumfang. Dividiert man den Umfang des Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man die Kreiszahl π (sprich pi). Der Taschenrechner gibt für π den Wert 3,141592654 aus. Den Umfang u eines Kreises berechnet man mit: u = d · π oder u = 2r · π. O 488 a) b) 1 cm c) d) e) M, O 489 M, O 490 Zwischenstopp: Der Durchmesser der Bodenräder eines Flugzeuges beträgt 1,15 m. Wie groß ist der Umfang eines solchen Rades? M, O 491 M, O 492 Der Umfang eines Kreises beträgt 256 cm. Berechne seinen Radius und den Durchmesser. Der Mondäquator misst 10 930 km. Berechne den Radius des Mondes. Eine Autofelge hat einen Umfang von 120 cm. a) Wie groß ist ihr Durchmesser? b) Wie viel Zoll hat der Durchmesser? (1 Zoll ≈ 2,54 cm) Sabrina bekommt zum Geburtstag von ihrer Freundin Sigrid einen Riesenluftballon geschenkt. Sigrid sagt: „Diesen Luftballon kannst du bis zu einem Umfang von 200 cm aufblasen. Ich habe das nicht gemacht, weil er sonst nicht durch die Tür gepasst hätte.“ Überprüfe diese Aussage, rechne nach und begründe. Ein Rad dreht sich auf einer Strecke von einem Meter fünfmal. Wie groß ist der Radius des Rades? Berechne den Umfang der zusammengesetzten Figur. Der Querschnitt des 3 m langen Wellblechs ist eine aus Halbkreisen zusammengesetzte Wellenlinie. a) Wie lang muss das Flachblech sein? Ermittle r aus der Abbildung. b) Aus wie vielen Halbkreisen besteht das Wellblechprofil bei einem Halbkreisradius von 4 cm? O 493 Umkehrung der Umfangsformel u = 2 · r · π | : 2π r = u _ 2π oder u = d · π | : π d = u _ π O 494 O 495 M, O, B 496 O 497 Zwischenstopp: Familie Gruber möchte einen kreisrunden Esstisch kaufen an dem zehn Personen gemütlich sitzen können. Wie groß muss der Radius dieses Esstisches sein, wenn jede Person 60 cm Platz benötigt? O 498 10 cm a) b) 5 cm 5 cm 12 cm O, DI 499 3 m r O, DI 500 90 91 Kreis M Arbeitsheft Seite 44 Ó Arbeitsblatt ue93dv Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 4. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 204 bis 211 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 239 bis 242 erklärt. Verbinden 2 Pythagoras, der Mathematiker und Philosoph Lies den Text in der Sprechblase von oben. Ist die Aussage richtig oder falsch? Besprich die Sätze mit einer zweiten Person und korrigiere falsche Aussagen. richtig falsch A Pythagoras wurde im 6. Jahrhundert vor Christus geboren. B Pythagoras lebte sein ganzes Leben lang in Italien und reiste nie. C Pythagoras war faul und nicht wissenshungrig. D Pythagoras studierte Naturwissenschaft, Philosophie und Religion. E Die Schüler und Anhänger von Pythagoras nennt man Pythagoräer. Es gibt verschiedenste Theorien darüber, welche Rolle Pythagoras bei der Erarbeitung des pythagoräischen Lehrsatzes hatte. Einige glauben, dass er selbstständig den Satz entdeckte, andere vermuten, dass er ihn von den Babyloniern oder anderen orientalischen Quellen übernahm. Hier siehst du eine mehr als 3 500 Jahre alte babylonische Tontafel in Keilschrift. Sie zeigt pro Zeile je drei natürliche Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen. Diese sogenannten Zahlentripel bedeuten, dass man für den pythagoräischen Lehrsatz: „a2 + b2 = c2“ natürliche Zahlen verwenden kann; zum Beispiel: 3, 4, 5 32 + 42 = 52 oder 7, 24, 25 72 + 242 = 252 a) Finde selbst solche Zahlentripel durch ausprobieren. b) Stelle mit der Formel im rechten Kasten selber Zahlentripel her. Setze für x und y selbstgewählte natürliche Zahlen ein. Kontrolliere ob deine generierten Zahlentripel stimmen. c) Erstellt in Teamarbeit eine Präsentation über den Mathematiker Pythagoras und den Lehrsatz. Fasst wissenwerte Informationen aus dem Schulbuch zusammen und ergänzt mit Hilfe von Quellen aus dem Internet. Arbeitet in einem kollaborativen Dokument zusammen. Hallo, mein Name ist Pythagoras von Samos. Ich wurde 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren. Da ich bereits als Jugendlicher sehr wissenshungrig war, reiste ich nach Ägypten und Babylon, um bei Wissenschaftlern und Priestern zu studieren. Naturwissenschaft (wie z. B. Sternenkunde und Geometrie), Philosophie sowie Religion interessierten mich besonders. Nach meiner Rückkehr auf die Insel Samos musste ich leider vor der Tyrannenherrschaft von Polykrates fliehen und reiste nach Süditalien in die Stadt Kroton. Dort gründete ich eine Schule, in der ich nicht nur Naturwissenschaft und Mathematik, sondern auch politische und religiöse Ansichten weitergab. Mir war Freundschaft von allen und mit allen sehr wichtig. Ich war religiös und glaubte an die unsterbliche Seele. Im Laufe der Zeit hatte ich eine große Anzahl von Anhängern (genannt Pythagoräer), die mich bereits zu Lebzeiten verehrten. M, DI 322 B a = x2 – y2 b = 2 · x · y c = x2 + y2 M, DI 323 B * 62 * Medienbildung Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann rechtwinklige Dreiecke erkennen und den pythagoräischen Lehrsatz anschreiben. Suche rechtwinklige Dreiecke und markiere den rechten Winkel. Formuliere den pythagoräischen Lehrsatz für die Berechnung der Hypotenuse mit den entsprechenden Variablen. Ich kann eine fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Berechne die Länge der fehlenden Seite (γ = 90°). a) a = 3,3 m; b = 5,6 m; c = ? b) b = 7,2 m; c = 17 m; a = ? c) a = 1,1 m; c = 6,1 m; b = ? Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz an ebenen Figuren anwenden. Berechne die fehlende Seite oder Höhe. Runde sinnvoll. gleichschenkliges Dreieck: a) c = 21 cm; hc = 8,8 cm a = b) a = 22,1 dm; hc = 22 dm c = gleichseitiges Dreieck: c) a = 4,2 dm h = d) h = 64,3 cm a = e) u = 136 mm h = Berechne die fehlende Seite oder Diagonale. Runde sinnvoll. Rechteck: a) a = 6,9 cm; b = 26 cm d = b) a = 2,4 m; d = 4,1 m b = Quadrat: c) a = 193 mm d = d) d = 52,6 cm a = Raute: e) e = 12 cm; f = 18,2 cm a = f) a = 17 m; f = 30,8 m e = Deltoid: g) e = 51 cm; f = 80 cm; y = 42 cm, a = b = h) a = 47,5 cm; b = 36 cm; f = 57 cm, e = gleichschenkliges Trapez: i) c = 9,99 dm; e = 13 dm; h = 6,6 dm, a = b = j) a = 19,5 m; b = 16,9 m; h = 15,2 m, c = e = M, O, DI 324 a) a z y x a a c m n l b c b) c) d) O 325 O 326 O 327 Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz anwenden. Hier siehst du das Wahrzeichen von San Francisco: die Golden Gate Bridge. a) Berechne die Länge des Trageseils, das vom Ufer von Pylon zu Pylon gespannt ist. Stelle dir vor, das Trageseil bildet jeweils die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (eines davon ist gelb eingezeichnet). b) Das Ergebnis ist nur annäherungsweise richtig, warum? Wird das Seil in der Realität länger oder kürzer sein? Begründe deine Antworten. Die größte der drei Pyramiden von Gizeh ist die CheopsPyramide. Es ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Ihre ursprüngliche Höhe wird auf 146,59 m geschätzt. Ihre Seitenlänge ist 230,33 m lang, ihre Höhe beträgt heute 138,75 m. a) Berechne die Höhe auf die Seite a (ha) der ursprünglichen und der heutigen Pyramide. b) Berechne die vier dreieckigen Mantelflächen. Die Steinblöcke der Pyramide haben eine Höhe von ca. 70 cm bis 150 cm. Wie viele Stufen aus Steinblöcken müsstest du entlang der Seitenflächenhöhe ha überwinden, bis du an der Spitze bist, wenn du mit einer durchschnittlichen Höhe und Tiefe der Steinblöcke von 110 cm rechnest? Eine gleichseitige dreieckige Fliese hat eine Kantenlänge von 24 cm. a) Berechne den Flächeninhalt einer Fliese. b) Martin möchte mit diesen Fliesen seinen Badezimmerboden von 9,5 m2 auslegen. Wie viele Fliesen werden benötigt, wenn Martin einen Verschnitt von 10 % einberechnet? c) Warum benötigt man beim Fliesenlegen 10 % mehr? Begründe. Zusammengesetzte Figur: a) Berechne die fehlenden Seitenlängen. b) Berechne den Umfang und Flächeninhalt. SPEDITION 345 m 345 m 1 280 m 1 970 m Trageseil Pylon 640 m 230 m M, O, DI, B 328 M, O 329 M, O 330 24 cm M, O, B 331 * M, O, DI 332 19,6 m 37,6 m 16 m 23,2 m 12 m z x y 64 65 * Sprachliche Bildung M Arbeitsheft Seite 32–33 Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Rechtwinkliges Dreieck • Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. • Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Satz des Pythagoras • Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Kathetenquadrate zusammen flächengleich dem Hypotenusenquadrat. Beweise des Satzes des Pythagoras • Ein mathematischer Satz enthält eine Behauptung, die man beweisen kann. • Der Satz des Pythagoras enthält die Behauptung a2 + b2 = c2 • Ein Beweis muss schlüssig sein. Anwendungen an ebenen Figuren • Im Rechteck und Quadrat können die Diagonalen mithilfe der Seitenlängen berechnet werden. • In geometrischen Figuren muss man geeignete rechtwinklige Dreiecke finden, um den Satz des Pythagoras anzuwenden. Anwendungen im Alltag • Es ist oft hilfreich, eine Skizze anzufertigen. • Mit Hilfe von zusätzlich eingezeichneten Strecken kann man versuchen, rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen. Hypotenuse Kathete 2 Kathete 1 c² a² b² A B C a c 2 b b a b 2 a 2 a d b a d a a hc a _c 2 _c 2 h c = √ _________ a 2 − ( c _ 2 ) 2 d = √ ________ a 2 + b 2 d = √ __ a 2 Wie hoch reicht eine 4,5 m lange Leiter, die im Abstand von 1,5 m von einer Wand aufgestellt wird? x = √ _ 4,5 2 − 1,5 2 ≈ 4,24 A: Die Leiter reicht 4,24 m hoch. 1,5 m 4,5 m x 63 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Buch? Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin bzw. dein Lehrer passgenaue Verweise auf digitale Zusatzmaterialien. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. C B ô Kompetenzmodell Kompetenzbereiche Prozesse Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die Kompetenzbereiche werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. den Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Prozesse befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Mit den übergreifenden Themen wird vernetztes Lernen über die fachspezifischen Grenzen hinaus unterstützt. Dazu zählen Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Entrepreneurship Education, Gesundheitsförderung, Informatische Bildung, Interkulturelle Bildung, Medienbildung, Politische Bildung, Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, Sexualpädagogik, Sprachliche Bildung und Lesen, Umweltbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung sowie Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung. Ein * bei der Aufgabennummer verweist in der Fußzeile auf das entsprechende Thema. www.oebv.at Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt 39a8z7 Online-Code Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der AppMedienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik in der Berufswelt 8 1 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – Rechnen 10 2 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – Geometrie 13 3 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – GeoGebra 16 Das kann ich! 18 4 Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen 22 5 Rationale Zahlen vergleichen 24 6 Rechnen mit rationalen Zahlen 26 7 Quadrieren 28 8 Quadratwurzeln 30 9 Irrationale Zahlen und reelle Zahlen 32 10 Quadratwurzeln näherungsweise bestimmen 34 11 Rechnen mit reellen Zahlen 36 12 Kubieren und Kubikwurzeln 38 13 Anwendungsaufgaben 40 Thema: Wurzelziehen – das Heron-Verfahren 42 Zusammenfassung 43 Das kann ich! 44 14 Rechtwinklige Dreiecke 48 15 Der pythagoräische Lehrsatz 50 16 Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes 52 17 Anwendungen an ebenen Figuren I 54 18 Anwendungen an ebenen Figuren II 56 19 Anwendungsaufgaben 58 20 Der pythagoräische Lehrsatz in GeoGebra 60 Thema: Pythagoras, der Mathematiker und Philosoph 62 Zusammenfassung 63 Das kann ich! 64 Einführung 8 1 Reelle Zahlen 20 2 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 46 Inhalt Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper Zentrales fachliches Konzept 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 21 Terme umformen – Strichrechnung und Klammern 68 22 Terme umformen – Multiplikation und Klammern 70 23 Bruchterme 72 24 Lösen von Gleichungen 74 25 Formeln 76 26 Textgleichungen 78 27 Textgleichungen aus der Geomtrie 80 Thema: Mischungsaufgaben im Gastgewerbe 82 Zusammenfassung 83 Das kann ich! 84 28 Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade 88 29 Umfang eines Kreises 90 30 Flächeninhalt eines Kreises 92 31 Kreisring 94 32 Kreissektor 96 33 Anwendungen im Alltag 98 Thema: Die Jagd auf die Zahl Pi 100 Zusammenfassung 101 Das kann ich! 102 34 Zuordnungen und ihre Darstellungen 106 35 Proportionalitäten und Formeln 108 36 Eindeutige Zuordnungen – Funktionen 110 37 Homogene lineare Funktionen 112 38 Zeichnen von homogenen linearen Funktionen – Steigung 114 39 Inhomogene lineare Funktion 116 40 Aufstellen von inhomogenen linearen Funktionen 118 41 Sachsituationen 120 42 Funktionale Zusammenhänge mit Tabellenkalkulationsprogrammen darstellen 122 43 Funktionen in GeoGebra 124 Thema: Zeitmessung 126 Zusammenfassung 127 Das kann ich! 128 Terme und Gleichungen 66 3 4 Kreis 86 Zuordnungen und lineare Funktionen 104 5 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Variablen und Funktionen 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
44 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 132 45 Lineare Gleichungssysteme – grafische Lösung 134 46 Das Einsetzungsverfahren 136 47 Das Gleichsetzungsverfahren 138 48 Das Additionsverfahren 140 49 Anwendungen 142 Thema: Gaußsches Eliminationsverfahren 144 Zusammenfassung 145 Das kann ich! 146 50 Oberfläche und Volumen von Prismen 150 51 Der pythagoräische Lehrsatz in Prismen 152 52 Volumen und Oberfläche von Pyramiden 154 53 Der pythagoräische Lehrsatz in Pyramiden 156 54 Anwendungsaufgaben im Alltag 158 55 Prismen und Pyramiden in GeoGebra 160 56 3D-Konstruktionen in Tinkercad 162 Thema: Pyramide 164 Zusammenfassung 165 Das kann ich! 166 57 Eigenschaften von Drehzylinder und Drehkegel 170 58 Volumen eines Drehzylinders 172 59 Oberfläche eines Drehzylinders 174 60 Volumen eines Drehkegels 176 61 Oberfläche eines Drehkegels 178 62 Anwendungsaufgaben 180 63 Zusammengesetzte Körper 182 Thema: Satz von Cavalieri 184 Zusammenfassung 185 Das kann ich! 186 6 Lineare Gleichungssysteme 130 7 Prismen und Pyramiden 148 Drehzylinder und Drehkegel 168 8 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Figuren und Körper 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhalt 64 Arithmetisches Mittel und Median 190 65 Darstellen von Häufigkeiten 192 66 Absolute und relative Häufigkeiten 194 67 Laplace-Wahrscheinlichkeiten 196 68 Zufallsexperimente und Baumdiagramme 198 Thema: Das Phänomen der ersten Ziffer 200 Zusammenfassung 201 Das kann ich! 202 Spielplan 1. bis 4. Klasse 212 Fit für den Beruf 214 Angewandte Tabellenkalkuation im Lehrberuf 218 Fit für weiterführende Schulen 220 Lösungen 224 Glossar 239 Formelsammlung 243 Register 249 Faltmodell eines Zylinders Anhang Faltmodell eines Kegels Anhang 9 Daten und Zufall 188 Kompetenzcheck für die 4. Klasse 204 Abschluss und Ausblick 212 Daten und Zufall 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Mathematik in der Berufswelt Die Entscheidung, wie der Ausbildungsweg nach der Sekundarstufe 1 weitergehen soll, rückt immer näher. In der Lehrberufsliste des Instituts für Bildungsforschung der Wirtschaft sind alle Lehrberufe in Österreich angeführt. Im Jänner 2025 gab es 203 Lehrberufe in Österreich. Zeichne ein Säulendiagramm in dein Heft. Wähle dafür geeignete Einheiten. Anzahl der Lehrjahre Anzahl der Lehrberufe 2 5 3 142 3 1 _ 2 37 4 8 Modullehrberufe (unterschiedliche Lehrzeiten) 11 Die Wirtschaftskammer Österreich (WKO) hat die Top 10 der Lehrberufe der Mädchen und Burschen für das Jahr 2024 bekannt gegeben. a) Welchen Lehrberuf würdest du wählen? b) Wie viele Lehrlinge arbeiten jeweils nicht in den Top 10 Lehrberufen? c) Welche Gründe könnte es geben, dass sich Mädchen weniger oft für einen Lehrberuf entscheiden als Burschen? d) Recherchiere im Internet (z. B. jugendkultur.de), wie weibliche Lehrlinge die duale Ausbildung sehen. O, DI 1 DI 2 * Mädchen Burschen Lehrberuf Lehrlinge Lehrberuf Lehrlinge Anteil an den männlichen Lehrlingen insgesamt in % 1. Einzelhandel 2. Bürokauffrau 3. Friseurin (Stylistin) 4. Verwaltungsassistentin 5. Pharmazeutisch-kaufmännische Assistenz 6. Metalltechnik 8. Konditorei (Zuckerbäckerei) 9. Hotel- und Gewerbeassistentin 10. Restaurantfachfrau Summe „Top-10“ 6 601 3 524 2 023 1 596 1 584 1 127 918 917 915 798 20 003 18,7 10,0 5,7 4,5 4,5 3,2 2,6 2,6 2,6 2,3 56,6 1. Elektrotechnik 2. Metalltechnik 3. Kraftfahrzeugtechnik 4. Einzelhandel 5. Installations- und Gebäudetechnik 6. Mechatronik 7. Tischlerei 8. Hochbau 9. Informationstechnologie 10. Zimmerei Summe „Top-10“ 9 502 8 843 7 179 4 833 4 330 2 967 2 305 2 087 1 927 1 923 45 896 13,0 12,1 9,8 6,6 5,9 4,1 3,2 2,9 2,6 2,6 62,9 Lehrlinge insgesamt 35 347 100,0 Lehrlinge insgesamt 72 913 100,0 Anteil an den weiblichen Lehrlingen insgesamt in % 7. Köchin Einführung 8 * Entrepreneurship, Berufs- und Lebensorientierung, Medienbildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Recherchiere im Internet, welche Lehrberufe es außerhalb der Top 10 gibt. Gib die Quellen an. a) Nenne drei Lehrberufe, die nicht zu den Top 10 gehören. b) Nenne drei Lehrberufe, die auf der Liste der Mangelberufe stehen. c) Informiere dich, ab wann ein Beruf als Mangelberuf gilt. Beantworte die Fragen mit Hilfe der Grafik. a) In welchen Lehrberufen gibt es mehr Mädchen als Burschen? b) Welche Lehrberufe werden von Burschen bevorzugt? c) Welche Gründe könnte es geben, dass die Lehrberufe des Einzelhandels den häufigsten Lehrabschluss aufweisen? Überprüfe deine Vermutungen mit einer Internetrecherche. Fünf Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter einer kleinen Fahrradwerkstatt verdienen monatlich brutto: 1 900 €, 1 600 €, 3 600 €, 1 700 € und 1 600 €. Ermittle die statistischen Kennwerte: Maximum, Minimum, Spannweite, Median, Modalwert und Mittelwert. Überlege, woran es liegen könnte, dass die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter unterschiedlich viel verdienen. Im Jahr 2015 fand zum ersten Mal die neue Zentralmatura statt. 18 200 Schülerinnen und Schüler haben daran teilgenommen. Im Jahr 2023 waren es 39 500. 20,1 % der Schülerinnen und Schüler erreichten 2023 einen ausgezeichneten Erfolg, 18,1 % einen guten Erfolg und 51,3 % haben bestanden. a) Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler haben nicht bestanden? b) Stelle die Prozentsätze in einem Prozentkreis dar. DI 3 ô * DI 4 * * Männlich Weiblich 0 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 6 000 Die zehn häufigsten Lehrabschlüsse nach Lehrberufen Einzelhandel insgesamt Metalltechnik Bürokaufmann/Bürokauffrau Elektrotechnik Kraftfahrzeugtechnik Installations- und Gebäudetechnik Mechatronik Koch/Köchin Friseur/Friseurin Verwaltungsassistent/ Verwaltungsassistentin M, O, DI 5 * * M, O 6 Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS Mathematik Teil-1-Aufgaben 9 Einführung * Berufs- und Lebensorientierung, Medienbildung * * Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten 1 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − Rechnen Wo stehe ich? Ich kann … … mit Termen rechnen. … mit Potenzen rechnen. … Gleichungen lösen. … den Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz bestimmen. … direkte und indirekte Proportionen berechnen. … Daten aus Tabellen ablesen und auswerten. Eine der vier Rechnungen ist falsch. Finde den Fehler und stelle ihn richtig. a) (+4) − (−25) − (−45) + (−16) = (+58) b) (−3,7) + (+5,6) : (+0,1) = (+52,3) c) 2 · (−8,5 ) + (−17) = 0 d) (+6,1) + (−8,4) · (+0,1) = (+5,26) Berechne und kürze, wenn möglich. a) ( 3 _ 4 − 1 _ 3 ) · 3 _ 8 b) (3 1 _ 4 − 2 _ 5 ) : 1 1 _ 2 c) (–5,4) : (– 3 _ 4 ) + (– 1 3 __ 10 ) : (–0,75) Vereinfache den Term. a) −5a + 7b + 6a − 2b = b) 7x + 4y − 13x − 8y = Berechne. a) 5 · (a + 2b) − 4b = b) (2x + y) · 3y = Löse die Gleichungen und mache die Probe. a) 3 (x − 4) = 2 (x − 1) b) 5 (2x + 4) − 2 (10 + 6x) = −36 Vereinfache die Terme. a) 2a3 – 3a2 + 5a3 – 7a2 = b) x8 · x2 = c) –10x5 + 2x2 – 8x2 + 4x5 = d) 9x2y : 3xy2 = Wende die binomischen Formeln an. a) (2a + 1)2 b) (x − 2y) (x + 2y) c) (5x − 2y)2 Vereinfache und überprüfe dein Ergebnis mit einer Probe (x = 2). (5x − 2)2 − (3x + 2) (3x − 2) + (5x + 1)2 = O 7 O 8 O 9 O 10 O 11 O 12 O 13 O 14 10 M Arbeitsheft Seite 4–9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Susanne macht ein Praktikum in einem Möbelgeschäft. Es ist Schlussverkauf und sie soll Plakate schreiben: Couch: statt 620 € jetzt nur 465 € Küche: statt 3 800 € jetzt nur 2 280 € a) Überlege, welche Aspekte für ein werbewirksames Plakat sinnvoll sind. b) Gestalte das Werbeplakat mit deinem digitalen Gerät. Herr Stefan sieht folgendes Angebot in einem Sportgeschäft: „Ultraleichtes Fahrrad um 850 €. Sie sparen 20 %!“ a) Wie viel Euro hat das Fahrrad ursprünglich gekostet? b) Wie viel Euro würde Herr Stefan bei diesem Angebot sparen? Ein Radfahrer fährt um 12 Uhr mit 20 km/h vom Ort A weg. Um 14 Uhr folgt ihm eine Mopedfahrerin mit 40 km/h. Wann und in welcher Entfernung vom Ort A wird der Radfahrer eingeholt? Fünf Monteurinnen und Monteure verlegen in acht Arbeitsstunden 320 m Kabel. a) Wie viel Meter Kabel verlegen vier Monteurinnen und Monteure in derselben Zeit? b) Wie lange brauchen acht Monteurinnen und Monteure, um 320 m Kabel zu verlegen? Eine Gärtnerei bekommt den Auftrag, eine 480 m2 große Fläche mit Rollrasen zu belegen. Sechs Personen benötigen dafür 24 h. a) Wie lange brauchen acht Arbeiterinnen und Arbeiter? b) Zeichne den Graphen und lies ab, wie lange vier Arbeiterinnen und Arbeiter brauchen. c) Löse diese Aufgabe mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Die Geschwindigkeit von 3D-Druckern wird in mm/s angegeben. Derzeit druckt der schnellste Drucker 400 mm/s. Zum Drucken eines 120 mm langen Kunststoffteiles benötigt ein 3D-Drucker rund 3 s. Mit welchem Drucker wird gedruckt? Kreuze an. A MK4: 80 mm/s B MaxA: 150 mm/s C Ko2: 40 mm/s a) Welche Zuordnung wird durch den Graphen dargestellt? b) Lies den Preis für 0,2 kg; 0,5 kg und 1,6 kg aus dem Graphen ab. c) Schreibe dazu einen Text. Der Lift des Donauturms in Wien fährt mit 6 m/s. Berechne die Geschwindigkeit in km/h. M, O 15 * M, O 16 M, O 17 M, O 18 M, O 19 * * M, O 20 1 2 3 0,5 1,0 1,5 0 Menge in kg Preis in € M, O, DI 21 * * * M, O 22 11 Einführung * Medienbildung * * Informatische Bildung * * * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Sonja möchte 10 Portionen Topfenkaltschale herstellen. Wie viel muss sie dafür von jeder Zutat verwenden? Sonja benötigt für ihre Topfenspeise 0,51 kg Topfen mit 20 % Fettgehalt. Sie hat aber nur Topfen mit 10 % und mit 40 % Fettgehalt. Wie viel Dekagramm muss sie von jeder Sorte nehmen? Ein Liter Apfelsaft kostet 1,29 €, ein Liter Orangensaft ist um 0,20 € teurer. Nadja kauft um drei Liter Apfelsaft mehr als Orangensaft und bezahlt dafür 14,99 €. Wie viel Liter jeder Sorte hat sie gekauft? Rezept für Apfelpunsch: Mische Früchtetee und Apfelsaft im Verhältnis 1 : 3. Gib etwas Honig und Zitronensaft dazu. a) Wie viel Liter Apfelpunsch kann man mit drei Liter Früchtetee herstellen, wenn ausreichend Zutaten zur Verfügung stehen? b) Wie viel Liter Früchtetee und Apfelsaft braucht man für zwei Liter Apfelpunsch? Damit man eine Palette um eine Stockwerkshöhe von drei Metern hochheben kann, verrichtet ein Kran eine Hubarbeit von 15 kJ (Kilojoule). a) Die Zuordnung der Stockwerkshöhe und die dazu verrichtete Arbeit sind proportional. b) Um die gleiche Ladung vom Erdgeschoss ins dritte Stockwerk zu heben, verrichtet der Kran eine Arbeit von kJ. c) Dann hebt der Kran eine dreimal so schwere Ladung ins dritte Stockwerk. Dabei verrichtet er eine Arbeit von kJ. Laura, Edmonda und Yunus teilen sich einen Ferialjob in einem Eissalon. Die Besitzerin bezahlt ihnen 2 191 € für den gesamten Monat. Laura arbeitet halb so lang wie Edmonda und Yunus arbeitet doppelt so lang wie Edmonda. a) Zeige mit Hilfe einer Gleichung, wie der Lohn aufgeteilt wird. b) Wie viel Euro bekommt jede Person? c) In welchem Verhältnis stehen die Löhne zueinander? M, O 23 M, O 24 M, O 25 M, O 26 M, O 27 M, O 28 Topfenkaltschale für 4 Portionen 37 g Puddingpulver Liter Milch 200 g Topfen Zucker nach Geschmack Liter Schlagobers 1 2 1 8 TOPFEN 12 M Arbeitsheft Seite 4–9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten 2 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − Geometrie Wo stehe ich? Ich kann … … Längenmaße, Flächenmaße und Raummaße umrechnen. … den Maßstab anwenden. … die Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken erklären. … den Flächeninhalt von ebenen Figuren berechnen. … Netze und Schrägrisse von Prismen und Pyramiden zeichnen. … Oberfläche und Volumen von Prismen und Pyramiden berechnen. … Figuren vergrößern und verkleinern. … die beiden Strahlensätze anwenden. … Verhältnisgleichungen aufstellen. Längenmaße umrechnen. a) 1,6 m = dm b) 58,5 mm = cm c) 12,8 m = km d) 2 m 4 cm = m Flächenmaße umrechnen. a) 6,5 a = m2 b) 245 mm2 = cm2 c) 9,06 ha = a d) 2 m2 6 cm2 = m2 Raummaße umrechnen. a) 0,25 m3 = dm3 b) 15 mm3 = cm3 c) 4 m3 660 dm3 = m3 d) 1 _ 4 dm3 = cm3 Rechne in die gesuchte Einheit um. a) 27 dm3 = l b) 23 cm3 = ml c) 4 dm3 24 cm3 = l d) 3 _ 4 dm3 = ml Kreuze die richtigen Antworten an. Maßstab 1 : 100 bedeutet: A Die wirklichen Längen dividiert durch 100 entsprechen den Längen im Plan. B Die Längen in Wirklichkeit betragen 100 m. C Die Längen in Wirklichkeit sind 100-mal so groß, wie die Längen im Plan. D Das 100-fache der Länge im Plan ist die Länge in Wirklichkeit. Kreuze die richtige Antwort an. a) Die Winkelsumme im Dreieck beträgt: A 380° B 360° C 180° b) Die Winkelsumme im Viereck beträgt: A 380° B 360° C 180° O 29 O 30 O 31 O 32 DI 33 DI 34 13 Einführung M Arbeitsheft Seite 10–13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Ordne die Flächeninhaltsformel der richtigen Figur zu und berechne den Flächeninhalt. Die Vorderseite eines Hauses soll neu gestrichen werden. Maße der Fenster: 150 cm x 85 cm, Maße der Tür: 100 cm x 220 cm, dreieckiges Fenster: c = 120 cm, hc = 55 cm a) Für wie viel Quadratmeter muss Farbe gekauft werden? Fenster und Türen werden nicht berücksichtigt. b) Ein Behälter enthält 10 l Farbe und reicht für 30 m2. Wie viele Behälter werden benötigt? Berechne die gesuchte Größe. a) Trapez: A = 23,62 m2; a = 6,5 m; c = 4 cm; h = ? b) Dreieck: A = 448 cm2; c = 28 cm; h c = ? Konstruiere digital und berechne den Flächeninhalt. Unregelmäßiges Fünfeck: A (4 | 0), B (6 | 2), C (5 | 4), D (0 | 4), E (–3 | 1) Zeichne eine Handskizze von einem Würfel im Schrägriss mit 3 cm Kantenlänge, ohne zu messen. Wie viele Würfel mit 3 cm Kantenlänge passen in einen Würfel von 216 cm3? O, DI 35 13,6 m 5,2 cm 6 cm 3 cm 8,4 m 6 m 16 m 15 m e = 8 m f = 6 m e = 20 cm f = 12 cm a a a a 4 5 3 6 7 3 m 2,5 m f e a a b b f e 1 2 A = a · b A = a · ha A = a2 A = e · f _ 2 A = (a + c) · h _ 2 A = c · hc _ 2 8,4 m 6,5 m 3,2 m A B C D E F M, O, DI 36 O 37 M, O 38 ô * O 39 M, O 40 14 M Arbeitsheft Seite 10–13 * Informatische Bildung Ó GZ-Material u7u6kr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Regelmäßiges dreiseitiges Prisma: a = 6 cm, h = 4 cm a) Zeichne das Netz des Prismas. b) Zeichne das liegende Prisma im Schrägriss (α = 135° , v = 1 _ 2 ). c) Berechne die Oberfläche und das Volumen. Entnimm die fehlende Größe deiner Zeichnung. Pyramide mit quadratischer Grundfläche: a = 56 mm, ha = 65 mm, h = 59 mm a) Zeichne die Pyramide im Schrägriss (α = 135° , v = 1 _ 2 ). b) Berechne die Oberfläche und das Volumen der Pyramide. Das Volumen eines Prismas mit quadratischer Grundfläche beträgt 273 cm3. Wie groß ist das Volumen einer gleich hohen Pyramide mit gleicher Grundfläche? Kreuze an. A 273 cm3 B 91 cm3 C 136,2 cm3 D 546 cm3 a) Berechne mit Hilfe des ersten Strahlensatzes. b) Berechne mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes. _SA 1 = 30 cm _SB 1 = 36 cm _SB 2 = 60 cm _SA 2 = cm S B2 B1 A1 A2 _ SA 1 = 42 cm _A 1B1 = 28 cm _A 2B2 = 14 cm _SA 1 = cm S B1 A2 A1 B2 Zeichne das Dreieck A (2 | 2), B (6 | 2), C (3 | 5), Streckungszentrum Z (0 | 0). a) Verkleinere das Dreieck im Verhältnis 2 : 1. b) Vergrößere das Dreieck im Verhältnis 2 : 3. c) Gib jeweils den Streckungsfaktor k an. Teilen einer Strecke. a) Teile die Strecke _AB= 8,7 cm in 5 gleiche Teile. b) Teile die Strecke _ BC= 45 mm im Verhältnis 2 : 3. Der Umfang eines Dreiecks beträgt 3 dm. Die Seitenlängen verhalten sich wie 3 : 5 : 7. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? Der Umfang eines rechteckigen Tisches beträgt 510 cm. Die Seitenlängen verhalten sich wie 7 : 3. a) Berechne den Flächeninhalt. b) Beschreibe deinen Rechenweg. In welchem Verhältnis stehen die Seitenlängen der beiden Quadrate zueinander, wenn sich ihre Flächeninhalte A1 : A2 wie 16 : 81 verhalten? O 41 A C B D O 42 DI 43 O 44 O 45 O 46 O 47 O 48 O 49 15 Einführung Ó GZ-Material u7ui48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten 3 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − GeoGebra Ebene Figuren und ihr Flächeninhalt: a) Konstruiere ein Rechteck mit der Seitenlänge a = 3,8 cm, b = 4,7 cm. Nutze für die erste Seite a und b das Werkzeug „Strecke mit fester Länge“ . Du kannst den Endpunkt der Strecke so verschieben, dass ein Rechteck entsteht. Die Länge der Strecke bleibt trotzdem immer gleich. Anschließend konstruiere die gegenüberliegenden Seiten und die fehlende Ecke mit dem Werkzeug „Parallele Gerade“ oder „Senkrechte Gerade“. Erkläre in eigenen Worten, wie du mit dem Werkzeug die fehlenden Seiten konstruierst. b) Sobald du alle vier Eckpunkte konstruiert hast, nutze das Werkzeug „Vieleck“ und klicke nacheinander alle Eckpunkte an. Erst wenn die Fläche eingefärbt ist, erkennt GeoGebra, dass es sich um ein Rechteck handelt und kann den Flächeninhalt berechnen. c) Ändere die Beschriftung der Eckpunkte und Seiten so, damit sie nach den mathematischen Regeln stimmen und mache unnötige Beschriftungen und Hilfskonstruktionen unsichtbar. Erkläre, was passiert, wenn du beide gegenüberliegenden Seiten mit „a“ beschriften möchtest? Was könnte der Grund dafür sein? d) Berechne den Flächeninhalt in deinem Heft. e) Berechne den Flächeninhalt mit GeoGebra. Klicke dafür auf das Werkzeug „Fläche“ und anschließend auf das gezeichnete Rechteck. f) Vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von GeoGebra. Stimmen beide überein? Was ist beim Ergebnis von GeoGebra anders? Konstruiere folgendes Dreieck c = 6,8 cm, α = 65°, β = 30°. a) Tipp: Konstruiere die Seite c vom Nullpunkt auf der X-Achse. Nutze anschließend das Werkzeug: „Winkel mit fester Größe“ . b) Beschreibe in eigenen Worten, wie du die beiden Winkel mit GeoGebra konstruierst. Worauf musst du besonders achten? c) Zeichne vom Punkt A durch B' sowie vom Punkt B durch A' einen Strahl. Der Schnittpunkt entspricht dem Eckpuntk C des Dreiecks. Nutze wieder das Werkzeug „Vieleck“ , damit GeoGebra erkennt, dass es sich um eine dreieckige Fläche handelt. d) Beschrifte die Eckpunkte und Seiten richtig. e) Berechne den Flächeninhalt im Heft. Entnimm benötigte Lösungen der Zeichnung. Kontrolliere dein Ergebnis mit GeoGebra. 50 * 51 * 16 * Informatische Bildung, Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Körper und ihr Volumen: Wähle im Hauptmenü „Ansicht“ und klicke „3D Grafik“ an. Du hast nun drei Fenster geöffnet. Wie heißen sie? Konstruiere einen Quader mit folgenden Maßen: a = 5 cm, b = 3 cm, h = 7 cm. a) Zeichne im Grafik-Fenster das Rechteck, das den Boden bildet. Beginne mit dem Eckpunkt A auf dem Nullpunkt des Koordinatensystems. b) Wechsle auf das 3D Grafik-Fenster. Wähle das Werkzeug „Zum Prisma extrudieren“ und klicke auf das gezeichnete Rechteck. Gib im Fenster die Höhe „7“ ein und klicke auf „OK“. c) Kontrolliere die Beschriftung und ändere sie, falls notwendig. d) Berechne das Volumen des Prismas und kontrolliere, indem du GeoGebra das Volumen berechnen lässt. Klicke dafür auf das Werkzeug „Volumen“ und klicke auf den Quader. Konstruiere eine quadratische Pyramide mit folgenden Maßen: a = 3,8 cm, h = 6,5 cm. Gehe dafür ähnlich wie in Aufg. 53 vor. a) Zeichne im Grafik-Fenster den quadratischen Boden. b) Wechsle auf das 3D Grafik-Fenster. Wähle das Werkzeug „Zu Pyramide extrudieren“ und klicke auf das gezeichnete Quadrat. Gib im Fenster die Höhe „6,5“ ein und klicke auf „OK“. c) Kontrolliere die Beschriftung und ändere sie, falls notwendig. d) Berechne das Volumen der Pyramide und kontrolliere mit GeoGebra. AR-Funktion auf dem Smartphone: a) Öffne mit der GeoGebra-3D-Rechner-App auf deinem Smartphone den Quader oder die Pyramide von Aufg. 53 oder 54. Klicke im Hauptmenü auf „Öffnen“. Du findest alle deine Zeichnungen im Ordner „Privat“. b) Klicke im Grafikfenster das AR-Icon: . Führe die Befehle von GeoGebra durch. Nun siehst du über den Handy-Bildschirm auf deinem Tisch den Körper und kannst ihn von allen Seiten betrachten. 52 * 53 * 54 * 55 * 17 Einführung * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Überprüfen Das kann ich! Ich kann mit Prozenten rechnen. Ein Computer, der 1 500 € kostet, wird im Ausverkauf um 1 200 € angeboten. Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass? Die Firma Stolzer erstellt ein Angebot für einen Parkettboden von 5 840 € ohne Umsatzsteuer. Berechne den Rechnungsbetrag, wenn auf den Bruttopreis 3 % Skonto gewährt werden. Ich kann den Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken berechnen. Herr Müller bekommt folgendes Grundstück angeboten. Berechne den Flächeninhalt. Zu welcher Figur passt die umgeformte Formel ha = 2 · A ___ a ? Kreuze an. A Trapez B Deltoid C Parallelogramm D Dreieck Ich kann direkte und indirekte proportionale Zuordnungen anwenden. Erstelle jeweils eine Wertetabelle und zeichne den Graphen. Gib an, um welche Proportion es sich handelt. a) Fünf Kräuterpflanzen kosten 24,40 €. Frau Seiler pflanzt 11 Pflanzen in die Kräuterspirale. Wie viel muss sie bezahlen? b) Aus einem Wasserhahn fließen in 10 Sekunden 3,5 l Wasser. Wie lange dauert es, bis ein 15-Liter-Kübel gefüllt ist? c) Zwei Bagger benötigen zum Ausheben einer Baugrube sechs Arbeitstage. Wie lang würden 3 Bagger brauchen? Ich kann den Maßstab anwenden. Auf einem Grundstücksplan ist ein 115 m langes und 92 m breites Feld durch ein Rechteck mit 11,5 cm Länge dargestellt. a) Bestimme den Maßstab. b) Wie breit ist das Feld im Plan? M, O 56 M, O 57 M, O, DI 58 52,5 m 26 m 35 m 13 m 59 m DI 59 M, O 60 O 61 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Überprüfen Ich kann Gleichungen lösen. Löse die Gleichung und mache die Probe. a) 6x – 16 = 4x + 6 b) 3 – 2x – 9 – x = 1 – 2x c) 3 (2x – 4) = 5x – 4 d) 56 – 2 (2x – 1) = 2 (x + 14) Verkürzt man zwei parallele Seiten eines Quadrats um je 2 cm, so erhält man ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um 16 cm2 kleiner ist als der Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats. Berechne die Seitenlänge a des ursprünglichen Quadrats. Ich kann mit Hilfe der zentrischen Streckung vergrößern und verkleinern. Zeichne das Dreieck A (2 | 6), B (2 | 2), C (4 | 4), Streckungszentrum Z (0 | 4). a) Vergrößere es mit dem Faktor 2. b) Verkleinere es im Verhältnis 2 : 1. Ich kann Prismen und Pyramiden im Schrägriss zeichnen. Zeichne den Schrägriss des liegenden, regelmäßigen, dreiseitigen Prismas a = 4,5 cm; h = 6 cm; α = 135°; v = 1 _ 2 . Zeichne den Schrägriss der quadratischen Pyramide a = 5 cm; h = 5 cm; α = 45°; v = 1 _ 2 . Ich kann das Volumen und die Oberfläche von Prismen und Pyramiden berechnen. Berechne das Volumen und die Oberfläche des Prismas aus Aufg. 65. Entnimm fehlende Größen deiner Zeichnung. Das Dach eines Turmes hat die Form einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a = 2,8 m und der Höhe h = 3,4 m. Wie viel m3 Luft befinden sich im Dachraum? Ich kann mit Termen rechnen. Vereinfache. a) (−2,5) · (+3) − (+18) : (−3) = b) (5a − 2)2 = c) (3x + 2y) · (3x − 2y) = d) 4 _ 5 · (1 1 _ 3 + 2 1 _ 2 ) = e) (+20a2b5) : (–5ab2) = f) 12x2 – (9x4y2 + 6x2y5) : 3x2y2 = Vereinfache und führe die Probe mit e = 2 und f = 3 durch. a) 9ef2 + 2f [(e − f)2 − (e + f)2] = b) f2 [3 (e – f)2 + 6ef] – 3e2 (f2 – e2) = O 62 M, O 63 O 64 O 65 O 66 O, DI 67 O 68 O 69 O 70 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Starten Wo stehe ich? Ich kann … … mit rationalen Zahlen rechnen. … mit Termen rechnen. … die Fläche eines Quadrats und eines Rechtecks berechnen. … das Volumen und die Masse eines Würfels berechnen. … rationale Zahlen in verschiedenen Schreibweisen angeben. … Potenzen berechnen. Überprüfe deine Einschätzung! a) 7,8 ∙ (−6) b) 3,2 : 8 − (−18) c) (−24) − [(−2,8) + (+6,1) − (+0,9)] ∙ 3 a) 1 3 _ 4 − 7 _ 8 b) 3 1 _ 2 ∙ 3 _ 5 c) [(− 1 _ 3 ) + (− 5 _ 6 )] ∙ (+3 3 _ 4 ) : (−2 1 _ 2 ) Frau Kepler will für ihren rechteckigen Garten (a = 12 m und b = 8 m) ein quadratisches Gartenhäuschen mit einer Seitenlänge von 3 m bauen. Wie viel Quadratmeter Grund bleiben übrig? Verbinde mit der richtigen Lösung. A 24 B 32 C 43 D (–2)2 E (–3)4 1 81 2 4 3 16 4 9 5 64 Vereinfache. a) 7a − 9b − 14b + 2a = b) −9x + 15y − 7x − 22y = Berechne die Masse eines Würfels mit einer Seitenkante von 8 cm. Der Würfel besteht aus Kork (ρ = 480 kg/m3). Wende die binomischen Formeln an. a) (7a − 3b)2 b) (8x − 5) (8x + 5) c) (4r + 3s)2 d) (9a − b)2 Pia stellt 6,5 verschieden dar. Korrigiere, wenn notwendig, ihre Darstellung und begründe deine Korrektur. A 6 1 _ 2 B 50 % C 6 10 _ 5 D 6,5 ∙ 102 O 71 O 72 O 73 DI 74 O 75 O 76 O 77 DI, B 78 * Reelle Zahlen 1 20 * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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