Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch [Teildruck]

Schritt für Schritt Mathematik 4Teildruck für Lehrerinnen und Lehrer

Schritt für Schritt Mathematik 4, Schulbuch Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Bildquellen: S. 47.1: Irene Messerer, St. Pölten; S. 47.2: Irene Messerer, St. Pölten; S. 47.3: Irene Messerer, St. Pölten; S. 52.1: bilhagolan / Getty Images - iStockphoto; S. 57.1: Brinja Schmidt / Getty Images - iStockphoto; S. 57.2: Tomasz migla / Getty Images; S. 58.1: Volker Gällner / Thinkstock; S. 59.1: Evgeny Sergeev / Thinkstock; S. 62.1: dedMazay / Thinkstock; S. 62.2: yuriz / Getty Images - iStockphoto; S. 65.1: demerzel21 / Getty Images - iStockphoto; S. 131.1: Batke / iStockphoto. com; S. 142.1: dark_ink / Getty Images - iStockphoto; S. 143.1: Photo and Co / Getty Images; S. 144.1: gameover2012 / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu ISBN 978-3-209-11431-0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 4 Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … rechte Winkel erkennen. … Katheten und Hypotenuse benennen. … rechtwinklige Dreiecke konstruieren. … quadrieren. … die Fläche eines Quadrats berechnen. … mit Termen rechnen und Äquivalenzumformungen durchführen Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Überprüfe deine Einschätzung! Die Seiten von rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen. a) Beschrifte das rechtwinkelige Dreieck und markiere den rechten Winkel ( ). b) Notiere, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben. Schreibe als Potenz und berechne, wenn möglich. a) 4 · 4 b) 3 · 3 c) 7 · 7 d) b · b Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a. a) a = 4,6 m b) a = 24 cm c) a = ? 1 Kästchenlänge ⩠ 1 cm Konstruiere die Dreiecke in einem Koordinatensystem ( _ 01 ⩠ 1 cm). Kontrolliere, ob das Dreieck rechtwinklig ist und beschrifte es. a) A (–4 | 0), B (–3 | 3), C (3 | 1) b) A (4 | 3), B (5 | –1), C (–2 | 1) Vereinfache den Term und führe die Probe durch (x = 1, y = 2, z = 3). a) 11x – 3y – 2z + 6x + 4z – 7x b) b) 8z – (– 6 + 5y – 2z) c) c) (2x + 4)2 Forme die Formel mittels Äquivalenzumformung so um, dass der gesuchte Wert berechnet werden kann. Gib an, um welche Formel es sich handelt. a) u = 3a ges: a b) u = 2a + 2b ges: b c) V = a · b · h ges: a d) u = (a + c) · h ______ 2 ges: h M, O 252 O 253 O 254 O 255 O 256 O 257 Rechte Winkel ohne Lineal? Bereits im alten Ägypten wurden rechte Winkel benötigt. Zum Beispiel benötigten die Bauern, deren Äcker am Nil lagen das Wissen, wie man einen rechten Winkel bildet. Da die Äcker jährlich vom Nil überschwemmt wurden, mussten danach die Grenzmarkierungen ihrer rechteckigen Felder neu angelegt werden. Um exakte 90°-Winkel zu erhalten, wurde ein sehr einfaches Werkzeug namens Zwölfknotenschnur genutzt. Auch beim Bau von Tempeln wurde von den sogenannten Seilspannern (= Harpedonapten) die Zwölfknotenschnur für die Konstruktion von rechten Winkeln genutzt. Das Werkzeug dafür wurde Merchet genannt. Ihr habt nun die Aufgabe die Zwölfknotenschnur selbst herzustellen. Dafür benötigt ihr eine Schnur, in welche ihr 11 Knoten im jeweils genau gleichen Abstand knüpft (1). Mit dem 12. Knoten verbindet nun beide Enden der Schnur (2). Spannt nun die Schnur zu einem Dreieck, in dem die drei Ecken jeweils bei einem Knoten liegen (3). a) Wie viele verschiedene Dreiecke könnt ihr so herstellen? b) Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke? c) Welche Seitenverhältnisse (Anzahl der Abstände) haben die rechtwinkligen Dreiecke? Befragt auch andere Gruppen, zu welchem Ergebnis sie gekommen sind. d) Zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit kleinen Punkten als Symbol für die Knoten ins Heft (zum Beispiel mit 1 cm-Abständen). Schafft ihr andere rechtwinklige Dreiecke, die mehr als 12 Knoten haben, zu zeichnen? M, O 258 C 1. 2. 3. Das lerne ich: Wie man rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Figuren erkennen und beschriften kann. Wie man mit dem pythagoräischen Lehrsatz die fehlende dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet. Wie man den pythagoräischen Lehrsatz umformt und anwendet. Wie man einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes erbringt. 46 47 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 4 Lernen Lernen 29 Umfang eines Kreises Sarah und Klemens haben verschieden große Kreise aus Karton ausgeschnitten und deren Durchmesser eingezeichnet. Anschließend haben sie die Kreise abgerollt und die Kreislinien als Strecken dargestellt. Miss die jeweiligen Strecken und die Durchmesser der Kreise. Dividiere anschließend jede Strecke durch den Durchmesser. Was kannst du feststellen? Berechne den Umfang des Kreises. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. a) d = 5 cm b) d = 17,2 m c) r = 12,9 mm d) r = 0,95 dm Bestimme den Durchmesser und den Umfang des Kreises. a) d = u = b) d = u = c) d = u = d) d = u = e) d = u = f) Wie verändert sich der Umfang, wenn sich der Durchmesser verdoppelt? Das Rad eines Muldenkippers hat einen Radius von 0,98 m. Es dreht sich pro Tag 6 000-mal. Welche Strecke wird dabei zurückgelegt? Die Spitze des Minutenzeigers einer Herrenarmbanduhr ist vom Drehpunkt 12 mm entfernt. Welche Weglänge legt die Spitze des Minutenzeigers in 24 h zurück? M M M M, O, DI 487 Umfang eines Kreises Die Kreislinie, die einen Kreis begrenzt, heißt Kreisumfang. Dividiert man den Umfang des Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man die Kreiszahl π (sprich pi). Der Taschenrechner gibt für π den Wert 3,141592654 aus. Den Umfang u eines Kreises berechnet man mit: u = d · π oder u = 2r · π. O 488 a) b) 1 cm c) d) e) M, O 489 M, O 490 Zwischenstopp: Der Durchmesser der Bodenräder eines Flugzeuges beträgt 1,15 m. Wie groß ist der Umfang eines solchen Rades? M, O 491 M, O 492 Der Umfang eines Kreises beträgt 256 cm. Berechne seinen Radius und den Durchmesser. Der Mondäquator misst 10 930 km. Berechne den Radius des Mondes. Eine Autofelge hat einen Umfang von 120 cm. a) Wie groß ist ihr Durchmesser? b) Wie viel Zoll hat der Durchmesser? (1 Zoll ≈ 2,54 cm) Sabrina bekommt zum Geburtstag von ihrer Freundin Sigrid einen Riesenluftballon geschenkt. Sigrid sagt: „Diesen Luftballon kannst du bis zu einem Umfang von 200 cm aufblasen. Ich habe das nicht gemacht, weil er sonst nicht durch die Tür gepasst hätte.“ Überprüfe diese Aussage, rechne nach und begründe. Ein Rad dreht sich auf einer Strecke von einem Meter fünfmal. Wie groß ist der Radius des Rades? Berechne den Umfang der zusammengesetzten Figur. Der Querschnitt des 3 m langen Wellblechs ist eine aus Halbkreisen zusammengesetzte Wellenlinie. a) Wie lang muss das Flachblech sein? Ermittle r aus der Abbildung. b) Wie lang muss das Flachblech bei einem Radius von 4 cm sein? O 493 Umkehrung der Umfangsformel u = 2 · r · π | : 2π r = u _ 2π oder u = d · π | : π d = u _ π O 494 O 495 M, O, B 496 O 497 Zwischenstopp: Familie Gruber möchte einen kreisrunden Esstisch kaufen an dem zehn Personen gemütlich sitzen können. Wie groß muss der Radius dieses Esstisches sein, wenn jede Person 60 cm Platz benötigt? O 498 10 cm a) b) 5 cm 5 cm 12 cm O, DI 499 3 m r O, DI 500 90 91 Kreis Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 4. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 204 bis 211 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 239 bis 242 erklärt. Verbinden 2 Pythagoras, der Mathematiker und Philosoph Lies den Text in der Sprechblase von oben. Ist die Aussage richtig oder falsch? Besprich die Sätze mit einer zweiten Person und korrigiere falsche Aussagen. richtig falsch Pythagoras wurde im 6. Jahrhundert vor Christus geboren. Pythagoras lebte sein ganzes Leben lang in Italien und reiste nie. Pythagoras war faul und nicht wissenshungrig. Pythagoras studierte Naturwissenschaft, Philosophie und Religion. Die Schüler und Anhänger von Pythagoras nennt man Pythagoräer. Es gibt verschiedenste Theorien darüber, welche Rolle Pythagoras bei der Erarbeitung des pythagoräischen Lehrsatzes hatte. Einige glauben, dass er selbstständig den Satz entdeckte, andere vermuten, dass er ihn von den Babyloniern oder anderen orientalischen Quellen übernahm. Hier siehst du eine mehr als 3 500 Jahre alte babilonische Tontafel in Keilschrift. Sie zeigt pro Zeile je drei natürliche Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen. Diese sogenannten Zahlentripel bedeuten, dass man für den pythagoräischen Lehrsatz: „a2 + b2 = c2“ natürliche Zahlen verwenden kann; zum Beispiel: 3, 4, 5 32 + 42 = 52 oder 7, 24, 25 72 + 242 = 252 a) Finde selbst solche Zahlentripel durch ausprobieren. b) Stelle mit der Formel im rechten Kasten selber Zahlentripel her. Setze für x und y selbstgewählte natürliche Zahlen ein. Kontrolliere ob deine generierten Zahlentripel stimmen. c) Erstellt in Teamarbeit eine Präsentation über den Mathematiker Pythagoras und den Lehrsatz. Fasst wissenwerte Informationen aus dem Schulbuch zusammen und ergänzt mit Hilfe von Quellen aus dem Internet. Arbeitet in einem kollaborativen Dokument zusammen. Hallo, mein Name ist Pythagoras von Samos. Ich wurde 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren. Da ich bereits als Jugendlicher sehr wissenshungrig war, reiste ich nach Ägypten und Babylon, um bei Wissenschaftlern und Priestern zu studieren. Naturwissenschaft (wie z. B. Sternenkunde und Geometrie), Philosophie sowie Religion interessierten mich besonders. Nach meiner Rückkehr auf die Insel Samos musste ich leider vor der Tyrannenherrschaft von Polykrates fliehen und reiste nach Süditalien in die Stadt Kroton. Dort gründete ich eine Schule, in der ich nicht nur Naturwissenschaft und Mathematik, sondern auch politische und religiöse Ansichten weitergab. Mir war Freundschaft von allen und mit allen sehr wichtig. Ich war religiös und glaubte an die unsterbliche Seele. Im Laufe der Zeit hatte ich eine große Anzahl von Anhängern (genannt Pythagoräer), die mich bereits zu Lebzeiten verehrten. M, DI 322 B a = x2 – y2 b = 2 · x · y c = x2 + y2 M, DI 323 B * 62 * Medienbildung Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann rechtwinklige Dreiecke erkennen und den pythagoräischen Lehrsatz anschreiben. Suche rechtwinkelige Dreiecke und markiere den rechten Winkel. Formuliere den pythagoräischen Lehrsatz für die Berechnung der Hypotenuse mit den entsprechenden Variablen. Ich kann eine fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Berechne die Länge der fehlenden Seite (γ = 90°). a) a = 3,3 m; b = 5,6 m; c = ? b) b = 7,2 m; c = 17 m; a = ? c) a = 1,1 m; c = 6,1 m; b = ? Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz an ebenen Figuren anwenden. Berechne die fehlende Seite oder Höhe. Runde sinnvoll. gleichschenkliges Dreieck: a) c = 21 cm; hc = 8,8 cm a = b) a = 22,1 dm; hc = 22 dm c = gleichseitiges Dreieck: c) a = 4,2 dm h = d) h = 64,3 cm a = e) u = 136 mm h = Berechne die fehlende Seite oder Diagonale. Runde sinnvoll. Rechteck: a) a = 6,9 cm; b = 26 cm d = b) a = 2,4 m; d = 4,1 m b = Quadrat: c) a = 193 mm d = d) d = 52,6 cm a = Raute: e) e = 12 cm; f = 18,2 cm a = f) a = 17 m; f = 30,8 m e = Deltoid: g) e = 51 cm; f = 80 cm; y = 42 cm, a = b = h) a = 47,5 cm; b = 36 cm; f = 57 cm, e = gleichschenkliges Trapez: i) c = 9,99 dm; e = 13 dm; h = 6,6 dm, a = b = j) a = 19,5 m; b = 16,9 m; h = 15,2 m, c = e = M, O, DI 324 a) a z y x a a c m n l b c b) c) d) O 325 O 326 O 327 Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz anwenden. Hier siehst du das Wahrzeichen von San Francisco: die Golden Gate Bridge. a) Berechne die Länge des Trageseils, das vom Ufer von Pylon zu Pylon gespannt ist. Stelle dir vor, das Trageseil bildet jeweils die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (eines davon ist gelb eingezeichnet). b) Das Ergebnis ist nur annäherungsweise richtig, warum? Wird das Seil in der Realität länger oder kürzer sein. Begründe deine Antworten. Die größte der drei Pyramiden von Gizeh ist die CheopsPyramide. Es ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Ihre ursprüngliche Höhe wird auf 146,59 m geschätzt. Ihre Seitenlänge ist 230,33 m lang ihre Höhe beträgt heute 138,75 m. a) Berechne die Höhe auf die Seite a (ha) der ursprünglichen und der heutigen Höhe. b) Berechne die vier dreieckigen Mantelflächen. Die Steinblöcke der Pyramide haben eine Höhe von ca. 70 cm bis 150 cm. Wie viele Stufen aus Steinblöcken müsstest du entlang der Seitenflächenhöhe ha überwinden, bis du an der Spitze bist, wenn du mit einer durchschnittlichen Höhe und Tiefe der Steinblöcke von 110 cm rechnest? Eine gleichseitige dreieckige Fliese hat eine Kantenlänge von 24 cm. a) Berechne die Fläche einer Fliese. b) Martin möchte mit diesen Fliesen seinen Badezimmerboden von 9,5 m2 auslegen. Wie viele Fliesen werden benötigt, wenn Martin einen Verschnitt von 10 % einberechnet? c) Warum benötigt man beim Fliesenlegen 10 % mehr? Begründe. Zusammengesetzte Figur: a) Berechne die fehlenden Seitenlängen. b) Berechne den Umfang und Flächeninhalt. SPEDITION 345 m 345 m 1 280 m 1 970 m Trageseil Pylon 640 m 230 m M, O, DI, B 328 M, O 329 M, O 330 24 cm M, O, B 331 * M, O, DI 332 19,6 m 37,6 m 16 m 23,2 m 12 m z x y 64 65 * Sprachliche Bildung Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Rechtwinkliges Dreieck • Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. • Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Satz des Pythagoras • Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Kathetenquadrate zusammen flächengleich dem Hypotenusenquadrat. Beweise des Satzes des Pythagoras • Ein mathematischer Satz enthält eine Behauptung, die man beweisen kann. • Der Satz des Pythagoras enthält die Behauptung a2 + b2 = c2 • Ein Beweis muss schlüssig sein. Anwendungen an ebenen Figuren • Im Rechteck und Quadrat können die Diagonalen mithilfe der Seitenlängen berechnet werden. • In geometrischen Figuren muss man geeignete rechtwinklige Dreiecke finden, um den Satz des Pythagoras anzuwenden. Anwendungen im Alltag • Es ist oft hilfreich, eine Skizze anzufertigen. • Mit Hilfe von zusätzlich eingezeichneten Strecken kann man versuchen, rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen. Hypotenuse Kathete 2 Kathete 1 c² a² b² A B C a c 2 b b a b 2 a 2 a d b a d a a hc a _c 2 _c 2 h c = √ _________ a 2 − ( c _ 2 ) 2 d = √ ________ a 2 + b 2 d = √ __ a 2 Wie hoch reicht eine 4,5 m lange Leiter, die im Abstand von 1,5 m von einer Wand aufgestellt wird? x = √ _ 4,5 2 − 1,5 2 ≈ 4,24 A: Die Leiter reicht 4,24 m hoch. 1,5 m 4,5 m x 63 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Wie arbeite ich mit diesem Buch? Schritt für Schritt Mathematik-Codes Hier findet deine Lehrerin bzw. dein Lehrer passgenaue Verweise auf digitale Zusatzmaterialien. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sind für eine Gruppenarbeit geeignet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. C B ô Kompetenzmodell Kompetenzbereiche Prozesse Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die Kompetenzbereiche werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. den Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Prozesse befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Mit den übergreifenden Themen wird vernetztes Lernen über die fachspezifischen Grenzen hinaus unterstützt. Dazu zählen Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, Entrepreneurship Education, Gesundheitsförderung, Informatische Bildung, Interkulturelle Bildung, Medienbildung, Politische Bildung, Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, Sexualpädagogik, Sprachliche Bildung und Lesen, Umweltbildung, Verkehrs- und Mobilitätsbildung sowie Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung. Ein * bei der Aufgabennummer verweist in der Fußzeile auf das entsprechende Thema. www.oebv.at Website aufrufen. Den im Schulbuch eingedruckten Code in das Suchfeld auf www.oebv.at eingeben. kostenloses Zusatzmaterial Ó GZ-Arbeitsblatt 39a8z7 Online-Code Android iOS QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der AppMedienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik in der Berufswelt 8 1 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – Rechnen 10 2 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – Geometrie 13 3 Basiswissen 1. bis 3. Klasse – GeoGebra 16 Das kann ich! 18 4 Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen 22 5 Rationale Zahlen vergleichen 24 6 Rechnen mit rationalen Zahlen 26 7 Quadrieren 28 8 Quadratwurzeln 30 9 Irrationale Zahlen und reelle Zahlen 32 10 Quadratwurzeln näherungsweise bestimmen 34 11 Rechnen mit reellen Zahlen 36 12 Kubieren und Kubikwurzeln 38 13 Anwendungsaufgaben 40 Thema: Wurzelziehen – das Heron-Verfahren 42 Zusammenfassung 43 Das kann ich! 44 14 Rechtwinklige Dreiecke 48 15 Der pythagoräische Lehrsatz 50 16 Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes 52 17 Anwendungen an ebenen Figuren I 54 18 Anwendungen an ebenen Figuren II 56 19 Anwendungsaufgaben 58 20 Der pythagoräische Lehrsatz in GeoGebra 60 Thema: Pythagoras, der Mathematiker und Philosoph 62 Zusammenfassung 63 Das kann ich! 64 Einführung 8 1 Reelle Zahlen 20 2 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 46 Inhalt Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper Zentrales fachliches Konzept 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhalt 21 Terme umformen – Strichrechnung und Klammern 68 22 Terme umformen – Multiplikation und Klammern 70 23 Bruchterme 72 24 Lösen von Gleichungen 74 25 Formeln 76 26 Textgleichungen 78 27 Textgleichungen aus der Geomtrie 80 Thema: Mischungsaufgaben im Gastgewerbe 82 Zusammenfassung 83 Das kann ich! 84 28 Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade 88 29 Umfang des Kreises 90 30 Flächeninhalt des Kreises 92 31 Kreisring 94 32 Kreissektor 96 33 Anwendungen im Alltag 98 Thema: Die Jagd auf die Zahl Pi 100 Zusammenfassung 101 Das kann ich! 102 34 Zuordnungen und ihre Darstellungen 106 35 Proportionalitäten und Formeln 108 36 Eindeutige Zuordnungen – Funktionen 110 37 Homogene lineare Funktionen 112 38 Zeichnen von homogenen linearen Funktionen – Steigung 114 39 Inhomogene lineare Funktion 116 40 Aufstellen von inhomogenen linearen Funktionen 118 41 Sachsituationen 120 42 Funktionale Zusammenhänge mit Tabellenkalkulationsprogrammen darstellen 122 43 Funktionen in GeoGebra 124 Thema: Zeitmessung 126 Zusammenfassung 127 Das kann ich! 128 Terme und Gleichungen 66 3 4 Kreis 86 Zuordnungen und lineare Funktionen 104 5 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Variablen und Funktionen 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

44 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 132 45 Lineare Gleichungssysteme – grafische Lösung 134 46 Das Einsetzungsverfahren 136 47 Das Gleichsetzungsverfahren 138 48 Das Additionsverfahren 140 49 Anwendungen 142 Thema: Gaußsches Eliminationsverfahren 144 Zusammenfassung 145 Das kann ich! 146 50 Oberfläche und Volumen von Prismen 150 51 Der pythagoräische Lehrsatz in Prismen 152 52 Volumen und Oberfläche von Pyramiden 154 53 Der pythagoräische Lehrsatz in Pyramiden 156 54 Anwendungsaufgaben im Alltag 158 55 Prismen und Pyramiden in GeoGebra 160 56 3D-Konstruktionen in Tinkercad 162 Thema: Pyramide 164 Zusammenfassung 165 Das kann ich! 166 57 Eigenschaften von Drehzylinder und Drehkegel 170 58 Volumen eines Drehzylinders 172 59 Oberfläche eines Drehzylinders 174 60 Volumen eines Drehkegels 176 61 Oberfläche eines Drehkegels 178 62 Anwendungsaufgaben 180 63 Zusammengesetzte Körper 182 Thema: Satz von Cavalieri 184 Zusammenfassung 185 Das kann ich! 186 6 Lineare Gleichungssysteme 130 7 Prismen und Pyramiden 148 Drehzylinder und Drehkegel 168 8 Variablen und Funktionen Figuren und Körper Figuren und Körper 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhalt 64 Arithmetisches Mittel und Median 190 65 Darstellen von Häufigkeiten 192 66 Absolute und relative Häufigkeiten 194 67 Laplace-Wahrscheinlichkeiten 196 68 Zufallsexperimente und Baumdiagramme 198 Thema: Das Phänomen der ersten Ziffer 200 Zusammenfassung 201 Das kann ich! 202 Spielplan 1. bis 4. Klasse 212 Fit für den Beruf 214 Angewandte Tabellenkalkuation im Lehrberuf 218 Fit für weiterführende Schulen 220 Lösungen 224 Glossar 239 Formelsammlung 243 Register 249 Faltmodell eines Zylinders Anhang Faltmodell eines Kegels Anhang 9 Daten und Zufall 188 Kompetenzcheck für die 4. Klasse 204 Abschluss und Ausblick 212 Daten und Zufall 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Starten 3 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − GeoGebra Ebene Figuren und ihr Flächeninhalt: a) Konstruiere ein Rechteck mit der Seitenlänge a = 3,8 cm, b = 4,7 cm. Nutze für die erste Seite a und b das Werkzeug „Strecke mit fester Länge“ . Du kannst den Endpunkt der Strecke so verschieben, dass ein Rechteck entsteht. Die Länge der Strecke bleibt trotzdem immer gleich. Anschließend konstruiere die gegenüberliegenden Seiten und die fehlende Ecke mit dem Werkzeug „Parallele Gerade“ oder „Senkrechte Gerade“. Erkläre in eigenen Worten, wie du mit dem Werkzeug die fehlenden Seiten konstruierst. b) Sobald du alle vier Eckpunkte konstruiert hast, nutze das Werkzeug „Vieleck“ und klicke nacheinander alle Eckpunkte an. Erst wenn die Fläche eingefärbt ist, erkennt GeoGebra, dass es sich um ein Rechteck handelt und kann den Flächeninhalt berechnen. c) Ändere die Beschriftung der Eckpunkte und Seiten so, damit sie nach den mathematischen Regeln stimmen und mache unnötige Beschriftungen und Hilfskonstruktionen unsichtbar. Erkläre, was passiert, wenn du beide gegenüberliegenden Seiten mit „a“ beschriften möchtest? Was könnte der Grund dafür sein? d) Berechne den Flächeninhalt in deinem Heft. e) Berechne den Flächeninhalt mit GeoGebra. Klicke dafür auf das Werkzeug „Fläche“ und anschließend auf das gezeichnete Rechteck. f) Vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von GeoGebra. Stimmen beide überein? Was ist beim Ergebnis von GeoGebra anders? Konstruiere folgendes Dreieck c = 6,8 cm, α = 65°, β = 30°. a) Tipp: Konstruiere die Seite c vom Nullpunkt auf der X-Achse. Nutze anschließend das Werkzeug: „Winkel mit fester Größe“ . b) Beschreibe in eigenen Worten, wie du die beiden Winkel mit GeoGebra konstruierst. Worauf musst du besonders achten? c) Zeichne vom Punkt A durch B' sowie vom Punkt B durch A' einen Strahl. Der Schnittpunkt entspricht dem Eckpuntk C des Dreiecks. Nutze wieder das Werkzeug „Vieleck“ , damit GeoGebra erkennt, dass es sich um eine dreieckige Fläche handelt. d) Beschrifte die Eckpunkte und Seiten richtig. e) Berechne den Flächeninhalt im Heft. Entnimm benötigte Lösungen der Zeichnung. Kontrolliere dein Ergebnis mit GeoGebra. 50 * 51 * 16 * Informatische Bildung, Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Starten Körper und ihr Volumen: Wähle im Hauptmenü „Ansicht“ und klicke „3D Grafik“ an. Du hast nun drei Fenster geöffnet. Wie heißen sie? Konstruiere einen Quader mit folgenden Maßen: a = 5 cm, b = 3 cm, h = 7 cm. a) Zeichne im Grafik-Fenster das Rechteck, das den Boden bildet. Beginne mit dem Eckpunkt A auf dem Nullpunkt des Koordinatensystems. b) Wechsle auf das 3D Grafik-Fenster. Wähle das Werkzeug „extrudieren“ und klicke auf das gezeichnete Rechteck. Gib im Fenster die Höhe „7“ ein und klicke auf „OK“. c) Kontrolliere die Beschriftung und ändere sie, falls notwendig. d) Berechne das Volumen des Prismas und kontrolliere, indem du GeoGebra das Volumen berechnen lässt. Klicke dafür auf das Werkzeug „Volumen“ und klicke auf den Quader. Konstruiere eine quadratische Pyramide mit folgenden Maßen: a = 3,8 cm, h = 6,5 cm. Gehe dafür ähnlich wie in Aufg. 53 vor. a) Zeichne im Grafik-Fenster den quadratischen Boden. b) Wechsle auf das 3D Grafik-Fenster. Wähle das Werkzeug „extrudieren“ und klicke auf das gezeichnete Quadrat. Gib im Fenster die Höhe „6,5“ ein und klicke auf „OK“. c) Kontrolliere die Beschriftung und ändere sie, falls notwendig. d) Berechne das Volumen der Pyramide und kontrolliere mit GeoGebra. AR-Funktion auf dem Smartphone: a) Öffne mit der GeoGebra-3D-Rechner-App auf deinem Smartphone den Quader oder die Pyramide von Aufg. 53 oder 54. Klicke im Hauptmenü auf „Öffnen“. Du findest alle deine Zeichnungen im Ordner „Privat“. b) Klicke im Grafikfenster das AR-Icon: . Führe die Befehle von GeoGebra durch. Nun siehst du über den Handy-Bildschirm auf deinem Tisch den Körper und kannst ihn von allen Seiten betrachten. 52 * 53 * 54 * 55 * 17 Einführung * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Starten Wo stehe ich? Ich kann … … rechte Winkel erkennen. … Katheten und Hypotenuse benennen. … rechtwinklige Dreiecke konstruieren. … quadrieren. … die Fläche eines Quadrats berechnen. … mit Termen rechnen und Äquivalenzumformungen durchführen Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Überprüfe deine Einschätzung! Die Seiten von rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen. a) Beschrifte das rechtwinkelige Dreieck und markiere den rechten Winkel ( ). b) Notiere, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben. Schreibe als Potenz und berechne, wenn möglich. a) 4 · 4 b) 3 · 3 c) 7 · 7 d) b · b Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a. a) a = 4,6 m b) a = 24 cm c) a = ? 1 Kästchenlänge ⩠ 1 cm Konstruiere die Dreiecke in einem Koordinatensystem (​ _ 01 ​⩠ 1 cm). Kontrolliere, ob das Dreieck rechtwinklig ist und beschrifte es. a) A (–4 | 0), B (3 | 1), C (–3 | 3) b) A (–2 | 1), B (5 | –1), C (4 | 3) Vereinfache den Term und führe die Probe durch (x = 1, y = 2, z = 3). a) 11x – 3y – 2z + 6x + 4z – 7x b) 8z – (– 6 + 5y – 2z) c) (2x + 4)2 Forme die Formel mittels Äquivalenzumformung so um, dass der gesuchte Wert berechnet werden kann. Gib an, um welche Formel es sich handelt. a) u = 3a ges: a b) u = 2a + 2b ges: b c) V = a · b · h ges: a d) A = ​ (a + c) · h ______ 2 ​ ges: h M, O 252 O 253 O 254 O 255 O 256 O 257 46 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Starten Rechte Winkel ohne Lineal? Bereits im alten Ägypten wurden rechte Winkel benötigt. Zum Beispiel benötigten die Bauern, deren Äcker am Nil lagen das Wissen, wie man einen rechten Winkel bildet. Da die Äcker jährlich vom Nil überschwemmt wurden, mussten danach die Grenzmarkierungen ihrer rechteckigen Felder neu angelegt werden. Um exakte 90°-Winkel zu erhalten, wurde ein sehr einfaches Werkzeug namens Zwölfknotenschnur genutzt. Auch beim Bau von Tempeln wurde von den sogenannten Seilspannern (= Harpedonapten) die Zwölfknotenschnur für die Konstruktion von rechten Winkeln genutzt. Das Werkzeug dafür wurde Merchet genannt. Ihr habt nun die Aufgabe die Zwölfknotenschnur selbst herzustellen. Dafür benötigt ihr eine Schnur, in welche ihr 11 Knoten im jeweils genau gleichen Abstand knüpft (1). Mit dem 12. Knoten verbindet nun beide Enden der Schnur (2). Spannt nun die Schnur zu einem Dreieck, in dem die drei Ecken jeweils bei einem Knoten liegen (3). a) Wie viele verschiedene Dreiecke könnt ihr so herstellen? b) Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke? c) Welche Seitenverhältnisse (Anzahl der Abstände) haben die rechtwinkligen Dreiecke? Befragt auch andere Gruppen, zu welchem Ergebnis sie gekommen sind. d) Zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit kleinen Punkten als Symbol für die Knoten ins Heft (zum Beispiel mit 1 cm-Abständen). Schafft ihr andere rechtwinklige Dreiecke, die mehr als 12 Knoten haben, zu zeichnen? M, O 258 C 1. 2. 3. Das lerne ich: Wie man rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Figuren erkennen und beschriften kann. Wie man mit dem pythagoräischen Lehrsatz die fehlende dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet. Wie man den pythagoräischen Lehrsatz umformt und anwendet. Wie man einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes erbringt. 47 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Lernen 14 Rechtwinklige Dreiecke Welche der Figuren ist ein rechtwinkliges Dreieck? In welcher Figur findest du ein rechtwinkliges Dreieck? Verwende ein Geodreieck, kennzeichne das rechtwinklige Dreieck und zeichne den rechten Winkel ein. a) Kontrolliere durch Messen, ob es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt. b) Kennzeichne den rechten Winkel und beschrifte die Seiten so, wie im Merksatz gezeigt. a) Kennzeichne den rechten Winkel und beschrifte die Seiten mit „Kathete“ und „Hypotenuse“. b) Miss die drei Seiten ab, berechne den Umfang und den Flächeninhalt. M, O 259 Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks haben besondere Namen: Die zwei Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist immer die längste Seite. Hypotenuse Kathete 2 Kathete 1 O 260 Wiederhole: Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt: u = a + b + c A = ​a ∙ b ___ 2 ​ O 261 A b a c o p q B 48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Lernen Konstruiere mit Hilfe des Thaleskreises mehrere Dreiecke mit c = 6 cm, γ = 90°. Konstruiere das rechtwinklige Dreieck (γ = 90°) mit Hilfe des Thaleskreises und hc. Miss die Seiten a und b ab. Vergleiche deine Konstruktion mit anderen Mitschülerinnen und Mitschülern. Was fällt dir auf? Erkläre, warum und wodurch sich die Dreiecke unterscheiden können? a) c = 7 cm; hc = 3 cm b) c = 4,6 cm; hc = 1,8 cm Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90°) mit Hilfe des Thaleskreises. Miss die fehlende Seitenlänge ab. a) c = 8 cm; b = 6,9 cm b) c = 6,4 cm; b = 2,5 cm c) c = 4,8 cm; a = 4 cm d) c = 72 mm; a = 27 mm Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90°) mit Hilfe des Thaleskreises. Miss die Katheten ab und berechne den dritten Winkel. Erkläre, wie du den fehlenden Winkel berechnest. a) c = 8 cm; α = 50° b) c = 6,4 cm; β = 28° c) c = 8 cm; α = 21° Zwischenstopp: a) Kontrolliere durch Messen, ob es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt. Teile die Dreiecke mit Hilfe der Höhe. b) Kennzeichne den rechten Winkel und beschrifte die Seiten mit „Kathete“ und Hypotenuse“. c) Miss die Seiten des Dreiecks und berechne den Umfang und den Flächeninhalt. O 262 A B Satz des Thales Jedes Dreieck in einem Halbkreis, dessen längste Seite (Hypotenuse) der Durchmesser dieses Kreises ist, ist rechtwinklig. A M B C1 C3 C2 hc O 263 A M c a b B C hc O, DI 264 * A M B Zirkelabschlag O 265 Zwischenstopp: Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck (γ = 90°) mit Hilfe des Thaleskreises. a) c = 6,1 cm; b = 2,5 cm b) c = 5,6 cm; hc = 2,8 cm c) c = 5,8 cm; a = 4,1 cm O 266 O 267 * 49 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen * Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Lernen 15 Der pythagoräische Lehrsatz a) Lege quadratische Gegenstände, z. B. quadratische Schokoladen oder Post-its, so, dass sie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit folgendem Seitenverhältnissen bilden: a = 3 Stücke, b = 4 Stücke, c = 5 Stücke. b) Lege weitere Schokoladen hinzu, sodass du an den jeweiligen Seiten Quadrate bildest. c) Zähle nun die Schokoladen der drei Quadrate. Vergleiche die Anzahl der Schokoladen in den beiden Kathetenquadraten mit dem Hypotenusenquadrat. Was fällt dir auf? d) Zeichne nun das rechtwinklige Dreieck in dein Heft. Seitenlänge: 1 Stück ⩠ 1 cm. Füge das Symbol für den rechten Winkel ein. Formuliere den pythagoräischen Lehrsatz für die gegebenen Dreiecke mit den entsprechenden Variablen. Überprüfe bei den folgenden Dreiecken, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Beispiel a) b) c) d) e) f) Seite a (in cm) 20 3 5 45 27 40 3 Seite b (in cm) 21 4 9 24 43 75 7,2 Seite c (in cm) 29 5 14 51 61 85 7,8 a2 + b2 841 c2 841 M, O, DI, B 268 C Der pythagoräische Lehrsatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der beiden Kathetenquadrate flächengleich dem Hypotenusenquadrat ist. Kathetenqudrat 1 + = + = + a² b² c² = Kathetenqudrat 2 Hypotenusenquadrat a² b² c² b c a Kathete b Hypotenuse c A B C Kathete a SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan c a a b a b b b c c c SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Edel-Vollmilch SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Haselnuss SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan SCHOKI die GRÜNE Marzipan a O 269 a) b) c) d) r r h g i m n o z y x t O 270 ó = 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Lernen Berechne die Länge der Hypotenuse c. a) a = 8 cm; b = 15 cm b) a = 2,7 cm; b = 3,6 cm c) a = 63 cm; b = 16 cm Verschiedene Taschenrechner verwenden unterschiedliche Symbole. Kreuze an, welche der Tasten dein Taschenrechner hat. Erkläre die Funktion der einzelnen Tasten und zeige diese anhand eines Beispiels. x² √ yx ^ √x √ 2nd Berechne die Länge der fehlenden Kathete. Berechne die Länge der fehlenden Kathete. Gehe so vor, wie hier gezeigt. Runde das Ergebnis, wenn notwendig. a) a = 2,7 m, c = 4,5 m b) b = 8 mm, c = 17 mm c) b = 65 cm, c = 8 dm d) a = 25 dm, c = 27 dm Zeichne folgendes Dreieck in ein Koordinatensystem ​ _ 01​ ⩠ 1 cm. Miss die Seitenlängen. Überprüfe mit dem pythagoräischen Lehrsatz und durch Abmessen der Winkel, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. a) A (–4,5 | –1); B (5 | –3); C (3 | 2) b) A (–3 | –3); B (2 | –3); C (1 | 3) Berechne die fehlende Seite. O 271 M 272 Zwischenstopp: Berechne die Länge der Hypotenuse c. a) a = 9,9 cm, b = 2 cm b) a = 4 dm, b = 9 cm O 273 O 274 a) b) c = 10,6 m b = ? a = 5,6 m c = 40 cm a = ? b = 24 cm Wenn die gesuchte Seite eine Kathete ist, muss der pythagoräische Lehrsatz umgeformt werden: a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a = ​√ _______ c2 – b2 ​ | – b2 | √ a2 + b2 = c2 b2 = c2 – a2 b = ​√ _______ c2 – a2 ​ | – a2 | √ z.B: a=4cm,c=16cm, b= ​√ _______ c2 – a2 ​ b= ​√ ________ 162 – 42 ​ b = 15,491… ≈ 15,5 cm O 275 O 276 Zwischenstopp: Berechne die fehlende Kathete. a) b = 50,4 m, c = 52 m b) a = 36 mm, c = 85 mm O 277 O 278 a) b) 8,5 m x x 13,2 m 4 m² 46,24 m² 51 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Lernen 16 Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes Für den Satz des Pyhtagoras gibt es bereits über 400 Beweise, weswegen er als der meist bewiesene mathematische Satz gilt. Die älterste Schrift, in der der Satz des Pythagoras vorkommt, stammt von ca. 1700 v. Chr. Seit diesem Zeitpunkt haben sich immer wieder Wissenschaft und Mathematiker mit dem Satz beschäftigt und verschiedenste Beweise graphisch oder rechnerisch erarbeitet. a) Recherchiere, welche Personen in der Geschichte Beweise zum Satz des Pythagoras aufgestellt haben. Erstelle digital ein Lernplakat und fasse alle wichtigen Informationen zusammen. b) Eine dieser Personen, die einen Beweis erarbeitet hat, war Präsident der USA. Wer war das? a) Recherchiert im Internet, welche bekannten Theorien es zum pythagoräischen Lehrsatz gibt, die bis heute nicht bewiesen oder gelöst werden konnten. b) Für die sogenannten „Millenium-Probleme“ gibt es einen Geldpreis von einer Million Dollar, wenn eine dieser Vermutungen durch jemanden bewiesen wird. Recherchiert und nennt drei der „Millenium-Probleme“. Erklärt in einem kurzen Audiobeitrag, worum es bei diesen Problemen geht. Geometrischer Beweis a) 1. Schneide acht gleich große rechtwinklige Dreiecke aus. 2. Schneide zwei Quadrate aus, die die Seitenlänge der beiden Katheten (a + b) der rechtwinkligen Dreiecke haben. 3. Lege vier Dreiecke auf das Quadrat wie im linken Bild. 4. Füge je zwei der vier verbliebenen Dreiecke zu Rechtecken zusammen. 5. Lege nun die entstandenen Rechtecke auf das zweite Quadrat wie im rechten Bild. Erkläre in eigenen Worten, wie man mit dieser Methode den pythagoräischen Lehrsatz beweist. b) Baue diesen geometrischen Beweis als Animation mit deinem digitalen Gerät nach. M 279 * ô Eine Formel, eine Theorie oder ein Gedanke kann richtig oder falsch sein. Solange eine Formel oder Theorie nicht bewiesen ist, nennt man sie These. Ein Beweis ist in der Mathematik die fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage (These). Mathematische Beweise können zum Beispiel geometrisch und mittels Formelumformung (algebraisch) durchgeführt werden. Dabei werden diese Beweise oft in Schritten durchgeführt. Man beginnt mit dem, was bereits bekannt und bewiesen ist und geht schrittweise bis zu dem Punkt, der bewiesen werden soll. In der Wissenschaft gibt es viele Theorien, die bis heute nicht bewiesen werden konnten. M 280 * B ô O, DI, B 281 * * b a a b c c2 a2 b2 52 * Medienbildung ** Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Lernen Geometrischer Beweis: Schaufelrad-Beweis nach Perigal a) Erkläre diese Beweismethode mit eigenen Worten. Erstelle von deiner Vorgehensweise ein Video. b) Übertrage die Figur auf ein leeres Blatt und kontrolliere die Richtigkeit durch Ausschneiden und Auflegen der Teilflächen. Beweis nach Garfield Zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke werden wie in der Abbildung nebeneinandergesetzt. Diese Anordnung wird zu einem Trapez ergänzt. Der Beweis zeigt, dass der Flächeninhalt des Trapezes gleich dem Flächeninhalt der nun drei rechtwinkligen Dreiecke ist. Ergänze die Lücken. Geometrischer und algebraischer Beweis Hier gibt es nun zwei Möglichkeiten eines Beweises für den Satz des Pythagoras, einen geometrischen Beweis oder mittels Formelumformung. Versuche gemeinsam mit anderen aus deiner Klasse beide Beweise zu finden. Tipp: Die grüne Fläche berechnen bzw. anders zusammenfügen. O, DI, B 282 * a – x x M a b c Zwischenstopp: Geometrischer Beweis von Pacek a) Erkläre in eigenen Worten, wie man mit dieser Methode den Satz des Pythagoras beweist. b) Übertrage die Figuren auf ein leeres Blatt und kontrolliere die Richtigkeit durch Ausschneiden und Auflegen der Teilflächen. O, DI, B 283 * * O, DI, B 284 a b c c2 2 + = (a + b) · (a + b) c2 + 2ab = a2 + 2ab + b2 c2 = a2 + b2 c b a c2 2 + = 2 Zwischenstopp: Beweis mittels Satz des Ptolemäus Dieser Satz besagt, dass bei allen Vierecken, die einen Umkreis besitzen, folgende Formel gilt: (Bild 1) a ∙ c + b ∙ d = e ∙ f Somit gilt für Rechtecke: a ∙ a + b ∙ b = e ∙ e (Bild 2) a2 + b2 = e2 Überprüfe den Satz: Zeichne einen Kreis mit vier Punkten auf der Kreislinie, die du zu einem allgemeinen Viereck verbindest und zeichne die Diagonalen e und f ein. Miss ab und setze in die erste Formel ein. Erkläre, warum sie auch für Rechtecke gelten muss. Vergleiche deine Ergebnisse mit anderen. Gilt die Formel bei jedem allgemeinen Viereck? O, DI, B 285 a a a = c b b b = d d c e f e e Bild 1 Bild 2 DI, B 286 C c (a – b)² a a b b 53 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen * Medienbildung ** Sprachliche Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Lernen 17 Anwendungen an ebenen Figuren I Irene und Bernhard gehen auf ihrem Schulweg über eine Wiese mit rechteckiger Grundfläche: a = 24 m, b = 45 m. Bernhard überquert die Wiese diagonal. Irene umgeht die Wiese. Beide Wege zusammen bilden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Entfernung, die jede Person zurücklegt und wer um wie viele Meter weiter gehen muss. Berechne die fehlende Seite oder Diagonale und den Flächeninhalt des Rechtecks. Runde sinnvoll. a) a = 5 cm; b = 12 cm b) a = 17 m; d = 27 m c) b = 4,5 m; d = 11,7 m d) a = 15,4 m; b = 72 dm Berechne die fehlende Seite oder Diagonale und den Flächeninhalt des Quadrates. Runde. a) a = 7 cm b) a = 25 cm c) d = 37 mm d) d = 9,6 m Berechne die fehlende Angabe und den Flächeninhalt. Runde sinnvoll. Irene Bernhard SCHULE a b d M, O 287 Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes Rechteck Quadrat a d b u = 2a + 2b A = a · b a d a u = 4a A = a2 d2 = a2 + b2 Umkehrung: d2 = a2 + a2 Umkehrung: d = ​√ _​a​ 2 ​+ ​b​2 ​ a = ​√ _​d​ 2 ​− ​b​2 ​ d = ​√ _​a​ 2 ​+ ​a​2 ​ d = ​√ _2 · ​a​ 2 ​ d = a · ​√ _ 2 ​ a = ​d _ ​√ _ 2 ​ ​= ​ d · ​√ _ 2 ​ _ 2 ​ b = ​√ _​d​ 2 ​− ​a​2 ​ O 288 O 289 Zwischenstopp: Berechne die fehlende Seite oder Diagonale, den Flächeninhalt und Umfang. Runde sinnvoll. a) Rechteck: a = 3,9 dm, d = 76 cm b) Quadrat: a = 5,6 m O 290 O 291 a) b) c) a = ? d = 3,3 cm b = ? a = 1,1 m d = 1,7 m d = ? a = 5,6 cm b = 2,9 cm 54 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Lernen Berechne die fehlende Seite oder die Höhe, den Flächeninhalt und den Umfang des gleichschenkligen Dreiecks. Runde sinnvoll. a) c = 30 mm hc = 36 mm b) a = 9 m c = 6,8 m c) a = 35 cm hc = 28 cm d) a = 86 dm c = 10,8 m Berechne die fehlende Seite oder die Höhe, den Flächeninhalt und den Umfang des gleichseitigen Dreiecks. Runde sinnvoll. a) a = 1 cm b) h = 1,3 m c) a = 8 m d) h = 44,4 cm Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Korrigiere Fehler. richtig falsch A Die Diagonalen eines Rechtecks bilden auch die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. B Ein Quadrat kann aus vier gleich großen rechtwinkligen Dreiecken gebildet werden. C Ein Rechteck kann in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke geteilt werden. Berechne die fehlende Seite und den Umfang. Runde sinnvoll. a) Rechteck: A = 192 cm2, a = 12 cm b) gleichschenkliges Dreieck: A = 12 cm2, c = 6 m c) gleichseitiges Dreieck: A = 21 m2 Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes gleichschenkliges Dreieck gleichseitiges Dreieck a hc a _c 2 _c 2 u = 2a + c A = ​ c ∙ ​h​c​ _ 2 ​ a2 = h c 2 + ​( ​c _ 2 ​)​ 2​ a = ​√ _​h​ c​ 2 ​+ ​( ​ c _ 2 ​)​ 2 ​ a h a _a 2 _a 2 u = 3a A = ​ a ∙ h _ 2 ​= ​ a _ 2 ​∙ h A = ​ a _ 2 ​∙ ​ a _ 2 ​∙ ​√ _ 3 ​ A = ​ ​a​2​ _ 4 ​∙ ​√ _ 3 ​ h2 = a2 – ​( ​a _ 2 ​)​ 2​ h = ​√ __________ ​a​2 ​− ​( ​a _ 2 ​)​ 2 ​ h = ​√ _ ​ ​4a​2​ _ 4 ​− ​ ​a​2​ _ 4 ​ h = ​√ _ ​ ​3a​2​ _ 4 ​ h = ​√ _ ​ ​a​2​ _ 4 ​ ∙ ​√ _ 3 ​ h = ​ a _ 2 ​∙ ​√ _ 3 ​ O 292 O 293 DI 294 Zwischenstopp: Berechne die fehlende Seite oder die Höhe, den Flächeninhalt und den Umfang. Runde sinnvoll. gleichschenkliges Dreieck (a = b): a) a = 13 dm, hc = 12 dm b) c = 94 m, hc = 114 m gleichseitiges Dreieck: c) a = 15 cm d) a = 7,9 m O 295 O 296 55 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Lernen 18 Anwendungen an ebenen Figuren II a) Notiere, welche Figuren hier abgebildet sind und beschrifte sie. b) Zeichne in die Figur Höhen oder Diagonalen ein, damit in der Figur rechtwinklige Dreiecke entstehen. Nutze für diese entstandenen Dreiecke den Satz des Pythagoras und stelle passende Formeln auf. c) Vergleiche die aufgestellten Formeln mit deiner Sitznachbarin oder deinem Sitznachbarn. Hast du die gleichen Formeln aufgestellt oder gibt es Unterschiede? Beschrifte die Figuren aus Aufg. 297 entsprechend der Angabe und berechne mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes die fehlende Länge. A a = 5 m; b = 3,2 m e = ? B b = 9,8 cm; ha = 4,9 cm, e = 12,5 cm a = ? C a = 5 dm; f = 6,25 dm d = ? Berechne die gesuchten Längen des Deltoids. Runde sinnvoll. a) x = 2,1 m; f = 5,6 m; a = ? b) y = 52 cm; f = 78 cm; b = ? c) x = 9,2 cm; f = 1 dm; a = ? d) y = 8 cm; f = 92 mm; b = ? e) a = 6,0 dm; b = 5,2 dm; f = 9,6 dm; e = ? f) a = 47,5 cm; b = 36 cm; f = 57 cm; e = ? M, O, DI 297 B A B C Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes an ebenen Figuren Du kannst den pythagoräischen Lehrsatz nutzen, um fehlende Längen einer Figur zu berechnen. Dafür musst du in der Figur rechtwinklige Dreiecke finden. Manchmal benötigt man Höhen, Diagonalen oder andere Strecken, die man zusätzlich einzeichnen muss, damit ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Tipp: Wenn die Angaben in Textform gegeben sind, mache eine Skizze und zeichne alle wichtigen Angaben ein. M, O 298 O 299 Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes am Deltoid a = ​√ __________ x2 + ​( ​f _ 2 ​)​ 2 ​ b = ​√ __________ y2 + ​( ​f _ 2 ​)​ 2 ​ e = x + y a a b b B D A y x –f2 C Zwischenstopp: Berechne die gesuchten Längen des Deltoids. Runde sinnvoll. a) y = 8,4 cm; f = 11,2 cm; b = ? b) a = 5,3 dm; b = 4,5 dm; f = 7,2 dm; e = ? O 300 56 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Lernen Jessie möchte einen Drachen, den sie im Internet gefunden hat, nachbauen. Sie hat folgende Informationen: 59 cm breit, die oberen Seiten sind 45 cm lang die unteren Seiten sind 66 cm lang. a) Beschrifte die Skizze mit allen gegebenen Daten. b) Wie lang müssen die beiden Stäbe des Drachens sein? Überlege, wo sich hier ein rechtwinkliges Dreieck befindet, das den gesuchten Stab oder einen Teil davon als Kathete oder Hypotenuse hat. Suche im Parallelogramm alle rechtwinkligen Dreiecke. a) Wie viele rechtwinklige Dreiecke hast du gefunden? b) Notiere für jedes gefunde rechtwinklige Dreieck den pythagoräischen Lehrsatz. c) Vergleiche deine Lösungen mit deiner Sitznachbarin oder deinem Sitznachbarn. Benenne die Figur und berechne die gesuchte Länge und den Flächeninhalt. Runde sinnvoll. a) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur. b) Berechne die Oberfläche der Figur. Dabei handelt es sich um einen Tetraeder. Seine Oberfläche besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Die Kantenlänge beträgt a = 4 cm. M, O 301 Skizze: A b a a y b e f x x B D C ha ha M 302 B M, O 303 ha = ? h = ? f = ? e = 112 m a) b) c) x = 5 dm b = 12 dm b = 3,4 m a = 31,2 dm c = 4,8 m y x = 16 dm a = 65 m Zwischenstopp: Berechne die gesuchte Länge des Parallelogramms und den Flächeninhalt. Runde sinnvoll. O 304 ha = ? x = 2,6 m a = 7,9 m e = 11,9 m O 305 332 m x 462 m 140 m 238 m 140 m 57 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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