7 Lernen 52 Volumen und Oberfläche von Pyramiden In einen Quader mit quadratischer Grundfläche wird eine quadratische Pyramide eingeschrieben. (siehe Skizze) a) Was haben Quader und Pyramide gemeinsam? b) Schätze, um welchen Bruchteil das Volumen der Pyramide kleiner ist als das des Quaders. c) Berechne das Volumen beider Körper mit a = 6 cm und h = 8 cm und vergleiche. Berechne das Volumen und die Oberfläche der quadratischen Pyramide. a) a = 16 cm; h = 24 cm b) a = 2,7 m; h = 3,2 m Berechne das Volumen und die Oberfläche der regelmäßigen dreiseitigen Pyramide. a) a = 18 cm; h = 22 cm, ha = 22,6 cm b) a = 14,4 cm; h = 21,6 cm; ha = 22,0 cm h h a a M, O 835 Für das Volumen der Pyramide gilt: V = G · h ___ 3 quadratische Pyramide regelmäßige dreiseitige Pyramide ha a a a a G s s s s s a a V = G · h ___ 3 V = a2 · h ____ 3 ha a a a a a a G M M s s s s a hG V = G · h ___ 3 V = a · hG ____ 2 · h _ 3 V = a · hG · h _____ 6 oder V = a2 · √ __ 3 ____ 4 · h _ 3 V = a2 · √ __ 3 · h ______ 12 Für die Oberfläche der Pyramide gilt: O = G + M O = G + M O = a2 + 2 ∙ a ∙ h a O = G + M O = a2 ∙ √ __ 3 _____ 4 +3∙ a ∙ ha ____ 2 O 836 O 837 Aus der Geschichte: Die Geometrie spielte im alten Ägypten eine größere Rolle als die Arithmetik. Ohne die Berechnung von Flächen- und Rauminhalten wäre ein Pyramidenbau ab ca. 2650 v.Chr. nicht möglich gewesen. Zwischenstopp: Berechne das Volumen und die Oberfläche. a) quadratische Pyramide: a = 72 cm; h = 84 cm b) regelmäßige dreiseitige Pyramide: a = 10,2 cm; h = 12 cm; ha = 12,4 cm c) rechteckige Pyramide: a = 4,2 m; b = 3,6 m; h = 5,5 m O 838 hb ha h a s s s b 154 M Arbeitsheft Seite 71 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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