Wie arbeite ich mit diesem Buch? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Buch begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Auf diesen beiden Seiten zeigen wir dir den Aufbau des Buches. Starten Starten Wo stehe ich? Ich kann … … rechte Winkel erkennen. … Katheten und Hypotenuse benennen. … rechtwinklige Dreiecke konstruieren. … quadrieren. … die Fläche eines Quadrats berechnen. … mit Termen rechnen und Äquivalenzumformungen durchführen Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Überprüfe deine Einschätzung! Die Seiten von rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen. a) Beschrifte das rechtwinkelige Dreieck und markiere den rechten Winkel ( ). b) Notiere, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben. Schreibe als Potenz und berechne, wenn möglich. a) 4 · 4 b) 3 · 3 c) 7 · 7 d) b · b Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a. a) a = 4,6 m b) a = 24 cm c) a = ? 1 Kästchenlänge ⩠ 1 cm Konstruiere die Dreiecke in einem Koordinatensystem ( _ 01 ⩠ 1 cm). Kontrolliere, ob das Dreieck rechtwinklig ist und beschrifte es. a) A (–4 | 0), B (–3 | 3), C (3 | 1) b) A (4 | 3), B (5 | –1), C (–2 | 1) Vereinfache den Term und führe die Probe durch (x = 1, y = 2, z = 3). a) 11x – 3y – 2z + 6x + 4z – 7x b) b) 8z – (– 6 + 5y – 2z) c) c) (2x + 4)2 Forme die Formel mittels Äquivalenzumformung so um, dass der gesuchte Wert berechnet werden kann. Gib an, um welche Formel es sich handelt. a) u = 3a ges: a b) u = 2a + 2b ges: b c) V = a · b · h ges: a d) u = (a + c) · h ______ 2 ges: h M, O 252 O 253 O 254 O 255 O 256 O 257 Rechte Winkel ohne Lineal? Bereits im alten Ägypten wurden rechte Winkel benötigt. Zum Beispiel benötigten die Bauern, deren Äcker am Nil lagen das Wissen, wie man einen rechten Winkel bildet. Da die Äcker jährlich vom Nil überschwemmt wurden, mussten danach die Grenzmarkierungen ihrer rechteckigen Felder neu angelegt werden. Um exakte 90°-Winkel zu erhalten, wurde ein sehr einfaches Werkzeug namens Zwölfknotenschnur genutzt. Auch beim Bau von Tempeln wurde von den sogenannten Seilspannern (= Harpedonapten) die Zwölfknotenschnur für die Konstruktion von rechten Winkeln genutzt. Das Werkzeug dafür wurde Merchet genannt. Ihr habt nun die Aufgabe die Zwölfknotenschnur selbst herzustellen. Dafür benötigt ihr eine Schnur, in welche ihr 11 Knoten im jeweils genau gleichen Abstand knüpft (1). Mit dem 12. Knoten verbindet nun beide Enden der Schnur (2). Spannt nun die Schnur zu einem Dreieck, in dem die drei Ecken jeweils bei einem Knoten liegen (3). a) Wie viele verschiedene Dreiecke könnt ihr so herstellen? b) Wie viele davon sind rechtwinklige Dreiecke? c) Welche Seitenverhältnisse (Anzahl der Abstände) haben die rechtwinkligen Dreiecke? Befragt auch andere Gruppen, zu welchem Ergebnis sie gekommen sind. d) Zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck mit kleinen Punkten als Symbol für die Knoten ins Heft (zum Beispiel mit 1 cm-Abständen). Schafft ihr andere rechtwinklige Dreiecke, die mehr als 12 Knoten haben, zu zeichnen? M, O 258 C 1. 2. 3. Das lerne ich: Wie man rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Figuren erkennen und beschriften kann. Wie man mit dem pythagoräischen Lehrsatz die fehlende dritte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet. Wie man den pythagoräischen Lehrsatz umformt und anwendet. Wie man einen Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes erbringt. 46 47 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 4 Lernen Lernen 29 Umfang eines Kreises Sarah und Klemens haben verschieden große Kreise aus Karton ausgeschnitten und deren Durchmesser eingezeichnet. Anschließend haben sie die Kreise abgerollt und die Kreislinien als Strecken dargestellt. Miss die jeweiligen Strecken und die Durchmesser der Kreise. Dividiere anschließend jede Strecke durch den Durchmesser. Was kannst du feststellen? Berechne den Umfang des Kreises. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. a) d = 5 cm b) d = 17,2 m c) r = 12,9 mm d) r = 0,95 dm Bestimme den Durchmesser und den Umfang des Kreises. a) d = u = b) d = u = c) d = u = d) d = u = e) d = u = f) Wie verändert sich der Umfang, wenn sich der Durchmesser verdoppelt? Das Rad eines Muldenkippers hat einen Radius von 0,98 m. Es dreht sich pro Tag 6 000-mal. Welche Strecke wird dabei zurückgelegt? Die Spitze des Minutenzeigers einer Herrenarmbanduhr ist vom Drehpunkt 12 mm entfernt. Welche Weglänge legt die Spitze des Minutenzeigers in 24 h zurück? M M M M, O, DI 487 Umfang eines Kreises Die Kreislinie, die einen Kreis begrenzt, heißt Kreisumfang. Dividiert man den Umfang des Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man die Kreiszahl π (sprich pi). Der Taschenrechner gibt für π den Wert 3,141592654 aus. Den Umfang u eines Kreises berechnet man mit: u = d · π oder u = 2r · π. O 488 a) b) 1 cm c) d) e) M, O 489 M, O 490 Zwischenstopp: Der Durchmesser der Bodenräder eines Flugzeuges beträgt 1,15 m. Wie groß ist der Umfang eines solchen Rades? M, O 491 M, O 492 Der Umfang eines Kreises beträgt 256 cm. Berechne seinen Radius und den Durchmesser. Der Mondäquator misst 10 930 km. Berechne den Radius des Mondes. Eine Autofelge hat einen Umfang von 120 cm. a) Wie groß ist ihr Durchmesser? b) Wie viel Zoll hat der Durchmesser? (1 Zoll ≈ 2,54 cm) Sabrina bekommt zum Geburtstag von ihrer Freundin Sigrid einen Riesenluftballon geschenkt. Sigrid sagt: „Diesen Luftballon kannst du bis zu einem Umfang von 200 cm aufblasen. Ich habe das nicht gemacht, weil er sonst nicht durch die Tür gepasst hätte.“ Überprüfe diese Aussage, rechne nach und begründe. Ein Rad dreht sich auf einer Strecke von einem Meter fünfmal. Wie groß ist der Radius des Rades? Berechne den Umfang der zusammengesetzten Figur. Der Querschnitt des 3 m langen Wellblechs ist eine aus Halbkreisen zusammengesetzte Wellenlinie. a) Wie lang muss das Flachblech sein? Ermittle r aus der Abbildung. b) Wie lang muss das Flachblech bei einem Radius von 4 cm sein? O 493 Umkehrung der Umfangsformel u = 2 · r · π | : 2π r = u _ 2π oder u = d · π | : π d = u _ π O 494 O 495 M, O, B 496 O 497 Zwischenstopp: Familie Gruber möchte einen kreisrunden Esstisch kaufen an dem zehn Personen gemütlich sitzen können. Wie groß muss der Radius dieses Esstisches sein, wenn jede Person 60 cm Platz benötigt? O 498 10 cm a) b) 5 cm 5 cm 12 cm O, DI 499 3 m r O, DI 500 90 91 Kreis Bei diesen Aufgaben musst du selbst ein Lösungsverfahren finden. Das wirst du in diesem Abschnitt lernen. Bist du gut für das Kapitel vorbereitet? Fülle die Checkliste aus und schätze dich selbst ein. Mit diesen Aufgaben kannst du deine Einschätzung kontrollieren. Die gelben Erklärkästen unterstützen dich beim Lösen der Aufgabe. Das Wichtigste findest du im Merksatz. Zu jedem Merksatz gibt es ein kurzes Erklärvideo, das du dir mit der QuickMedia App oder mit dem OnlineCode ansehen kannst. Hast du bisher alles verstanden? Kontrolliere dich mit dem ersten Zwischenstopp. Hier kannst du dich mit dem zweiten Zwischenstopp kontrollieren. Kompetenzcheck für die 4. Klasse: Mit den Aufgaben auf den Seiten 204 bis 211 kannst du überprüfen, ob du das Wichtigste dieser Schulstufe verstanden hast. Glossar: Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden auf den Seiten 239 bis 242 erklärt. Verbinden 2 Pythagoras, der Mathematiker und Philosoph Lies den Text in der Sprechblase von oben. Ist die Aussage richtig oder falsch? Besprich die Sätze mit einer zweiten Person und korrigiere falsche Aussagen. richtig falsch Pythagoras wurde im 6. Jahrhundert vor Christus geboren. Pythagoras lebte sein ganzes Leben lang in Italien und reiste nie. Pythagoras war faul und nicht wissenshungrig. Pythagoras studierte Naturwissenschaft, Philosophie und Religion. Die Schüler und Anhänger von Pythagoras nennt man Pythagoräer. Es gibt verschiedenste Theorien darüber, welche Rolle Pythagoras bei der Erarbeitung des pythagoräischen Lehrsatzes hatte. Einige glauben, dass er selbstständig den Satz entdeckte, andere vermuten, dass er ihn von den Babyloniern oder anderen orientalischen Quellen übernahm. Hier siehst du eine mehr als 3 500 Jahre alte babilonische Tontafel in Keilschrift. Sie zeigt pro Zeile je drei natürliche Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen. Diese sogenannten Zahlentripel bedeuten, dass man für den pythagoräischen Lehrsatz: „a2 + b2 = c2“ natürliche Zahlen verwenden kann; zum Beispiel: 3, 4, 5 32 + 42 = 52 oder 7, 24, 25 72 + 242 = 252 a) Finde selbst solche Zahlentripel durch ausprobieren. b) Stelle mit der Formel im rechten Kasten selber Zahlentripel her. Setze für x und y selbstgewählte natürliche Zahlen ein. Kontrolliere ob deine generierten Zahlentripel stimmen. c) Erstellt in Teamarbeit eine Präsentation über den Mathematiker Pythagoras und den Lehrsatz. Fasst wissenwerte Informationen aus dem Schulbuch zusammen und ergänzt mit Hilfe von Quellen aus dem Internet. Arbeitet in einem kollaborativen Dokument zusammen. Hallo, mein Name ist Pythagoras von Samos. Ich wurde 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren. Da ich bereits als Jugendlicher sehr wissenshungrig war, reiste ich nach Ägypten und Babylon, um bei Wissenschaftlern und Priestern zu studieren. Naturwissenschaft (wie z. B. Sternenkunde und Geometrie), Philosophie sowie Religion interessierten mich besonders. Nach meiner Rückkehr auf die Insel Samos musste ich leider vor der Tyrannenherrschaft von Polykrates fliehen und reiste nach Süditalien in die Stadt Kroton. Dort gründete ich eine Schule, in der ich nicht nur Naturwissenschaft und Mathematik, sondern auch politische und religiöse Ansichten weitergab. Mir war Freundschaft von allen und mit allen sehr wichtig. Ich war religiös und glaubte an die unsterbliche Seele. Im Laufe der Zeit hatte ich eine große Anzahl von Anhängern (genannt Pythagoräer), die mich bereits zu Lebzeiten verehrten. M, DI 322 B a = x2 – y2 b = 2 · x · y c = x2 + y2 M, DI 323 B * 62 * Medienbildung Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen Überprüfen Überprüfen 2 Das kann ich! Ich kann rechtwinklige Dreiecke erkennen und den pythagoräischen Lehrsatz anschreiben. Suche rechtwinkelige Dreiecke und markiere den rechten Winkel. Formuliere den pythagoräischen Lehrsatz für die Berechnung der Hypotenuse mit den entsprechenden Variablen. Ich kann eine fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Berechne die Länge der fehlenden Seite (γ = 90°). a) a = 3,3 m; b = 5,6 m; c = ? b) b = 7,2 m; c = 17 m; a = ? c) a = 1,1 m; c = 6,1 m; b = ? Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz an ebenen Figuren anwenden. Berechne die fehlende Seite oder Höhe. Runde sinnvoll. gleichschenkliges Dreieck: a) c = 21 cm; hc = 8,8 cm a = b) a = 22,1 dm; hc = 22 dm c = gleichseitiges Dreieck: c) a = 4,2 dm h = d) h = 64,3 cm a = e) u = 136 mm h = Berechne die fehlende Seite oder Diagonale. Runde sinnvoll. Rechteck: a) a = 6,9 cm; b = 26 cm d = b) a = 2,4 m; d = 4,1 m b = Quadrat: c) a = 193 mm d = d) d = 52,6 cm a = Raute: e) e = 12 cm; f = 18,2 cm a = f) a = 17 m; f = 30,8 m e = Deltoid: g) e = 51 cm; f = 80 cm; y = 42 cm, a = b = h) a = 47,5 cm; b = 36 cm; f = 57 cm, e = gleichschenkliges Trapez: i) c = 9,99 dm; e = 13 dm; h = 6,6 dm, a = b = j) a = 19,5 m; b = 16,9 m; h = 15,2 m, c = e = M, O, DI 324 a) a z y x a a c m n l b c b) c) d) O 325 O 326 O 327 Ich kann den pythagoräischen Lehrsatz anwenden. Hier siehst du das Wahrzeichen von San Francisco: die Golden Gate Bridge. a) Berechne die Länge des Trageseils, das vom Ufer von Pylon zu Pylon gespannt ist. Stelle dir vor, das Trageseil bildet jeweils die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (eines davon ist gelb eingezeichnet). b) Das Ergebnis ist nur annäherungsweise richtig, warum? Wird das Seil in der Realität länger oder kürzer sein. Begründe deine Antworten. Die größte der drei Pyramiden von Gizeh ist die CheopsPyramide. Es ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Ihre ursprüngliche Höhe wird auf 146,59 m geschätzt. Ihre Seitenlänge ist 230,33 m lang ihre Höhe beträgt heute 138,75 m. a) Berechne die Höhe auf die Seite a (ha) der ursprünglichen und der heutigen Höhe. b) Berechne die vier dreieckigen Mantelflächen. Die Steinblöcke der Pyramide haben eine Höhe von ca. 70 cm bis 150 cm. Wie viele Stufen aus Steinblöcken müsstest du entlang der Seitenflächenhöhe ha überwinden, bis du an der Spitze bist, wenn du mit einer durchschnittlichen Höhe und Tiefe der Steinblöcke von 110 cm rechnest? Eine gleichseitige dreieckige Fliese hat eine Kantenlänge von 24 cm. a) Berechne die Fläche einer Fliese. b) Martin möchte mit diesen Fliesen seinen Badezimmerboden von 9,5 m2 auslegen. Wie viele Fliesen werden benötigt, wenn Martin einen Verschnitt von 10 % einberechnet? c) Warum benötigt man beim Fliesenlegen 10 % mehr? Begründe. Zusammengesetzte Figur: a) Berechne die fehlenden Seitenlängen. b) Berechne den Umfang und Flächeninhalt. SPEDITION 345 m 345 m 1 280 m 1 970 m Trageseil Pylon 640 m 230 m M, O, DI, B 328 M, O 329 M, O 330 24 cm M, O, B 331 * M, O, DI 332 19,6 m 37,6 m 16 m 23,2 m 12 m z x y 64 65 * Sprachliche Bildung Auf den Themenseiten zeigen wir dir viele schöne Seiten der Mathematik. Du lernst Bereiche kennen, in denen Mathematik eine Rolle spielt. Mit diesen Aufgaben kannst du den Lernstoff des Abschnitts wiederholen und üben. Die Lösungen dazu findest du am Ende des Schulbuchs. Die Zusammenfassung gibt dir einen guten Überblick über den gesamten Abschnitt. In der linken Spalte stehen die wesentlichen Inhalte. Rechts daneben findest du kleine Beispiele oder Grafiken. Lernen Starten Verbinden Zusammenfassen Überprüfen Zusammenfassen Zusammenfassung Rechtwinkliges Dreieck • Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. • Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Satz des Pythagoras • Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Kathetenquadrate zusammen flächengleich dem Hypotenusenquadrat. Beweise des Satzes des Pythagoras • Ein mathematischer Satz enthält eine Behauptung, die man beweisen kann. • Der Satz des Pythagoras enthält die Behauptung a2 + b2 = c2 • Ein Beweis muss schlüssig sein. Anwendungen an ebenen Figuren • Im Rechteck und Quadrat können die Diagonalen mithilfe der Seitenlängen berechnet werden. • In geometrischen Figuren muss man geeignete rechtwinklige Dreiecke finden, um den Satz des Pythagoras anzuwenden. Anwendungen im Alltag • Es ist oft hilfreich, eine Skizze anzufertigen. • Mit Hilfe von zusätzlich eingezeichneten Strecken kann man versuchen, rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen. Hypotenuse Kathete 2 Kathete 1 c² a² b² A B C a c 2 b b a b 2 a 2 a d b a d a a hc a _c 2 _c 2 h c = √ _________ a 2 − ( c _ 2 ) 2 d = √ ________ a 2 + b 2 d = √ __ a 2 Wie hoch reicht eine 4,5 m lange Leiter, die im Abstand von 1,5 m von einer Wand aufgestellt wird? x = √ _ 4,5 2 − 1,5 2 ≈ 4,24 A: Die Leiter reicht 4,24 m hoch. 1,5 m 4,5 m x 63 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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