Lösungen 191 a) 5 √ __ 8 – 5 √ __ 7=5·(√ __ 8 – √ __ 7 ) b) –2 √ ___ 13 c) √ ___ 81 = 9 d) 10 – 8 = 2 197 a) 5 √ __ 2 b) 8 √ ___ 10 c) x √ __ 2 _ 3 d) 5 √ __ x – 5 √ __ b=5·(√ __ x – √ __ b ) 208 a) ≈ 1,80 (1,804…) b) 30 c) ≈ 5,79 (5,788…) d) a = 1,26 dm (1,259…) 216 a) 16 b) 1 _ 2 c) 4 d) 9 · 3 √ __ a 223 a) A = 81,9 dm2 (81,92); Quadrat: a = 90,5 cm (90,509…); u = 362 cm (362,03…) b) a = 8 cm 229 V = 216 cm3; a = 60,0 mm (60,006…) Das kann ich! 233 a) 4 ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ b) √ ___ 17 ∈ , ℝ c) richtig d) –7 ∈ ℤ, ℚ, ℝ 234 kreuze an: a) ℕ, ℤ, ℚ, ℝ b) ℕ, ℤ, ℚ, ℝ c) ℚ, ℝ 235 a) > b) < c) < 236 a) 40 % b) 125 ____ 1 000 = 1 _ 8 c) 6,3 · 107 237 a) +5,8 b) –2,128 c) 1 d) 19 __ 24 e) – 47 __ 16 = –2 15 __ 16 f) + 14 __ 99 238 a) +364 1 _ 2 b) – 29 __ 96 239 verbinde: A mit 4, B mit 1, C mit 3, D mit 5 und E mit 2 240 a) 1 600 b) 4 _ 9 c) + 16 __ 81 d) 14 400 e) 49 __ 16 = 3 1 __ 16 241 Grundstück: A = 10,2 a (10,24); Swimmingpool: A = 51,2 m2 242 a) 11 b) 14 c) 9 d) 15 e) 40 f) 0,7 243 a) a = 1,22 m (1,2247…); u = 4,90 m (4,8989…) b) a = 1,45 m (1,4491…); u = 5,80 m (5,7965…) 244 a) √ __ 3 – √ __ 5 b) –9 √ __ a + 2 √ __ b c) 0 245 kreuze an: B und C 246 a) y √ __ 1 _ 6 b) 7 √ __ 2 c) √ __ 2 d) 2x √ __ 1 _ 7 247 unterstreiche: √ ___ 34, π und √ ____ 139 248 a) 2 < √ __ 6 < 3 b) 3 < √ ___ 13 < 4 c) 6 < √ ___ 39 < 7 d) 7 < √ ___ 57 < 8 e) 10 < √ ____ 111 < 11 f) 18 < √ ____ 358 < 19 249 a) a = 7 dm b) a = 12 cm c) a = 6,3 cm d) V = 250 cm3; a = 6,30 cm (6,2996…) 250 z. B.: Die Oberfläche vervierfacht sich, weil aus V = a3 · 8 s = 2a O = 6 · s2 = 6 · 4a2 = 6a2 · 4 251 a) 147 b) 4 __ 10 = 2 _ 5 c) 8 __ 25 2 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 262 a) und b) Vergleiche mit der Zeichnung im Merksatz auf der Seite 48. Dreieck A: allgemeines, rechtwinkliges Dreieck; Dreieck B: allgemeines, stumpfwinkliges Dreieck b) Dreieck A: a = 23 mm, b = 48 mm, c = 53 mm; u = 124 mm, A = 552 mm2; Dreieck B: a = 55 mm, b = 20 mm, c = 62 mm; u = 137 mm; hc = 17 mm, A = 527 mm2 Kathete 1a = Kathete 2b = 17 mm, Kathete 1b = 10 mm, Kathete 2a = 52 mm 266 a) a = 56 mm, α = 66°, h c = 23 mm b) a = b = 39,6 mm, α = β = 45° c) b = 41 mm, α = 45°, hc = 29 mm 273 a) c = 10,1 cm b) c = 41 cm = 4,1 dm 277 a) a = 12,8 m b) b = 77 mm 283 a) und b) Z. B.: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Errichte die Kathetenquadrate und zeichne das Hypoenusenquadrat unterhalb und oberhalb der Hypotenuse. Die drei, über das obere Hypotenusenquadrat hinausragenden, Dreiecke schneide nun ab. Diese drei Dreiecke füllen die Lücken des oberen Hypotenusenquadrats. Der Satz des Pythagoras ist bewiesen, weil durch die Zerlegung der Kathetenquadrate, die beiden Kathetenquadrate zusammen das Hypotenusenquadrat ausfüllen. c2 = a2 + b2 285 Verfahre entsprechend der Anleitung! Z. B.: Der Satz des Ptolemäus gilt für alle Vierecke, die einen Umkreis haben. Ein Sonderfall des allgemeinen Vierecks ist das Rechteck. Die Diagonale e teilt das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten des Rechtecks als Katheten und der Diagonale e als Hypotenuse. Wendet man den Satz des Ptolemäus auf das Rechteck an, erhält man einen Beweis für den Satz des Pythagoras: a2 + b2 = e2, weil e = c c2 = a2 + b2 290 a) b = 65,2 cm (65,230…); A = 25,4 dm2 (25,439…); u = 20,8 dm (20,846…) b) d = 7,92 m (7,9195…); A = 31,4 m2 (31,36); u = 22,4 m 295 a) c = 10 dm; A = 60 dm2; u = 36 dm b) a = b = 123 m (123,30…); A = 53,6 a (53,58); u = 341 m (340,61…) A Hypotenuse Kathete 2 Kathete 1 B Hypotenuse b Hypotenuse a Kathete 1 b Kathete 2 b Kathete 1 a Kathete 2 a K K 225 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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