Verbinden 1 Wurzelziehen − das Heron-Verfahren Bestimme mit dem Heron-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. a) √ _ 14 b) √ _ 32 c) √ _ 63 d) √ _ 72 e) √ _ 95 Die Formeln müssen nur einmal eingegeben werden und können, wenn die Zelle markiert ist, mit dem Quadrat nach unten ausgeführt werden. Führe das Heron-Verfahren mit Hilfe einer Tabellenkalkulation auf mindestens fünf Dezimalen genau durch. a) √ _ 26 b) √ ____ 118 c) √ ___ 88 d) √ ____ 284 e) √ _3 000 Aus der Geschichte: Heron von Alexandria lebte ca. 60 n.Chr. Nach ihm ist ein Verfahren benannt, mit dem sich Quadratwurzeln ohne Wurzeltaste berechnen lassen. Dabei nähert man sich durch flächengleiche Rechtecke schrittweise einem Quadrat an. Vorgangsweise an einem Beispiel 1) Um z.B. √ _ 27zu bestimmen, beginnt man mit einem Rechteck, das die Seitenlängen a1 = 9 cm und b1 = 3 cm hat. Die Quadrate der Maßzahlen 92 = 81 und 32 = 9 schließen nämlich die Zahl 27 ein. 2) Da der Wert 81 zu groß und der Wert 9 zu klein ist, bildet man den Mittelwert von Länge und Breite. So erhält man eine neue Rechteckslänge a2. a2 = a1 + b1 _ 2 = 9 + 3 _ 2 = 6 b2 = Fläche _ a2 (= 27 _ 6 = 4,5) 3) Wiederholung der Vorgehensweise des 2. Schrittes a3 = a2 + b2 _ 2 = 6 + 4,5 _ 2 = 5,25 b3 = Fläche _ a3 (= 27 _ 5,25 ≈ 5,14) 4) Diese Schritte lassen sich beliebig oft wiederholen. Man erhält ein immer genaueres Intervall. Mit dem Taschenrechner erhält man √ _ 27≈ 5,2. Die Annäherung war schon recht genau. b ¹ = 3 cm b ² = 4,5 cm a ¹ = 9 cm a ³ = 5,25 cm a ² = 6 cm b ³ = 5,14 cm A = 27 cm² A = 27 cm² A = 27 cm² O 231 * ô A B C D 1 gesucht: √ ___ 33 2 Flächeninhalt des Rechtecks 33 3 Schritt Rechteckslänge Rechtecksbreite Flächeninhalt 4 1 3 11 33 5 2 7 4,714285714 33 6 3 5,857142857 5,634146341 33 7 4 5,745644599 5,743480898 33 8 5 5,744562748 5,744562545 33 Mit Hilfe einer Tabellenkalkulation kann das Heron-Verfahren leicht durchgeführt werden. Formel in B5: = (B4 + C4) _ 2 Formel in C5: = D4 _ B5 Formeln in D4: = B4 * C4 O 232 ô * 42 * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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