3 Lernen 24 Lösen von Gleichungen Leonie löst die Gleichung 16a + 19 = 5 ∙ (4 + 3a) in ihrem Heft. a) Henrik sagt: „Du hast sicher einen Fehler gemacht. Das Ergebnis muss eine ganze Zahl sein.“ Leonie entgegnet: „Schau, da steht G = ℝ.“ Welche Zahlen sind als Lösung bei G = ℝ erlaubt? b) Begründe, warum Leonies Ergebnis dennoch falsch ist. Bestimme die Lösung der Gleichung und überprüfe mit einer Probe. a) 8x – 4 = 16x – 16 b) 13a + 10 = 12a + 14 c) 2a – 4 – a + 12 = 7a – 16 d) 26y – 25y – 50 = 2y – 100 e) 5 (b – 2) = 5 f) 3 + 9a – (5a + 2) = 2a + 5 Löse die Gleichung, überprüfe mit einer Probe und gib die Lösungsmenge an (G = ℤ). a) 2 (4a – 3) = –3 (–2a + 7) b) –x + 99 = 98 – 2x c) 3x – 9 – (–4x + 5 – 3x – 2) = –10 Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung. a) (3a + 4) (2a – 3) = 6 (a2 + 8) b) x2 – 3x – 2x + 6 = x2 – 5x – 6x + 30 16a + 19 = 5 ∙ (4 + 3a) 16a + 19 = 20 + 3a / - 3a 13a + 19 = 20 / - 19 13a = 1 / : 13 a = 1 _ 13 M, O, B 392 Lösen von Gleichungen Eine Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen gelöst. addieren a – 6 = 8 | + 6 a = 14 subtrahieren b + 2 = 1 | – 2 b = –1 multiplizieren c _ 3 = 4 | · 3 c = 12 dividieren d · 2 = 6 | : 2 d = 3 Dabei wird auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert, dieselbe Zahl subtrahiert, mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert oder durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert. Das Rechnen mit Termen ist eine Voraussetzung für das Lösen von Gleichungen. Die Probe überprüft, ob korrekt umgeformt und gerechnet wurde. Bei der Probe wird statt der Variable der errechnete Zahlenwert eingesetzt. Die Grundmenge gibt an, welche Werte für die Variable eingesetzt werden dürfen. Die Lösungsmenge enthält die Werte, die, eingesetzt in die Gleichung, eine wahre Aussage ergeben. O 393 O 394 Wenn die errechnete Lösung nicht Teil der Grundmenge ist, ist die Lösungsmenge leer. L = { } O 395 Quadratische Glieder (z. B.: x2 oder a2) fallen weg, deshalb spricht man von linearen Gleichungen. Zwischenstopp: Löse die Gleichung und gib die Lösungsmenge an (G = ℝ). a) –11a + 11 = 34 – 14a b) 3x – 15 = 20 – (x + 3) c) (a – 2) (a + 3) = (a + 4) (a – 5) O 396 74 M Arbeitsheft Seite 37 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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