Schritt für Schritt Mathematik 4 Arbeitsheft
Schritt für Schritt Mathematik 4, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 225381 Schritt für Schritt Mathematik 4, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 225384 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 27. November 2025, Geschäftszahl 2025-0.158.043, gemäß 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 4. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Umschlag-Illustration: Matthias Pflügner, Berlin Redaktion: Sonja Stopper, Wien Herstellung: Harald Waiss, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Technische Zeichnungen: Arnold & Domnick, Leipzig Illustrationen: Matthias Pflügner, Berlin Satz: Arnold & Domnick, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11435-8 (Schritt für Schritt Mathematik AH 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-12906-2 (Schritt für Schritt Mathematik AH 4 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Schritt für Schritt Mathematik 4 Arbeitsheft Maria Brandhofer Sabine Mader Renate Marounek Irene Messerer Eva Pongratz Eva Schildt-Messerer Heidi Schimpl unter Mitarbeit von Marie-Hélène Fisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit diesem Arbeitsheft? Liebe Schülerin, lieber Schüler, dieses Arbeitsheft begleitet dich beim Mathematiklernen – Schritt für Schritt. Es ist die ideale Ergänzung zu deinem Schulbuch. Aufgaben zu den Lerneinheiten Das kann ich! Jahreskompetenzcheck Reelle Zahlen 1 7 Quadrieren Quadriere die Zahlen. a 1 5 7 9 11 13 15 16 18 a2 Schreibe als Potenz und quadriere. Beachte die Anzahl der Nullen und Dezimalstellen. a) 30 ∙ 30 = = b) 1,2 ∙ 1,2 = = c) 400 ∙ 400 = = d) 0,5 ∙ 0,5 = = Ergänze den Lückentext. Beim Quadrieren wird eine Zahl mit sich selbst . Wenn Zehnerzahlen quadriert werden, werden die verdoppelt. Die Anzahl der Dezimalen wird beim Quadrieren . Der Umfang der quadratischen Bodenplatte beträgt 100 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Platte? Benedikt schätzt das Quadrat der gegebenen Zahl ab. Kreuze die falsche Schätzung an. A 11,92 liegt zwischen 121 und 144. B 19,22 liegt zwischen 324 und 400. C 2,522 liegt zwischen 5 und 9. D 7202 liegt zwischen 4 900 und 6 400. Schreibe als Produkt und quadriere die negativen Zahlen ohne Taschenrechner. a) (–9)2 = b) –(–1)2 = c) (–1,1)2 = Quadriere. a) (9x)2 = b) (2a2)2 = c) (–2 7 _ 8 ) 2 = Johanna hat eine quadratische Küche mit einer Seitenlänge von 2,5 m. Sie verlegt quadratische Fliesen mit einem Flächeninhalt von 225 cm2. a) Berechne den Flächeninhalt der Küche und die Kantenlänge der Fliesen. b) Für den Verschnitt benötigt man 10 % mehr Fliesen. Berechne, wie viele Fliesen Johanna kaufen muss. O 70 O 71 M 72 M, O 73 DI 74 O 75 O 76 M, O 77 17 P Schulbuch Seite 28–29 Prismen und Pyramiden 7 Das kann ich! Ordne der gesuchten Größe die richtige Formel zu. A Oberfläche der quadratischen Pyramide 1 O = a2 · √ __ 3 B Oberfläche eines Tetraeders 2 O = 2 · a · b + 2 · (a + b) · h C Oberfläche eines Quaders 3 O = a2 + 2 · a · h a D Oberfläche der rechteckigen Pyramide 4 O=a·b+a·ha + b · hb Ein Quader hat ein Volumen von 216 cm3. a) Welche Maße könnte der Quader haben? Gib zwei Möglichkeiten an. b) Welche Kantenlänge besitzt ein Würfel mit demselben Volumen? Berechne die gesuchte Größe für einen Würfel. Seitenkante Volumen Oberfläche Flächendiagonale Raumdiagonale a) 10,2 cm b) 1 728 cm3 c) 13,856 cm Berechne das Volumen einer Dreikantleiste aus Holz, siehe Skizze. V = Eine Vase hat die Form eines dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Kantenlänge a von 16 cm. Die Höhe misst 20 cm. a) Berechne das Volumen der Vase. V = b) Wie hoch steht 1 _ 2 Liter Wasser in dieser Vase? h = Das Dach eines Turmes hat die Form einer rechteckigen Pyramide. Die Längen der Grundkanten betragen 7,2 m und 4,5 m, die Höhe misst 3,2 m. a) Wie groß ist die Dachfläche? M = b) Berechne das Volumen der Pyramide. V = O, B 355 B 356 O 357 2,5 m 32 mm 45 mm O 358 B 359 h b a O 360 Das kann ich! Bestimme die gesuchten Größen der quadratischen Pyramide. a) gegeben: a = 2,5 m; h = 3 m gesucht: ha , O, V b) gegeben: V = 360 cm3; h = 7,5 cm gesucht: a, h a , O c) gegeben: a = 8 cm; O = 163,20 cm2 gesucht: h a , V, h Eine Verpackung hat die Form eines Tetraeders. Wie lang ist die Seite a, wenn das Volumen 500 cm3 betragen soll? a = Bei einer speziellen quadratischen Pyramide ist die Höhe doppelt so lang wie die Grundkante. a) Gib eine Formel zur Berechnung des Volumens an. V = b) Setze für a = 5 cm ein und berechne das Volumen. V = Von einem regelmäßigen Oktaeder, a = s, kennt man die Seite a = 25 cm. a) Berechne die Länge der Diagonale _ AC . d = b) Berechne die Länge der Körperhöhe _ EF . h = c) Wie viel Kubikzentimeter beträgt das Volumen? V = d) Welche Größe hat die Oberfläche? O = Stelle eine Formel zur Berechnung des Volumens V auf. Das Volumen einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche beträgt 2 280 cm3, a = 19 cm, b = 15 cm. a) wie hoch ist die Pyramide? h = b) Wie verändert sich das Volumen, wenn man eine Grundkante verdoppelt und die Höhe halbiert? O 361 O 362 M, O 363 O 364 h a d A D C E F B 2a 2a c a a h M 365 O 366 h a b 74 P Schulbuch Seite 166–167 Kompetenzcheck für die 4. Klasse Kompetenzcheck für die 4. Klasse Die Glaspyramide im Hof des Louvre in Paris hat eine quadratische Grundfläche. Die Grundkante misst 35,42 m und die Pyramide ist 21,64 m hoch. Wie viel Quadratmeter Sicherheitsglas wurden verwendet, wenn die Stahlstreben 10 % ausmachen? Ein quaderförmiger Wassertank ist 150 cm hoch. Im Tank befindet sich bereits Wasser, das 20 cm hoch steht. Der Wassertank wird weiter konstant befüllt. Nach 5 Minuten steht das Wasser 70 cm hoch. Wie lange dauert es jetzt noch, bis der Tank vollständig gefüllt ist? A 20 min B 16 min C 10 min D 8 min Welche ganzen Zahlen erfüllen folgende Eigenschaft? –4 < x ≤ 3 Kreuze an. A –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3 B –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2 C –3, –2, –1, 0, +1, +2 D –3, –2, –1, 0, +1, +2 , +3 Kreuze an. Welche Formel für den Flächeninhalt des gelben Parallelogramms ist richtig? A a2 B 2a2 C 3a2 D 4a2 Berechne ohne Taschenrechner. a) 112 = b) 1202 = c) 0,32 = d) 0,052 = M, O 440 O 441 O 442 a a 2a O, DI 443 O 444 Von einem Rechteck kennt man die Seite a = 40 Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks. a) Wie groß ist die gekennzeichnete Fläche A? b) Wie viel Prozent der Rechtecksfläche nimm In welche Zahlenmenge gehört die Zahl? Kreuz √ __ 3 0,25 π ℕ ℤ ℚ ℝ Wende die binomischen Formeln an. a) (d + 2e)2 b) (3s + 2t)2 Setze das Komma an die richtige Stelle. Verwende dazu das vorgegebene Ergebnis. √ __ 1 a) √ ________ 144 400 = 0 0 3 8 0 0 0 b) √ _______ 0,1444 = M, O 445 M, O, DI 446 DI 447 O 448 DI 449 92 P Schulbuch Seite 204–211 Auf diesen Seiten findest du passende Aufgaben zu allen Lerneinheiten. Diese Aufgaben decken die wichtigsten Lernziele des Abschnittes ab. Diese Aufgaben decken die wichtigsten Lernziele der 4. Klasse ab. Kompetenzmodell Zentrale fachliche Konzepte Kompetenzbereiche Zahlen und Maße M: Modellieren und Problemlösen Variablen und Funktionen O: Operieren (Rechnen und Konstruieren) Figuren und Körper DI: Darstellen und Interpretieren Daten und Zufall B: Vermuten und Begründen Die zentralen fachlichen Konzepte werden im Inhaltsverzeichnis den Abschnitten bzw. Kapiteln zugeordnet. Die Abkürzungen für die Kompetenzbereiche befinden sich direkt unter der Aufgabennummer. Die Aufgaben auf einen Blick Aufgaben mit diesem Zeichen helfen dir, Fachwissen zu erwerben und Grundfertigkeiten zu erlernen. Bei diesen Aufgaben kannst du dein erworbenes Fachwissen und deine erlernten Grundfertigkeiten anwenden. Diese Aufgaben gehen über die Grundfertigkeiten hinaus. Dabei kann es notwendig sein, dass du zusätzliche Informationen benötigst, wie z.B. aus dem Internet. Diese Aufgaben sollen zu zweit bearbeitet werden. Diese Aufgaben bearbeitest du mit einem digitalen Gerät. B ô 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung 4 Reelle Zahlen 14 Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 26 Terme und Gleichungen 34 Kreis 43 Zuordnungen und lineare Funktionen 51 Lineare Gleichungssysteme 61 Prismen und Pyramiden 69 Drehzylinder und Drehkegel 76 Daten und Zufall 85 Kompetenzcheck für die 4. Klasse 92 Abschluss und Ausblick 100 Jene Kapiteln, die sich im Schulbuch auf den Technologie-Einsatz beziehen, werden im Arbeitsheft nicht berücksichtigt. Daher ist die Kapitelnummerierung nicht durchgehend. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Inhalt Zentrales fachliches Konzept Zahlen und Maße Figuren und Körper Zahlen und Maße Figuren und Körper Variablen und Funktionen Figuren und Körper Variablen und Funktionen Variablen und Funktionen Figuren und Körper Figuren und Körper Daten und Zufall 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung 1 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − Rechnen Trage auf der Zahlengeraden folgende Zahlen ein: 6,5; 3; 2 1 _ 2 ; 0,4; −2,7; −4 2 _ 10 . Schreibe stellenwertrichtig untereinander und berechne. a) 31,5 + 0,712 + 6 = b) 427,8 + 1 366,05 = c) 428,3 – 382,527 = Berechne ohne Taschenrechner. a) 36,44 ∙ 56 b) 1 586,2 ∙ 0,2 c) 3 528 : 49 = d) 1,386 : 4,5 Berechne ohne Taschenrechner. a) (–5) – (+3) – (–8) – (+4) = b) (+12) – (–89) + (+12) – (+1) = c) (+10) – (–17) – (+3) – (–8) = d) (–2) – (+5) – (–8) – (+3) – (+18) = Multipliziere ohne Taschenrechner. a) (+5) · (−4) · (−6) = b) (−3,5) · (+6) · (+5) = c) (−2,5) · (−4) · (−12) = d) (+ 1 _ 2 ) · (− 7 _ 10 ) · (− 3 _ 4 ) = Dividiere ohne Taschenrechner. a) (+90) : (−6) = b) (−6,5) : (+1,3) = c) (−150 ) : (−25) = d) (+ 7 _ 8 ) : (− 2 _ 5 ) = O 1 –1 0 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 4 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Berechne und beachte die Vorrangregeln. a) (+8) – (–3) ∙ (–5) = b) (+9) ∙ (–3) + (–12) = c) (–5) ∙ (–2) + (–8) : (+2) = d) (–11,3) + (–2,5) ∙ (+0,8) = e) (–48) : (–1,5) – (–2,8) = Vereinfache die Terme und führe die Probe durch (a = 2, b = 3). a) 9a + 4b – 2a – 3b = b) 12a – (7a + 9b) – a + 3b + (2a – b) = Rechnen mit Termen. a) 4x + (9x − 3x + 7x) = b) (5a · 3b) : 3a = c) 2,8y + 1,4y − (10,2y − 9,5y) = d) (+18ab) : (−9b) · (−4c) = Schreibe als Term an. a) Vermindere das Dreifache von y um das Doppelte von b. b) Addiere zum Doppelten einer Zahl das Vierfache dieser Zahl. Berechne. a) 7x3 + 8x2 · 3x = b) 6a2b : 2a = c) (a + 3b)2 = d) 2a7 – 5a4 + 3a7 = e) 32x5y3 : 42x2y = f) (2x – 5y)2 = Löse die Gleichung. a) 11x − 5 = 105 b) 0,4x + 3,5 = 9,5 c) 5y + 15 − 3y = 11 + 3y O 7 O 8 O 9 O, DI 10 O 11 O 12 5 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Forme die Formeln nach der gesuchten Größe um. a) V = a · b · h h = b) A = e · f _ 2 f = c) A = a · ha a = d) v = s _ t t = e) u = 2 · (a + b) b = f) A = c · hc _ 2 hc = Schreibe als Gleichung und löse. Susanne und Paul haben gemeinsam für das Schulprojekt 21 Stunden in ihrer Freizeit gearbeitet. Paul hat um 3 Stunden mehr gearbeitet. Wie viele Stunden hat Susanne gearbeitet? Löse die Verhältnisgleichung. a) x : 9 = 3 : 5 b) 4 : 6 = 6 : x c) 24 : x = 9 : 3 d) 18 : 4 = x : 3 Laut einem Werbeprospekt verbraucht ein Auto 7,8 Liter Treibstoff für 100 km. Wie weit kann es mit einem vollen Tank von 55 Litern fahren? Ein Autobus kostet für eine Ausflugsfahrt 1 250 €. a) Alle 50 angemeldeten Schülerinnen und Schüler fahren mit. Wie viel muss jede bzw. jeder bezahlen? b) Zehn Schülerinnen bzw. Schüler fehlen am Ausflugstag. Wie hoch ist jetzt der Einzelpreis? c) Wie viel muss jede bzw. jeder bezahlen, wenn weitere 15 Schülerinnen und Schüler aus einer anderen Klasse mitfahren? O 13 M, O 14 O 15 M, O 16 M, O 17 6 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Ergänze die Tabelle. Berechne den Proportionalitätsfaktor k. Korrigiere den falschen Eintrag. Fahrzeit in h (x) 0,5 2 3 5 7,5 10 zurückgelegte km (y) 50 500 600 1 000 Geschwindigkeitsbegrenzungen im Straßenverkehr sollen unter anderem Unfälle vermeiden. Denn zwischen dem Erkennen eines Hindernisses und dem eigentlichen Bremsvorgang vergeht die sogenannte „Schrecksekunde“. Welchen Weg legt ein Auto in dieser Zeit zurück, wenn es a) mit 40 km/h, b) mit 50 km/h, c) mit 90 km/h, d) mit 130 km/h fährt? Familie Staud legt die Strecke Innsbruck – Villach (300 km) mit dem Auto zurück. Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle. Kontrolliere mit Hilfe des Diagramms. mittlere Geschwindigkeit Fahrzeit 40 km/h 6 h 5 h 4 h 100 km/h 120 km/h Eine Abteilung im Betrieb soll von der 38 h – Woche auf die 32 h – Woche umgestellt werden. Um wie viele Personen müsste die Belegschaft von 16 Angestellten erhöht werden, um dieselben Arbeitsaufträge wie bisher zu erfüllen? Eine Heizungsfirma bekommt den Auftrag, auf 540 m2 eine Fußbodenheizung zu verlegen. Sechs Personen arbeiten daran 36 h. a) Wie lange brauchen 8 Arbeiterinnen und Arbeiter? b) Zeichne den Graphen und lies ab, wie lange vier Arbeiterinnen und Arbeiter brauchen. Löse die Aufgabe in deinem Heft und lade deinen Lösungsweg auf deine Schulplattform hoch. O, DI 18 M, O 19 O, DI 20 0 1 5 10 100 150 50 10 15 h km/h M, O 21 M, O, DI 22 7 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Das FM4-Frequency-Festival in St. Pölten hatte im Jahr 2023 150 000 Gäste, die 250 t Müll verursachten. Im Jahr 2019 besuchten 200 000 Gäste das Festival und es blieb ein Müllberg von 335 t zurück. Die Veranstalter sprachen von einem großen Erfolg für ihr „Green Team“, das unter anderem die Aufgabe hatte, die Besucher zur Müllvermeidung anzuhalten. Die Anrainer waren anderer Meinung. a) Erstelle Diagramme für die Besucherzahl und das Müllaufkommen der beiden Jahre. b) Schreibe Aussagen zu den Diagrammen aus Sicht der Veranstalter und der Anrainer. Löse die Aufgabe in deinem Heft und lade deinen Lösungsweg auf deine Schulplattform hoch. Beim Sommerschlussverkauf in der Boutique Rosa werden alle Teile der Sommerkollektion um 30 % verbilligt angeboten. Conni soll die verbilligten Preise auf die Preisschilder schreiben. a) Leinenshort statt 45,90 € b) T-Shirt statt 25,50 € c) Kleid statt 75,90 € Nach einem Unwetter zahlt die Versicherung von Familie Rubner nur 60 % des Schadens, das sind 3 120 €. a) Wie hoch war der gesamte Schaden? b) Wie viel musste Familie Rubner selbst bezahlen? Für die Einrichtung eines Büros werden 12 Stühle zu je 85 €, 12 Schreibtische zu je 279 €, 10 Regale zu je 189 € und 50 Ordner zu je 2,50 € bestellt. Es werden 10 % Rabatt, 20 % Umsatzsteuer und 3 % Skonto berechnet. Wie hoch ist der Rechnungsbetrag, wenn der Betrag fristgerecht überwiesen wird? M, O, DI 23 O 24 M, O 25 M, O 26 8 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Herr Berger kauft für seinen Tourismusbetrieb beim Großhändler fünf E-Bikes. Der Nettopreis für ein Fahrrad beträgt 985 €. Er erhält 15 % Mengenrabatt. a) Berechne den Bruttopreis für die Fahrräder bei 20 % Umsatzsteuer. b) Herr Berger bezahlt bar und erhält noch 3 % Skonto. Wie hoch ist der Endpreis? Bei einer Umfrage in einer Schule wurden die Schülerinnen und Schüler nach ihrer Zufriedenheit mit dem Jausenbuffet befragt. a) Schreibe die relative Häufigkeit als Dezimalzahl und in Prozenten an. b) Wie viel Prozent sind insgesamt nicht zufrieden oder enttäuscht? sehr zufrieden zufrieden überwiegend zufrieden nicht zufrieden enttäuscht Häufigkeit 118 212 272 162 86 relative Häufigkeit In den beiden Diagrammen sind die Temperaturen einer Woche im Mai in einer Stadt im Norden und einer Stadt im Süden Europas eingetragen. a) Berechne aus den zwei Diagrammen jeweils die Durchschnittstemperatur dieser Woche, den Median und die Spannweite. b) Vergleiche die zwei Diagramme anhand der statistischen Kennzahlen. M, O 27 M, O 28 Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag 8 6 12 10 4 2 °C °C 0 Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag 20 15 25 10 5 0 Tageshöchsttemperatur Tageshöchsttemperatur Norden Süden M, O 29 9 P Schulbuch Seite 10–12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung 2 Basiswissen 1. bis 3. Klasse − Geometrie Löse die Aufgaben in deinem Heft und lade deinen Lösungsweg auf deine Schulplattform hoch. Konstruiere folgendes Viereck. Beginne mit einer Skizze. a) Parallelogramm a = 4,5 cm b = 22 mm β = 60° b) Raute a = 3,5 cm α = 70° c) Deltoid e = 6,5 cm a = 32 mm b = 54 mm d) Trapez a = 55 mm c = 18 mm α = 50° d = 48 mm Von einer Raute kennt man die Länge des Umfangs u = 44,8 cm und die Höhe h = 5,6 cm. Berechne die Seite a und den Flächeninhalt. Berechne den Flächeninhalt des Deltoids mit den Diagonalen e = 13,6 cm und f = 6,4 cm. Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm). Verbinde die Punkte zu einem Parallelogramm. Entnimm die notwendigen Maße aus der Zeichnung und berechne den Flächeninhalt und den Umfang. a) A (0 | 1), B (5 | 1), C (7 | 4), D (2 | 4) b) A (–4 | -1), B (3 | –1), C (1 | 4), D (–6 | 4) Berechne den Flächeninhalt des gegebenen Grundstücks. Kreuze die richtigen Antworten an. Maßstab 1 : 1 000 bedeutet: A Die wirklichen Längen dividiert durch 1 000 entsprechen den Längen im Plan. B Das 1 000-fache der Länge im Plan ist die Länge in Wirklichkeit. C Die Längen in Wirklichkeit sind 1 000-mal so groß, wie die Längen im Plan. D Die Längen in Wirklichkeit betragen 1 000 m. O 30 O 31 O 32 O 33 O 34 38 m 16 m 82 m 56 m DI 35 10 P Schulbuch Seite 13–15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Richtig oder falsch? Kreuze an. richtig falsch A In einem gleichschenkligen Dreieick hat jeder Winkel 60°. B Mit der Formel a · b berechnet man den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. C Im gleichschenkligen Dreieck heißen die Seiten Basis und Schenkel. D Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm) und verbinde sie zu einem Dreieck. Berechne Umfang und Flächeninhalt mit den Maßen aus der Zeichnung. a) A (–2 | 0), B (0 | –2), C (1 | 3) b) A (2,5 | –2), B (5 | –2), C (4 | 3) Berechne die gesuchten Größen des Dreiecks. a) a = 6 cm; b = 8 cm; c = 10 cm; A = 24 cm2 gesucht: ha, hb, hc, u b) a = 5,5 cm; b = 6 cm; c = 7,5 cm; hc = 4,2 cm gesucht: ha, hb, A, u Die beiden Giebelwände eines Hauses bekommen einen Anstrich mit Holzschutzfarbe. a) Wie viel Quadratmeter müssen gestrichen werden? b) Eine Dose Farbe reicht für 10 m2 und kostet 59,90 €. Wie viel kostet der Anstrich? a) Konstruiere ein regelmäßiges Sechseck mit dem Radius r = 4 cm. b) Miss zur Kontrolle die Höhe h = 3,5 cm der Teildreiecke. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Sechsecks. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ( _ 01= 1 cm) und verbinde sie zu einem unregelmäßigen Vieleck. Zerlege es in Teilflächen und berechne den Umfang und den Flächeninhalt. a) A (1 | 5), B (2 | 1), C (6 | 1), D (10 | 5), E (8 | 8), F (4 | 9) b) A (–4 | –3), B (2 | – 3), C (4 | 0), D (4 | 2), E (6 | 4), F (–2 | 4), G (–4 | 2) DI 36 O 37 O 38 3,2 m 4,5 m M, O, DI 39 O 40 O, DI 41 11 P Schulbuch Seite 13–15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung Von einem Dreieck kennt man die Längen der Seiten a = 16 cm, b = 14 cm und c = 10 cm. a) Wie lang sind die Seitenlängen eines ähnlichen Dreiecks mit a1 = 24 cm? b) Berechne den Umfang beider Dreiecke. c) In welchem Verhältnis stehen die Umfangslängen? a) Teile die Strecke _AB= 55 mm in drei gleich große Teile. b) Teile die Strecke _CD= 76 mm im Verhältnis 3 : 2. Berechne die gesuchte Strecke nach dem ersten Strahlensatz. a) _SA 1 = 43,2 m; _SB 1 = 51,3 m; _SB 2 = 56,7 m _SA 2 = b) _SB 1 = 8,1 m; _SB 2 = 9 m; _SA 2 = 10,2 m _SA 1 = Berechne jeweils die Strecke x nach dem zweiten Strahlensatz. a) _SA 1 = 16,5 m; _SA 2 = 30,6 m; _A 1B1 = 11,4 m x = b) _SB 1 = 36 cm; _SB 2 = 30 cm; _A 2B2 = 18 cm x = O 42 O 43 O 44 S B1 A1 B2 A2 B2 S A1 B1 A2 O 45 S B1 A1 B2 A2 B2 S A1 B1 A2 g x g x g x g x 12 P Schulbuch Seite 13–15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Einführung a) Verbinde die Figur mit den dazugehörigen Seitenverhältnissen. A a:b=1:1 B a:b=3:2 C a:b=2:1 D a:b=2:3 1 2 3 4 b) Welche zwei Figuren sind einander ähnlich? b) Zeichne zu jeder Figur eine ähnliche ins Heft. Zeichne das Viereck mit A (1 | 2), B (2 | 1), C (4 | 3), D (2 | 3) und das Streckungszentrum Z (0 | 0). a) Vergrößere das Viereck im Verhältnis 2 : 3. b) Gib den Streckungsfaktor k an. Zeichne das Dreieck mit A (2 | 2), B (5 | 2), C (2 | 4) und das Zentrum Z (0 | 0). a) Verkleinere um den Faktor k = 0,5. b) Gib das Verhältnis in dem verkleinert wurde an. Zeichne eine Handskizze von einem Würfel im Schrägriss mit 5 cm Kantenlänge, ohne zu messen. Regelmäßiges dreiseitiges Prisma: a = 4 cm, h = 4 cm a) Zeichne das Netz des Prismas. b) Zeichne das liegende Prisma im Schrägriss ( α = 135°, v = 1 _ 2 ). c) Berechne die Oberfläche und das Volumen. Entnimm die fehlende Größe deiner Zeichnung. Pyramide mit quadratischer Grundfläche: a = 6 cm, ha = 5,8 cm; h = 50 mm a) Zeichne die Pyramide im Schrägriss (α = 45°, v = 1 _ 2 ). b) Berechne die Oberfläche und das Volumen der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche beträgt 175 cm3. Wie groß ist das Volumen eines gleich hohen Quaders mit gleicher Grundfläche? O, DI 46 O 47 O 48 O 49 O 50 O 51 A C B D O 52 13 P Schulbuch Seite 13–15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 4 Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen Zwei Behauptungen sind falsch. Berechne die Ergebnisse und kreuze die falschen Behauptungen an. A Das Ergebnis von − 6,8 + 10,2 ist eine rationale Zahl. B Das Ergebnis von 14 : 4 ist eine ganze Zahl. C Das Ergebnis von 36 ∙ 2,5 ist eine natürliche Zahl. D Das Ergebnis von 20 − 3 ∙ 5 ist eine natürliche Zahl. E Das Ergebnis von 1,2 ∙ 4 ist keine rationale Zahl. Berechne ohne Taschenrechner. Zu welcher/n Zahlenmenge(n) gehört die Lösung? a) 698 + 9 654 = b) 5,5 ∙ 2,5 = c) 102 − 494 = d) 12,15 : 8,1 = −6 < x ≤ +3 ∈ ℤ a) Veranschauliche die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden. b) Was ändert sich, wenn die Lösungsmenge ℚ wäre? Erkläre in eigenen Worten. Judith veranschaulicht die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden. Wie könnte die Angabe dazu gelautet haben? Nenne zwei Möglichkeiten. Setze die Zeichen für Teilmenge (⊆) bzw. keine Teilmenge (⊈) ein. a) ℕ ℤ b) ℤ ℕ c) ℚ ℤ O, DI 53 O 54 M, O 55 M, DI 56 0 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 6 7 1 8 9 10 11 12 A B C D DI 57 14 P Schulbuch Seite 22–23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 5 Rationale Zahlen vergleichen Schreibe die angezeigten Zahlen mit Hilfe von Brüchen und Dezimalzahlen. Kreuze die falsche Behauptung an. A 3 _ 4 = 0,75 = 75 % B 1 _ 5 =0,2=20% C 7 _ 8 = 0,875 = 87,5 % D 2 _ 50 =0,02=2% Die Schülerinnen und Schüler der 4a und 4b werden gefragt: „Interessierst du dich für Politik?“ 16 Jugendliche der 4a und 14 Jugendliche der 4b bejahen diese Frage. a) Kannst du sicher sagen, welche der beiden Klassen sich mehr für die Politik interessiert? Begründe deine Aussage. b) Warum ist es wichtig, dass sich die Jugendlichen für Politik interessieren? Begründe. Vergleiche die rationalen Zahlen (<, = bzw. >). a) –3,2 –3 1 _ 5 b) 5 _ 6 7 _ 8 c) – 2 _ 3 0,6 d) 11 von 12 21 __ 24 Verbinde die Zahlen mit ihren Gleitkommadarstellungen. A 30 400 3,04 ∙ 10–4 1 B 340 000 3,4 ∙ 105 2 C 0,000304 3,4 ∙ 106 3 D 3 400 000 3,04 ∙ 104 4 Wie heißt die um 1 000 größere Zahl? a) 5,05 ∙ 107 = b) 9,4 ∙ 103 = Verwandle in eine Bruchzahl. a) 6,871 = b) 8,47 _12 = M 58 0 1 2 3 – 1 – 2 – 3 M 59 B 60 O 61 DI 62 M, O 63 M, DI 64 15 P Schulbuch Seite 24–25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 6 Rechnen mit rationalen Zahlen Berechne. a) (−10,89) + (+4,5) = b) (+9,01) − (+4,89) = c) (–4,5) ∙ (–2,01) = d) (–4,8) : (–0,24) = e) (+2 2 _ 3 ) + (−1 5 _ 6 ) = f) (− 3 _ 4 ) − (−1 7 _ 8 ) = g) (+1 1 _ 3 ) ∙ (− 5 _ 12 ) = h) (−2 1 _ 5 ) : (+1 1 _ 10 ) = Gib in eine Suchmaschine „Rechnen mit rationalen Zahlen + online“ ein und übe mit Hilfe einer Internetseite. Mit welcher Internetseite hast du geübt? Wie würdest du die Internetseite bewerten? Warum? Vervollständige die Lücken. Verbinde das richtige Ergebnis mit der passenden Rechnung. Achtung: Ein Ergebnis bleibt übrig. A (−2 2 _ 5 ) ∙ (−1 1 _ 2 ) + (−4 3 _ 4 ) 1 −3 37 _ 48 B (+4 5 _ 6 ) : (− 8 _ 9 ) − (−1 2 _ 3 ) 2 +2 8 _ 9 C 7,84 : 2,3 − (+ 9 _ 25 ) 3 −1 3 _ 20 D 4,2 − (+ 1 _ 3 ) ∙ 4 4 + 3 5 + 3 1 _ 9 Jonas addiert zur Summe von (−2 3 _ 4 ) und (−7 5 _ 7 ) die Differenz dieser Zahlen und behauptet, dass das Ergebnis null ist. Schreibe die Rechnung an und begründe anschließend ohne auszurechnen, ob er Recht hat. O 65 O 66 O, DI 67 · – + – + + · : · : : (–3) –0,2 + 3,7 –9 0,5 –6,4 –7,5 3,2 : (–8) O, DI 68 DI, B 69 16 P Schulbuch Seite 26–27 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 7 Quadrieren Quadriere die Zahlen. a 1 5 7 9 11 13 15 16 18 a2 Schreibe als Potenz und quadriere. Beachte die Anzahl der Nullen und Dezimalstellen. a) 30 ∙ 30 = = b) 1,2 ∙ 1,2 = = c) 400 ∙ 400 = = d) 0,5 ∙ 0,5 = = Ergänze den Lückentext. Beim Quadrieren wird eine Zahl mit sich selbst . Wenn Zehnerzahlen quadriert werden, werden die verdoppelt. Die Anzahl der Dezimalen wird beim Quadrieren . Der Umfang der quadratischen Bodenplatte beträgt 100 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Platte? Benedikt schätzt das Quadrat der gegebenen Zahl ab. Kreuze die falsche Schätzung an. A 11,92 liegt zwischen 121 und 144. B 19,22 liegt zwischen 324 und 400. C 2,522 liegt zwischen 5 und 9. D 7202 liegt zwischen 4 900 und 6 400. Schreibe als Produkt und quadriere die negativen Zahlen ohne Taschenrechner. a) (–9)2 = b) –(–1)2 = c) (–1,1)2 = Quadriere. a) (9x)2 = b) (2a2)2 = c) (–2 7 _ 8 ) 2 = Johanna hat eine quadratische Küche mit einer Seitenlänge von 2,5 m. Sie verlegt quadratische Fliesen mit einem Flächeninhalt von 225 cm2. a) Berechne den Flächeninhalt der Küche und die Kantenlänge der Fliesen. b) Für den Verschnitt benötigt man 10 % mehr Fliesen. Berechne, wie viele Fliesen Johanna kaufen muss. O 70 O 71 M 72 M, O 73 DI 74 O 75 O 76 M, O 77 17 P Schulbuch Seite 28–29 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 8 Quadratwurzeln Ziehe die Quadratwurzel. a 1 16 64 100 144 196 289 361 400 √ __ a Berechne mit dem Taschenrechner. Runde auf Tausendstel. a) √ ____ 343 = b) √ ___ 41 = c) √ ____ 132 = Erkläre, was falsch gemacht wurde. a) √ ______ 8 100= 900 b) √ ____ 361= 1,9 Marco schneidet aus einem 14 cm x 16 cm großen Rechteck ein Quadrat aus. a) Wie lang kann die Seitenlänge maximal sein? b) Wie lang wäre die Seite eines Quadrats, wenn es den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck hat? Berechne. a) √ ___ 36+ 12 = b) √ ____ 169– 2 ∙5 = c) 3 ∙ √ ____ 144 = Herr Johansens quadratischer Tisch ist 1,2 m lang. Die Tischdecke soll einen um 40 % größeren Flächeninhalt haben. Wie viele cm hängt die Tischdecke auf beiden Seiten über den Tisch? Berechne. Lies die angegebenen Beispiele im Schulbuch auf Seiten 31 noch einmal durch und vereinfache anschließend. a) √ ______ 121a 2 = b) (4 √ __ a )2 = c) √ _____ 81a 2 ____ 9a = O 78 O 79 DI, B 80 M, O 81 O 82 M, O 83 O 84 18 P Schulbuch Seite 30–31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 9 Irrationale Zahlen und reelle Zahlen Kreuze die irrationale Zahl an. A 4, _18 B 7,4 C 5 √ _ 9 D 4 √ _ 122 Setze richtig ein: ∈ oder ∉ a) 4√ _ 36 b) −9 ℕ c) 4√ _ 7 ℝ d) √ _ 81 ℤ Ergänze die Tabelle. Arbeite mit dem Taschenrechner. Wert der Wurzel Zahlenmenge(n) a) √ _46,24 ℚ, ℝ b) 26 c) √ _ 8,4 d) √ _ 64 Burcu schreibt ins Heft: √ __ 5 = 2, 2 4 a) Die Lehrerin schreibt als Kommentar dazu: „Der Taschenrechner gibt nur einen Näherungswert an.“ Was meint die Lehrerin damit? b) Stelle den Hefteintrag richtig. Kreuze die richtigen Aussagen an. A Jede Primzahl ist eine natürliche Zahl. B Eine ganze Zahl ist immer durch 2 teilbar. C Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. D Die reellen Zahlen und die irrationalen Zahlen bilden die Menge der rationalen Zahlen. E Der Betrag einer rationalen Zahl ist eine irrationale Zahl. Schreibe die folgende Zahlenmenge als Intervall und markiere sie auf einer Zahlengeraden. a) {x ∈ ℝ | –2,25 ≤ x < –1,5} b) {x ∈ ℝ | –4 ≤ x ≤ 0,5} DI 85 M 86 M, DI 87 DI 88 DI 89 M 90 19 P Schulbuch Seite 32–33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 10 Quadratwurzeln näherungsweise bestimmen Schreibe alle Quadratzahlen zwischen 1 und 200 auf. Dann kannst du Quadratwurzeln leichter abschätzen. Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt die Quadratwurzel? a) < √ _ 27 < b) < √ _ 84 < c) < √ _ 164 < Ein quadratisches Fenster hat eine Fläche von 125 dm2. Ist die Seitenlänge größer als 110 cm oder kleiner? Begründe deine Antwort. Fülle die Lücken aus. Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, gib alle Lösungen an. a) < √ _ 6 < 3 b) 10 < √ _1 5 < 11 c) 13 < √ _18 < 14 Carla ist sicher, dass sie von √ _ 17die Einerstelle und die Zehntelstelle mit 4,1 ohne Taschenrechner und digitalem Endgerät angeben kann. Wie könnte sie überlegt haben? Gib mit Hilfe der Intervallschachtelung das Intervall auf drei Dezimalstellen genau an. Nutze ein Tabellenkalkulationsprogramm. a) √ _ 19 b) √ _ 47 c) √ _ 63 M 91 O 92 DI, B 93 O, DI 94 DI, B 95 O 96 ô 20 P Schulbuch Seite 34–35 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 11 Rechnen mit reellen Zahlen Kreuze die richtigen Behauptungen an. A √ ___ 16 + √ ___ 36 = √ ________ 16 + 36 B √ __ 3 ∙ √ ___ 12 = √ ___ 36 C √ ____ 169 – √ ____ 144 = √ __________ 169 – 144 D √ ____ 100 ___ √ ___ 25 = √ ____ 100 ___ 25 Fasse die Wurzeln zusammen. a) 3√ _ 5 − √ _ 8 + 4√ _ 5 = b) 17√ _ a− 29 − 8√ _ a = c) √ _ x − 3√ _ y − 2√ _ x + 6√ _ y = d) 5√ _ a − 2√ _ b + 4√ _ a + 2√ _ b = Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. a) √ _ 24 = b) √ _ 486 = c) √ _ 245 = Das teilweise Wurzelziehen kannst du auch online gut üben. Gib in eine Suchmaschine „Learning Apps + Teilweises Wurzelziehen“ ein. Mache die Übung. Vereinfache. a) √ _____ 48x 3 = b) √ ________ 24 2x2y3 = c) √ ______ 392a2 ____ 14a = Die Spalten, Zeilen und Diagonalen haben denselben Produktwert. Fülle das magische Quadrat aus. 2 √ _ 6 2√ _ 2 6 DI 97 O 98 O 99 O 100 ô O 101 O 102 21 P Schulbuch Seite 36–37 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 12 Kubieren und Kubikwurzeln Fülle die Tabelle aus. a) Kubieren Wert berechnen b) Kubikwurzel Wert der Kubikwurzel 23 3 √ __ 8 64 3 √ ___ 27 53 10 Die Kantenlänge eines Schaumstoffwürfels beträgt 20 cm. Schätze und begründe, ob das Volumen mehr oder weniger als 400 dm3 groß ist. Kreuze die richtige Antwort an. A 33 = √ _ 27 3 B 3 √ _ 6 = 2 C 3 = 3 √ _ 27 D 3 √ _ 225 = 15 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf Hundertstel. a) 3 √ ___ 171 ≈ b) 3 √ ____ 769 ≈ c) 3 √ ______ 95 471≈ Henrik soll die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 892 cm3 angeben. Bist du mit Henriks Hefteintrag einverstanden? Begründe. Berechne. a) 3 √ ____ 1 000 ____ 125 ≈ b) 3 √ ___ 8a 2 ∙ 3 √ __ a ≈ c) (2 1 _ 4 ∙ 3 √ ___ 120 ) 3 ≈ Vereinfache durch teilweises Ziehen der Kubikwurzel. a) 3 √ _ 128 = b) 3 √ _3 000 = c) 3 √ _750a 3b2 = O 103 B 104 DI 105 O 106 Würfel V = 892 cm3 a = 9,6 cm V = a3 3 √ __ V = a 3 √ ___ 892 = a B 107 B 108 O 109 22 P Schulbuch Seite 38–39 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 13 Anwendungsaufgaben In der Glaserei wird ein quadratisches Fenster mit 1,4 m2 Glasfläche zugeschnitten. Wie groß ist die Seitenlänge des Fensters? Eine würfelförmiger Sitzpolster mit einer Kantenlänge von 48 cm hat innen einen Stauraum. Wie viel Liter fasst dieser Stauraum? Aus einem rechteckigen Karton mit 26 cm × 14 cm soll ein möglichst großes Quadrat ausgeschnitten werden. Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat? Ein Schmuckdesigner gestaltet Silberketten mit einem Anhänger in Form eines Würfels. Wie viel Gramm Silber braucht er für den Würfel, wenn eine Kantenlänge 1,2 cm haben soll? Silber hat eine Dichte von 10,5 g/cm3. Toms Whirlpool ist würfelförmig. Der Pool fasst 3 375 l. a) Welche Seitenlänge hat der Pool? b) Wie viel Liter Wasser braucht Tom, wenn er den Pool bis 3 cm unter dem Rand füllt? Anjas Kette besteht aus 12 Glaswürfeln und wiegt insgesamt 18,30 g. Die Plastikschnur und der Verschluss wiegen 8 g. Das Glas der Würfel hat eine Dichte von 2,5 kg/m3. Welche Seitenlänge hat ein Würfel? M, O 110 M, O 111 M, O 112 M, O 113 M, O 114 M, O 115 23 P Schulbuch Seite 40–41 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 Das kann ich! Ordne die Schreibweisen den passenden rationalen Zahlen zu. A 0,2 1 2 ___ 500 B 0,004 2 1 _ 5 C 7 _ 8 3 0,875 D 3 _ 4 4 45 __ 60 Kreuze die richtigen Zuordnungen an. A −4 ∈ ℤ, ℚ, B +7, _ 94 ∈ ℚ, ℝ C −3√ _ 8 ∈ ℚ, ℝ D 9√ _ 1 ∈ , ℝ Berechne. a) [(−7 ) + (−4) ∙ (−3)] : 2 = b) (−9) : (−3) − (−4) ∙ (−2) = c) (− 7 _ 8 ) ∙ (+ 4 _ 5 ) − (+ 2 _ 15 ) = d) [(− 3 _ 4 ) + (− 7 _ 8 )] ∙ (−2) + (− 1 _ 12 ) = Berechne. a) 10 ∙ √ ___ 64+ 8 = b) (√ ____ 121 – √ ___ 64 ) ∙ 4 = Frau Rieners quadratisches Grundstück ist 28 m lang. Herr Kaltenböcks Grundstück ist auch quadratisch, hat aber eine 5 % geringere Seitenlänge. Um wie viele Quadratmeter ist Frau Rieners Grundstück größer? Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegt die Wurzel? a) < √ _ 75 < b) < √ _ 14 < c) < √ _ 323 < Kreuze die falsche Behauptung an. A 5√ _ e − 2√ _ f + 3√ _ e − √ _ f = 8√ _ e − 3√ _ f B 3√ _ 6 − 2√ _ 6 − √ _ 6 = √ _ 6 C x√ _ y − 2x√ _ y + 3x√ _ y = 2x√ _ y D 2a√ _ 5 − a√ _ 5 = a√ _ 5 Berechne die fehlende Größe des Würfels. a) a = 28 dm, V = ? O = ? b) V = 3 982 cm3, a = ? O = ? DI 116 DI 117 O 118 O 119 M, O 120 O 121 DI 122 O 123 24 P Schulbuch Seite 44–45 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Zahlen 1 Das kann ich! Schreibe die Gleitkommadarstellung als rationale Zahl. a) 4,2 ∙ 103 = b) 2,19 ∙ 105 = c) 1,2 ∙ 10–4 = Familie Kainer möchte für ihren Pool eine Folie kaufen. Der Pool ist 3,5 m lang und 2,5 m breit. Die Firma SWIMPLAN bietet eine quadratische Folie mit 10 m2 Flächeninhalt an. Soll Familie Kainer diese Folie kaufen? Begründe deine Meinung. Berechne. a) [−1,4 + (−4,6)] : (−2 1 _ 3 ) = b) 3 _ 8 ∙ [(− 1 _ 2 ) − (+4 3 _ 4 )] − 1 31 _ 32 = Ein quadratisches Grundstück mit 1 024 m2 soll an einer Seite mit Sträuchern bepflanzt werden. Ein Strauch braucht 2 m Platz. Wie teuer sind die Sträucher, wenn ein Strauch 22,30 € kostet? Es müssen noch 20 % USt. dazugerechnet werden. Wolfgang verpackt ein Geschenk in eine würfelförmige Box. Die Box hat einen Rauminhalt von 20 l. Wie viel Meter rotes Geschenkband muss er kaufen, wenn er zusätzlich für die Schleife 15 % der Gesamtlänge rechnet? Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. a) √ _ 128 = b) √ _144x 5 = c) √ _ 121x _ 25y2 = d) √ _ 4a 3 _ 72a = Kreuze die falsche Aussage an. A Die Gegenzahl einer irrationalen Zahl ist wieder eine irrationale Zahl. B Wenn der Ausreißer einer Zahlenreihe eine rationale Zahl ist, ist das Minimum oder das Maximum auch eine rationale Zahl. C Der Betrag einer irrationalen Zahl ist eine reelle Zahl. D Die Zahl 2,06006000600006… ist eine rationale Zahl. M, DI 124 M, B 125 O 126 M, O 127 M, O 128 O 129 DI 130 25 P Schulbuch Seite 44–45 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 14 Rechtwinklige Dreiecke a) Kontrolliere durch Messen, ob es sich bei den Dreiecken um rechtwinklige Dreiecke handelt. b) Teile die Dreiecke ohne rechten Winkel so, dass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen. c) Kennzeichne den rechten Winkel und beschrifte die Seiten mit Kathete bzw. Hypotenuse. a) Kennzeichne den rechten Winkel und beschrifte die Seiten mit Kathete bzw. Hypotenuse. b) Miss die drei Seiten und berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken den Umgfang und den Flächeninhalt. Verwende für die Formel die angegebenen Variablen. 1) 2) 3) u = A = u = A = u = A = Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit Hilfe des Thaleskreises. a) c = 4 cm, γ = 90°, hc = 1,5 cm b) c = 34 mm, γ = 90°, hc = 17 mm Konstantin wollte mit Hilfe des Thaleskreis zwei rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Leider sind die Dreiecke nicht rechtwinklig. Finde heraus, welchen Fehler Konstantin gemacht hat und erkläre in eigenen Worten. DI, B 131 M, O 132 a b c x x y p o q O, B 133 A B C1 C2 M, DI, B 134 26 P Schulbuch Seite 48–49 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 15 Der pythagoräische Lehrsatz Füge das Symbol für den rechten Winkel ein. Formuliere den Satz des Pythagoras für die gegebenen Dreiecke mit den entsprechenden Variablen. a) b) c) Überprüfe bei den folgenden Dreiecken, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. a) b) c) d) e) f) g) Seite a (in cm) 15 4,5 5 9 18 2,1 16 Seite b (in cm) 8 2,8 16 12 9 2 14 Seite c (in cm) 17 5,3 17 15 25 2,9 30 a2 + b2 c2 Berechne die Länge der fehlenden Seite (in m). Runde das Ergebnis sinnvoll, wenn nötig. (γ = 90°) a b c Formel gesuchte Länge a) 22 120 b) 18,9 19,5 c) 112 212 a) Zeichne folgendes Dreieck in das Koordinatensystem und beschrifte es: ( _ 01 ⩠ 1 Kästchen), A (4,5 | 0); B (−5 | 2); C (−3 | −3). b) Miss die Seitenlängen. Überprüfe mit dem Satz des Pythagoras und durch Abmessen der Winkel, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Berechne die fehlende Seite. a) b) x = x = O 135 o p q k j i l n m O 136 O 137 DI, O 138 M, O 139 x 19,8 cm 16 cm² x 77,25 m² 7,7 m 27 P Schulbuch Seite 50–51 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 16 Beweise des pythagoräischen Lehrsatzes Lies die Aussagen genau und kreuze richtige an. Stelle falsche Aussagen richtig. richtig A Das erste Volk, das den pythagoräischen Lehrsatz aufgeschrieben und genutzt hat, waren die Ägypter. B Eine These ist eine Aussage, die noch nicht bewiesen werden konnte. C Eine Theorie ist ein anderer Begriff für Beweis. D Pythagoras gründete eine Schule, in der er nur Naturwissenschaft lehrte. Geometrischer Beweis durch Scherung a) Was bedeutet Scherung? Suche im Wörterbuch oder Internet, falls du es nicht weißt. b) Vervollständige die Erklärung der einzelnen Schritte. 1. Verschiebe das blaue Q (linke Kathetenquadrat) in Pfeilrichtung. 2. V das blaue Quadrat in ein flächengleiches Parallelogramm. 3. Verforme das blaue Parallelogramm in ein flächengleiches R . 4. Das ursprüngliche Quadrat und das entstandene Rechteck sind f . c) Kontrolliere, ob das ursprüngliche Quadrat und das entstandene Rechteck den gleichen Flächeninhalt haben, indem du die Seiten abmisst und beide Flächen berechnest. d) Was passiert, wenn du mit dem grünen Quadrat (das zweite Kathetenquadrat) die gleichen Schritte machst wie mit dem blauen Quadrat? e) Erkläre in eigenen Worten, wie man mit dieser Methode den pythagoräischen Lehrsatz beweist. M 140 M, DI 141 28 P Schulbuch Seite 52–53 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 17 Anwendungen an ebenen Figuren I Berechne die fehlende Seite oder Diagonale und den Flächeninhalt. Runde sinnvoll. Rechteck a) a = 9,9 m b = 54 m d = A = b) a = 84,7 cm d = 93,5 cm b = A = Quadrat c) a = 2,4 dm d = A = d) d = 39 cm a = A = Berechne die fehlende Seite oder Höhe und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks. a) a = 78,4 cm hc = 46,2 cm c = A = b) c = 176 dm hc = 66 dm a = A = c) a = 19,6 m c = 20 m hc = A = d) a = 87 cm hc = 69 cm c = A = Berechne die fehlende Seite oder Höhe und den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks. a) h = 3,6 cm a = A = b) a = 91 mm h = A = c) h = 63,2 m a = A = d) a = 4,6 cm h = A = Kreuze die falsche Aussage an und stelle sie richtig. falsch A Die halbe Diagonale eines Quadrates ist eine Kathete. B In einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck gilt folgende Formel: c = a ∙ √ __ 2 . C Mit der Höhe auf a (ha) in einem gleichschenkligen Dreieck kann man ein rechtwinkliges Dreieck bilden. D Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist eine Hypotenuse. Bei Flügen gibt es für das Essen sehr wenig Platz. Deshalb ist das Geschirr klein und perfekt angepasst. Es wird eine Schale designt, deren Grundfläche einem gleichseitigen Dreieck entspricht. a) Welche Seitenlänge darf die Schale höchstens haben, wenn die Schale nicht mehr als 15,7 cm2 Platz benötigen darf? b) Begründe, warum das Ergebnis nur ein grober Näherungswert sein kann. O 142 O 143 O 144 M, B 145 M, B 146 29 P Schulbuch Seite 54–55 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 18 Anwendungen an ebenen Figuren II Formuliere den Satz des Pythagoras für die farbigen Längen mit diesen Variablen. a) b) Berechne die fehlende Länge der Raute. Runde wenn nötig. Angaben in Zentimeter. a) gegeben: a = 26,9; e = 52 gesucht: f b) gegeben: a = 6,7; f = 11,2 gesucht: e Berechne die fehlenden Seiten oder Diagonalen des Deltoids. Angaben in Zentimeter. a) gegeben: e = 5,7; f = 16; y = 3,9 gesucht: a, b b) gegeben: a = 16,9; e = 32,8; x = 11,9 gesucht: b, f Berechne die fehlenden Größen des gleichschenkeligen Trapezes. Runde. Angaben in Zentimeter. a) gegeben: a = 9,1; e = 7,3; x = 3,6 gesucht: b, c b) gegeben: c = 29,6; h = 16,3; x = 2,8 gesucht: a, b Berechne den Umfang und Flächeninhalt. Runde sinnvoll. Alle Angaben in Meter. j s a) b) s s s n n m p m o o1 t M, DI 147 O 148 h A B C D a a a a f e A D B a f e a b b C α β γ δ x y O 149 O 150 A B D C d = b a c e h b M, O 151 25 20 5,4 75 5,2 5,4 55 20 55 3,9 63 a) b) u = A = u = A = 30 P Schulbuch Seite 56–57 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 19 Anwendungsaufgaben Familie Roszyk renoviert ihr Badezimmer. Dafür kauft sie Rigipsplatten mit folgenden Maßen: Länge l = 260 cm, Breite b = 125 cm. Frau Roszyk misst das Badezimmerfenster (56 cm hoch und 128 cm breit) und die Eingangstür (215 cm hoch und 80 cm breit) ab. Zeichne eine Skizze von Fenster und Tür. Überlege und zeichne ein, wie die Platten am besten durch eine rechteckige Öffnung zu bringen sind. a) Wie weit kann man von einem 45 m hohen Leuchtturm sehen? Stelle dir die Erde als Kugel vor und verwende bei der Berechnung für den Erdradius 6 370 km. b) Im Altertum wurde eine Leuchtweite von 100 Stadien (1 Stadion ⩠ 225 m) angestrebt. Wie hoch musste damals ein Leuchtturm mindestens gebaut werden? c) Begründe, warum man diese berechnete Entfernung in der Realität nicht erreicht. Ein Esstisch mit runder Tischfläche hat einen Durchmesser von 1,5 m. Tischteile können mittels Schanieren so umgeklappt werden, dass daraus ein Quadrat entsteht. a) Welche Seitenlänge hat der Tisch mit quadratischer Tischfläche? b) Die runde Tischfläche beträgt 1,77 m2. Um wie viel Prozent wird dabei der Tisch verkleinert? M, O 152 r r M, O, B 153 M, O 154 31 P Schulbuch Seite 58–59 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Das kann ich! a) Suche rechte Winkel und zeichne sie ein. Kennzeichne Katheten blau und die Hypotenuse rot. b) Kreuze an, welche Formel zum Dreieck passt. (Mehrfaches Ankreuzen ist möglich.) 1) 2) 3) o2 = q2 – p2 o2 = q2 + p2 o2 + q2 = p2 keine Formel passt a2 + b2 = c2 √ ________ a 2 + b2 = c c2 – b2 = a2 keine Formel passt a2 + a2 = c2 2 ∙ a2 = c2 a2 – a2 = c2 keine Formel passt Berechne die fehlende Seite, den Flächeninhalt und den Umfang. a) b) c) b = A = u = y = A = u = q = A = u = Berechne die fehlende Seite, den Flächeninhalt und Umfang der blauen Figur. Runde sinnvoll. a) b) c) a = A = u = a = b = A = u = h = A = u = Welche Figur ist das? Beachte: d = h Berechne den Flächeninhalt und den Umfang. Runde sinnvoll. a = 45 cm; b = 36 cm; c = 32 cm M 155 o p q c b a a c a O 156 3,7 m 3,5 m b 1,6 cm 2 cm y q 6 dm 1,1 dm O 157 3,5 cm 125,44 cm² 13 cm 11,2 cm 6,6 cm a = 6 cm _a 2 _a 2 a h M, O 158 A b a c d e f x B D C h 32 P Schulbuch Seite 64–65 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der pythagoräische Lehrsatz und seine Anwendungen 2 Das kann ich! Ruth und Mathias vergleichen ihre Mathematikhausaufgabe. Leider ist die Lösung bei Mathias wegen eines Flecks nicht lesbar. Aufgabe: Ruth: c = √ _a 2 + b2 c = √ _5 2 + 122 c = 13 m Mathias: a2 + b2 = c2 52 = 122 = c2 169 = c2 √ _ 169 = a) Hilf Mathias und löse die Rechnung. b) Vergleiche die Rechenwege. Kontrolliere, ob beide mathematisch richtig sind, und begründe deine Entscheidung. Bernhard macht gerade seine praktische Fahrprüfung. Der Fahrlehrer gibt ihm die Anweisung, einen Parkplatz zu suchen und einzuparken. Bernhard wählt folgenden Parkplatz. Ist es möglich, dass Bernhard hier einparkt? Begründe. Familie Gruber renoviert das Dach ihres Einfamilienhauses. a) Sie kaufen im Sägewerk Dachsparren. Welche Länge müssen die Dachsparren haben? b) Da die Dachsparren das gesamte Gewicht des Daches tragen, müssen sie eine bestimmte Mindeststärke haben. Der Architekt hat für das Haus der Familie Gruber berechnet, dass die Dachsparren einen die Mindestquerschnittsdiagonale von 230 mm benötigen. Welche Dachsparen des Sägewerks sollte Familie Gruber kaufen? 5 m 12 m c M, B 159 M; DI, B 160 4,9 m 4,3 m 1,8 m L L Dachsparren (Höhe x Breite) So ermitteln wir die Querschnittsdiagonale unserer Sparren: Mod. Kat. 1 Kat. 2 80 x 200 mm 80 x 160 mm 60 x 180 mm 60 x 120 mm 120 x 200 mm 120 x 240 mm 60 80 120 6,8 m 22 cm Dachsparren 8 m M, DI 161 33 P Schulbuch Seite 64–65 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Terme und Gleichungen 3 21 Terme umformen − Strichrechnung und Klammern Fasse gleiche Variablen zusammen. a) 3a − 6b + 4a + 2a + 8b = b) 53x + 13y − 41y − 32x = c) −2r2 + 5s − 2r2 − 5s2 − 4s = d) 32a2 – 12b – 34a2 – 15b = e) (17 − 3r) − (3r − 17) = f) 6m − (3n − 2m) + (2m + 5n) = Lea stellt ein Modell aus Draht her. Wie viel Draht benötigt sie für diese Figur? Vereinfache den Term und mache die Probe für x = 1 und y = 2. 5x – (12x – 3y) + (5x + 3y) = A: E: Schreibe die Rechenanweisung mit Variablen an und vereinfache, wenn möglich. a) Addiere 12 zu einer Zahl und subtrahiere die Summe der Zahl und 5. b) Addiere die Differenz von 3a und 2b zur Summe von 2a und 6b. Kreuze an, ob die Terme richtig vereinfacht wurden. Begründe deine Entscheidung. richtig falsch Begründung a) 4a² – 5a + 12a = 11a b) 7x – (3x + 12y) – 12x = –8x + 12y c) (2a + 7b) – 5b – (3b – 4a) = 6a – b Berechne. Gib anschließend die Rechnung in www.geogebra.org – CAS-Fenster ein und bestätige. Alle Klammern müssen als runde Klammern und das Komma muss als Punkt eingegeben werden. Vergleiche mit deiner Lösung. Das Programm schreibt die Lösung in Bruchform. a) 3x __ 10 – { y _ 5 – [ 4x __ 10 – 2y __ 5 – ( 3y __ 10 – x _ 5 )]} b) 5x – {4,2y – [+ 7,7y – (7x + 12y) – 5x]} O 162 x y 2x 3x – y M, O 163 O 164 M, O 165 DI, B 166 DI, B 167 ô 34 P Schulbuch Seite 68–69 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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