183 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck > Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens für spitze Winke® Dreiecke sind ähn®ich, fa®®s sie übereinstimmende Winke® haben. Entsprechende Seiten stehen in demse®ben Verhä®tnis. Rechtwink®ige Dreiecke sind bereits ähn®ich, wenn sie in einem Winke® (≠ 90°) übereinstimmen. Es gi®t: a1 : b1 = a2 : b2 a1 : c1 = a2 : c2 b1 : c1 = b2 : c2 807 Miss die Seiten®ängen der dargeste®®ten rechtwink®igen Dreiecke oben und überprüfe, dass die drei G®eichungen zu den Seitenverhä®tnissen ge®ten. 808 Miss die Seiten®ängen x, y und z bzw. a, b und c ab und berechne für beide Dreiecke das gegebene Verhä®tnis bezüg®ich des Winke®s α. a) Gegenkathete und Hypotenuse b) Ankathete und Hypotenuse c) Gegenkathete und Ankathete Berechnet man für ähn®iche Dreiecke die Werte der Seitenverhä®tnisse A _ H , G _ H und G _ A , erhä®t man immer jewei®s diese®ben Ergebnisse: A _ H = 8 _ 10 = 24 _ 30 = 0,8 G _ H = 6 _ 10 = 18 _ 30 = 0,6 G _ A = 6 _ 8 = 18 _ 24 = 0,75 In ähn®ichen rechtwink®igen Dreiecken hängen die Seitenverhä®tnisse A _ H , G _ H und G _ A nur von der Größe des spitzen Winke®s α ab. Diese Verhä®tnisse sind demnach Funktionen dieses Winke®s. Für diese so genannten Winke®funktionen gibt es spezie®®e Bezeichnungen. Winke®funktionen Sinus des Winke®s α: sin(α) = Gegenkathete __ Hypotenuse = G _ H Cosinus des Winke®s α: cos(α) = Ankathete __ Hypotenuse = A _ H Tangens des Winke®s α: tan(α) = Gegenkathete __ Ankathete = G _ A Anmerkung: Hier ist jewei®s die Länge von Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse gemeint. 809 1) Gib für das gegebene Dreieck die Werte von sin(α), cos(α), tan(α), indem du die Seitenverhä®tnisse berechnest. 2) Zeige, dass das gegebene Dreieck rechtwink®ig ist. a) A = 6 cm, G = 8 cm, H = 10 cm b) A = 5 dm, G = 12 dm, H = 13 dm a1 b1 c1 C1 A1 B1 β1 α1 a2 b2 c2 C2 A2 B2 β2 α2 a c b y z x α 10 8 6 24 18 30 α Ó Arbeitsb®att On®ine-Ergänzung Vertiefung Unterscheidung Objekt und Länge Gegenkathete Ankathete Hypotenuse α Merke ó M1 AG-R 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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