71 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme > Lineare Gleichungen Bruchg®eichungen, die auf ®ineare G®eichungen führen G®eichungen, in denen Bruchterme (Terme in Bruchform mit Variab®en im Nenner) vorkommen, heißen Bruchg®eichungen. 331 Löse die G®eichung 2 _ 3 x + 3 = x _ x2 – 1 . Definitionsmenge bestimmen: 3 x + 3 ≠ 0 w x ≠ ‒1 und x2 – 1 ≠ w x2 ≠ 1 w x ≠ ± 1 w D = R\{‒ 1, 1} Faktorisiere die beiden Nenner: 3 x + 3 = 3 (x + 1) x2 – 1 = (x – 1) (x + 1) Ähn®ich wie beim ggT bi®de den k®einsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner): 3 (x – 1) (x + 1) Brüche erweitern: 2 (x – 1) __ 3 (x + 1) (x – 1) = 3 x __ 3 (x – 1) (x + 1) | mit dem Hauptnenner mu®tip®izieren 2 (x – 1) = 3 x 2 x – 2 = 3 x | – 2 x ‒ 2 = x ¥ Probe: 2 __ 3 · (‒ 2) + 3 = ‒ 2 __ (‒ 2)2 – 1 ‒ 2 _ 3 = ‒ 2 _ 3 wahre Aussage ‒ 2 ®iegt in D L = {‒ 2} 332 Bestimme die Definitionsmenge und ®öse die Bruchg®eichung. Mache die Probe. a) 4 x – 5 _ 2 x – 1 = 2 x + 3 _ x + 2 e) 3 – x – 5 _ x – 2 = 4 x + 3 _ 2 x + 1 i) 4 __ x2 – 8 x + 16 = 1 _ x – 1 _ x – 4 b) 6 x – 1 _ 3 x + 1 = 2 x – 9 _ x – 3 f) x + 3 _ x – 6 – x – 1 _ x + 6 = 2 x + 5 _ x2 – 36 j) 1 _ x – 3 – x _ x2 – 9 = 1 _ (x + 3)2 c) 3 x – 2 _ x + 1 = 2 + x + 4 _ x – 3 g) 3 x – 1 _ (x + 2)2 – 2 _ x + 2 = x – 5 _ x2 – 4 k) 2 _ x – 4 – x – 2 __ x2 – 8 x + 16 = 1 _ x d) 2 x __ x2 – 5 x + 6 – x + 2 _ x2 – 3 x = x + 3 _ x2 – 2 x h) 2 _ x – 5 – x + 25 __ x2 + 10 x + 25 – 1 _ x + 5 = 0 ®) 2 x + 60 _ x2 – 25 – 7 _ x – 5 = 6 _ x + 5 Lineare G®eichungen in zwei Variab®en Eine G®eichung der Form a · x + b · y = c (a, b, c * R, a, b nicht gleichzeitig 0) wird ®ineare G®eichung in zwei Variab®en genannt. Jedes Zah®enpaar (x 1 y), das diese G®eichung erfü®®t, ist eine Lösung dieser G®eichung und gehört zur Lösungsmenge. 333 Überprüfe, dass das Lösungspaar (3|8) Lösung der G®eichung 2 x – y = ‒ 2 ist und finde ein weiteres Lösungspaar. Setze x = 3 und y = 8 in die G®eichung ein: 2 · 3 – 8 = 6 – 8 = ‒ 2. Das Ergebnis stimmt mit der rechten Seite der G®eichung überein und (3 1 8) ist somit eine Lösung der G®eichung. Um ein weiteres Lösungspaar zu finden, setze z.B. für x die Zah® 1 ein und ®öse die G®eichung: 2·1–y=‒2 w y = 4 w (1 1 4) ist eine Lösung der G®eichung. 334 Überprüfe, we®ches der Zah®enpaare eine Lösung der ®inearen G®eichung ist. a) 4 x + 3 y = 64; (1 1 20), (7 1 9), (4 1 16), (13 1 4) b) 2 x + 5 y = 7; (‒ 5 1 1), (‒ 4 1 3), (5 1 ‒ 1), (6 1 ‒ 1) c) ‒5x + 6y = ‒12; (‒3 1 0), (‒ 2 1 0), (0 1 ‒ 2), (6 1 3), (12 1 8) d) 8x + y = ‒10; (‒3 1 7), (‒ 2 1 6), (‒ 2 1 ‒ 1), (‒ 1 1 ‒ 2), (0 1 ‒ 10) Muster Merke Ó Techno®ogie Anleitung Gl. mit 2 Variablen n3y47i Muster ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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