91 Quadratische Gleichungen > Lösen quadratischer Gleichungen Eine G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0 mit p, q * R wird normierte quadratische G®eichung genannt. Eine quadratische G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0 ist eine Sonderform. Sie entsteht, wenn man eine G®eichung der Form a · x2 + b · x + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) durch den Koeffizienten a dividiert: a · x2 + b · x + c = 0 |: a w x2 + b _ a · x + c _ a = 0. Ersetzt man nun b _ a durch den Koeffizienten p und c _ a durch den Koeffizienten q, so erhä®t man eine normierte G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0. 441 Forme die fo®gende quadratische G®eichung in eine normierte quadratische G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0 um und gib die Parameter p und q an. a) 5 x2 + 10 x + 25 = 0 c) 2 x2 – 0,5 x + 3 = 0 b) 7 x2 + 21 x + 0,91 = 0 d) 13 x2 – 169 x + 65 = 0 Normierte quadratische G®eichungen der Form x2 + p · x + q = 0 kann man entweder schrittweise durch Ergänzung auf ein vo®®ständiges Quadrat oder mit der sogenannten „k®einen Lösungsforme®“ ®ösen. Es wird die G®eichung x2 + 6 x – 7 = 0 sowie die a®®gemeine G®eichung x2 + p · x + q = 0 in drei Schritten ge®öst: 1. Schritt: Die Zah® wird – wenn notwendig – auf eine Seite gebracht: x2 + 6 x – 7 = 0 | + 7 x2 + p · x + q = 0 | – q x2 + 6 x = 7 x2 + p · x = ‒ q 2. Schritt: Die ®inke Seite wird auf ein vo®®ständiges Quadrat ergänzt (so, dass eine binomische Forme® angewandt werden kann) und a®s Binom angeschrieben. x2 + 6 x = 7 | + 9 x2 + p · x = ‒ q | + 2 p _ 2 3 2 x2 + 6 x + 9 = 16 x 2 + p · x + 2 p _ 2 3 2 = + 2 p _ 2 3 2 – q (x + 3)2 = 16 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q 3. Schritt: Durch Umformen erhä®t man die Lösungen der G®eichung: (x + 3)2 = 16 | ± 9 _ 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q | ± 9 _ x + 3 = ± 4 | – 3 x + p _ 2 = ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q | – p _ 2 x1, 2 = ‒ 3 ± 4 x1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q x1 = ‒ 3 + 4 = 1 bzw. x 2 =‒3–4=‒7 k®eine Lösungsforme® Für die Lösungen einer normierten quadratischen G®eichung der Form x2 + p · x + q = 0 gi®t die k®eine Lösungsforme®: x1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q D = 2 p _ 2 3 2 – q heißt Diskriminante D der normierten quadratischen G®eichung. 442 Löse die G®eichung mit G = R durch Ergänzen auf ein vo®®ständiges Quadrat. a) x2 – 6 x + 5 = 0 b) x2 + 5 x – 6 = 0 c) x2 – 4 x – 21 = 0 Merke Ó Vertiefung Video Her®eitung der k®einen Lösungsforme® 68r73a Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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