139 8.4 Geometrische Zahlenfolgen Lernziele: º Die Definition einer geometrischen Folge kennen º Die rekursive und die explizite Darstellung einer geometrischen Folge angeben können (FA-L 7.1) º Geometrische Folgen graphisch darstellen können Gegeben ist die Folge (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...). Ein Folgenglied ergibt sich aus dem vorhergehenden durch die Multiplikation mit 3. 2 ⇒ 6 ⇒ 18 ⇒ 54 ⇒ 162 ⇒ 486 … ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 Von einer geometrischen Zahlenfolge spricht man, wenn ein Folgenglied sich durch Multiplikation mit q (q ≠ 0) aus dem vorhergehenden ergibt bzw. der Quotient q aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. b 1 ⇒ b 2 ⇒ b 3 ⇒ b 4 … ·q ·q ·q q > 1bedeutet streng monotones Steigen der Folgenglieder, 0 < q < 1ein streng monotones Fallen. Für q = 1ist die Folge konstant. Ist q < 0(d.h. für negatives q) wechseln die Folgenglieder alternierend das Vorzeichen. Bestimme die ersten fünf Folgenglieder der geometrischen Folge mit b1 = 3und q = 2 sowie eine allgemeine Darstellung. Die Glieder der Folge können auf zwei Arten berechnet werden. 1. Art: 2. Art: b 1 = 3 b 2 = b 1 · q = 3 · 2 = 6 b 2 = b 1 · q = 6 b 3 = b 2 · q = 6 · 2 = 12 b 3 = b 2 · q = (b 1 · q) ·q = b1 · q 2 = 12 b 4 = b 3 · q = 12 · 2 = 24 b 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) ·q = b 1 · q 3 = 24 b 5 = b 4 · q = 24 · 2 = 48 b 5 = b 4 · q = (b 1 · q 3) ·q = b 1 · q 4 = 48 b n+1 = b n ·q = bn · 2 b n = b 1 · q n−1 = 3·2n−1 Geometrische Zahlenfolge Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant ist. Der Quotient wird mit q bezeichnet (q ≠ 0). Rekursive Darstellung: b n+1 = b n · q mit dem Startwert b1 Explizite Darstellung: b n = b 1 · q n−1 (q ∈ ℝ\{0}, n ∈ ℕ\{0}) Bestimme die ersten drei Folgenglieder der geometrischen Folge. a) b 1 = 4; q = 4 b) b 1 = − 2; q = 0,1 c) b 1 = 4,5; q = − 1 d) b 1 = 7 _ 10; q = 10 Bestimme die rekursive und die explizite Darstellung der geometrischen Folge. a) b 1 = − 2; q = 3 c) b 1 = 5; q = − 2 e) b 1 = 7,5; q = 1 b) b 1 = 1 _ 5, q = 1 _ 2 d) b 1 = − 9, q = − 0, 1 f) b 1 = − 1; q = 4 Kompetenzen Muster 543 Merke 544 545 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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