148 Reihen > Arithmetische Reihe 9 Um eine allgemeine Formel zur Berechnung von sn herzuleiten, geht man folgendermaßen vor: (a n) ist eine arithmetische Folge. s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + an die n-te Partialsumme. Man schreibt sn mit vertauschten Summanden untereinander und setzt a 2 = a 1 + d, a3 = a 1 + 2du.s.w. Dann addiert man: s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + an s n = a n + a n−1 + a n−2 + a n−3 + ... + a1 s n = a1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) + (a 1 + 3d) + ... + (a 1 + (n − 2)d) + (a 1 + (n − 1)d) }+ s n = an + (a n − d) + (a n − 2d) + (a n − 3d) + ... + (a n − (n − 2)d) + (a n − (n − 1)d) 2 s n = (a 1 + a n) + (a 1 + a n) + (a 1 + a n) + (a 1 + a n) + ... + (a 1 + a n) + (a 1 + a n) Alle Ausdrücke mit d fallen weg und es bleiben n gleiche Summanden (a 1 + a n) über. s n = n(a 1 + a n) | : 2 s n = n _ 2 (a 1 + a n) Summenformel für eine endliche arithmetische Reihe Für die endliche arithmetische Reihe gilt: sn = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + an = n _ 2 · (a 1 + a n) Für a n = a 1 + (n − 1) d erhält man: s n = n _ 2 · (a 1 + a 1 + (n − 1)d) = n _ 2 · (2 a 1 + (n − 1)d) Welchen Wert hat die endliche arithmetische Reihe 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99? Man bestimmt die Anzahl der Summanden durch Einsetzen in die Formel für die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge: d = 2und99 = 1+(n − 1) · 2 → 99 = 1 + 2n − 2 → 99 = 2n − 1 → 100 = 2n → 50 = n Die Reihe besteht aus 50 Summanden. Durch Einsetzen in die Summenformel erhält man: 1+3+5+7+...+97+99 = 50 _ 2 · (1 + 99) = 25 ·100 = 2500 Berechne die Summe der endlichen arithmetischen Reihe. a) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 e) 5 + 8 + 11 + ... + 143 + 146 b) 75 + 70 + 65 + ... + 10 + 5 f) 121 + 110 + 99 + ... + 22 + 11 c) − 1, 8 − 0,6 + 0,6 + 1,8 + ... + 75 g) 6,1 + 5,8 + 5,5 + ... − 19, 1 − 19, 4 d) 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 64 h) − 1, 2 − 0, 7 − 0,2 + 0,3 + ... + 12,3 Welchen Wert hat die endliche arithmetische Reihe? a) 5 + 7 + 9 + 11 + ... + (e − 2) + e c) 10 + 15 + 20 + ... + (f − 5) + f b) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (g − 3) + g d) − 4 − 8 − 12 − ... − (h + 4) − h Gegeben ist die arithmetische Folge an = 2n − 1. a) Berechne die ersten sechs Folgenglieder. Welche Zahlen werden durch den Folgenterm allgemein beschrieben? b) Berechne die Werte von s10, s 100 und sn. a) Berechne die Summe der geraden Zahlen von 100 bis 1 000. b) Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 205 bis 2055. Merke Muster 584 585 586 587 588 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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