150 9.2 Geometrische Reihe Lernziele: º Die Definition einer geometrischen Reihe angeben können º Die Summenformel für die endliche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.2) º Den Begriff der Summe einer unendlichen Reihe definieren können (FA-L 8.1) º Die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.3) º Endwerte von regelmäßigen gleichbleibenden Zahlungen (Renten) berechnen können Gegeben ist die geometrische Folge 2, 4, 8, 16, 32, 64, … Es gilt b1 = 2und q = 2. Werden die ersten n Glieder der Folge summiert, erhält man eine Folge von Teilsummen (Partialsummen), die als endliche geometrische Reihen bezeichnet werden: s 1 = b 1 = 2 s 2 = 2 + 4 = 6 s 3 = 2 + 4 + 8 = 14 usw. Endliche geometrische Reihe Ist (b n) eine geometrische Folge mit den Folgengliedern b1, b 2, b 3, b 4, ..., so bezeichnet man den Ausdruck sn = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + ... + bn als endliche geometrische Reihe. Summenformel für die endliche geometrische Reihe Für die Berechnung der Summe sn = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + ... + bn−1 + b n lässt sich eine Formel herleiten: Dazu verwendet man das Bildungsgesetz der geometrischen Folge bn = b 1 · q n−1 und setzt ein: s n = b 1 + b 1 q + b1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n−2 + b 1 q n−1 Nun wird die Gleichung mit q multipliziert und die erste Gleichung subtrahiert. Dadurch fallen auf der rechten Seite bis auf den ersten und den letzten alle Summanden weg. − { s n = b 1 +b 1 q + b1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n−2 + b 1 q n−1 s n · q= b 1 q + b1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n−2 + b 1 q n−1 + b 1 q n Herausheben und Umformen liefern eine Formel zur Berechnung von sn: s n · q − s n = b 1 q n − b 1 s n · (q − 1) = b 1 · (q n − 1) | : (q − 1) mit q ≠ 1 s n = b 1 · q n − 1 _ q − 1 Summenformel für die endliche geometrische Reihe Für die Summe der endlichen geometrischen Folge gilt: sn = b 1 · q n − 1 _ q − 1 (q ≠ 1) Berechne für bn = 4,5 · 0,1 n die Summe s 30 der endlichen geometrischen Folge. Setzt man b1 = 4,5 · 0,1 = 0,45und q = 0,1in die Summenformel ein erhält man die Summe: s 30 = b 1 · q 30 − 1 _ q − 1 = 0,45· 0, 1 30 − 1 _ 0, 1 − 1 = 0,5 Berechne für die geometrische Folge bn die angegebene Summe. a) b n = 2·1,2 n; s 10 b) b n = 0,5·4 n; s 18 c) b n = 5·0,2 n; s 30 d) b n = − 3 · 0, 25 n; s 50 Kompetenzen Merke Merke Muster 598 599 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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