158 9 Vernetzung Reihen > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Zahlenrätsel Zahlenrätsel erfreuen sich bei vielen Personen großer Beliebtheit. a) In einer Zeitschrift finden sich zwei Zahlen, die die ersten beiden Glieder einer Zahlenfolge bilden. 1) Ergänze die drei fehlenden Zahlen so, dass eine geometrische Zahlenfolge entsteht. 48; 72; _______ ; ________ ; ________ 2) Gib eine Formel an, mit der die Summe s(n) der ersten n Folgenglieder dieser geometrischen Zahlenfolge berechnet werden kann. b) In einem anderen Zahlenrätsel ist die Summe 7 + 12 + 17 + … + 97 + 102 + 107zu berechnen. 1) Begründe, warum die Summanden die Folgenglieder einer arithmetischen Zahlenfolge sind. 2) Berechne die Summe der arithmetischen Reihe. Koch'sche Schneeflocke 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 – 3 s s s 1 Die Koch’sche Schneeflocke entsteht durch folgende Konstruktion: Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s. Man teilt jede der Seiten in drei gleich lange Teilstrecken und setzt auf die mittlere Teilstrecke wieder ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlänge so lang ist wie die Teilstrecke der Ausgangsseite. Man erhält nun vier gleich lange Streckenstücke, bei denen der Vorgang jeweils wiederholt wird. Die Abbildung zeigt die „Schneeflocke“, nachdem die Konstruktion zweimal mit s = 1wiederholt wurde. a) Die Umfänge der Koch’schen Schneeflocke nach den einzelnen Konstruktionsschritten bilden die Folge u1, u 2, u 3, u.s.w. Das allgemeine Bildungsgesetz der Folge der Umfänge nach n Konstruktionsschritten lautet u n = 3 · s · ( 4 _ 3) n 1) Gib die ersten fünf Folgenglieder der Umfangfolge an, wenn die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks s = 1ist. b) 1) Bestimme die Anzahl der Konstruktionsschritte, nach denen der Umfang der Koch’schen Schneeflocke mit s = 1auf 5 600 Längeneinheiten angewachsen ist. c) Für den Flächeninhalt der Koch’schen Schneeflocke gilt ausgehend von einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge s nach n Konstruktionsschritten: A n = s 2 · 9 _ 3 _ 16 · [( 4 _ 9) 1 + (4 _ 9) 2 + (4 _ 9) 3 + ... + (4 _ 9) n ] 1) Berechne den Flächeninhalt nach n = 20Konstruktionsschritten. 2) Berechne den Grenzwert von A n. M2 636 K M2 637 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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