191 Geraden im Raum > Lagebeziehungen von Geraden im Raum Winkel zwischen zwei schneidenden Geraden ⇀a: Richtungsvektor der Geraden g ⇀b: Richtungsvektor der Geraden h cos(α ) = ⇀a · ⇀b _ | ⇀a |·| ⇀b | ; ⇀a, ⇀b ∈ ℝ 3; ⇀a ≠ ⇀0; ⇀b ≠ ⇀0 Als Ergebnis gibt man immer den kleineren der beiden Schnittwinkel an (α ≤ 90°). Berechne den Schnittwinkel der beiden Geraden g 1 und g 2. g 1: X = ( 0 − 2 1) + t · ( − 2 3 1 ) g 2: X = ( 2 5 1 ) + s · ( 3 − 3 4) s, t ∈ ℝ cos(α) = ( − 2 3 1 ) · ( 3 − 3 4) _______ |( − 2 3 1 )| · |( 3 − 3 4)| = − 11 _ 9 14 · 9 _ 34 = − 0,504… ⇒ a ≈ 120,28° Da man immer den kleineren Schnittwinkel angibt, lautet die Lösung: α = 180° − 120,28° = 59,72° Tipp: Wie im ℝ 2 gilt: Stehen zwei Geraden im ℝ 3 normal aufeinander, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null. Berechne den Schnittpunkt und den Winkel, den die Geraden g und h einschließen. a) g: X = ( 1 2 0 ) + s · ( 1 2 0 ) h: X = ( 0 4 10 ) + t · ( − 1 0 5 ) b) g: X = ( 14 0 5 ) + s · ( 2 − 3 1) h: X = ( 14 0 5 ) + t · ( 2 3 − 8 ) c) g: X = ( 3 1 1 ) + s · ( 3 − 1 1) h: X = ( 6 0 2 ) + t · ( − 6 2 − 2 ) Zusammenfassung Parameterdarstellung einer Geraden g: X = P + t · ⇀a t ∈ ℝ P ist ein Punkt auf der Geraden g, ⇀aist ein Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. Im ℝ 3 gib es keine Normalvektorform einer Geraden. Lagebeziehungen von Geraden im ℝ 3 Im ℝ 3 können zwei Geraden schneidend, parallel, windschief oder identisch sein. Um die Lagebeziehung zu bestimmen, untersucht man zunächst die Richtungsvektoren und danach, ob es gemeinsame Punkte gibt. Schnittwinkel α zweier Geraden cos(α) = ⇀a · ⇀b _ | ⇀a |·| ⇀b | ⇀a u n d ⇀b s i n d d i e Richtungsvektoren der beiden Geraden. Merke 2 4 z x y 2 4 2 6 8 10 12 – 8 –4 α g h b a Muster 759 Ó Technologie Anleitung Winkel bestimmen k9rk5w 760 Ó Arbeitsblatt Schnittpunkte und Winkel ermitteln ta69rt 2 –2 z x y 4 8 8 12 14 16 – 8 4 –4 –8 g P a 2 –2 z x y 4 8 12 14 16 – 8 –4 –8 parallel zu g S g windschief zu g schneidend mit g 2 4 z x y 2 4 2 6 8 10 12 – 8 –4 –8 α g h b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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