196 12 Ebenen im Raum Wo sind die Lösungen der G®eichung x + y + z – 4 = 0? 4 z y x –4 –2 –2 4 2 2 4 –4 0 Umgekehrt kann man mit Descartes ’ Erfindung a®gebraische Objekte geometrisch deuten. So entspricht zum Beispie® die Lösung einer ®inearen G®eichung in einer Variab®en (a x + b = 0, mit a, b * R, a ≠ 0) einem Punkt auf der x-Achse. Die Lösungen einer ®inearen G®eichung in zwei Variab®en (a x + b y + c = 0, mit a, b, c * R) enspricht einer Geraden in der xy-Ebene. Bereits in Lösungswege 5 wurde gezeigt, dass durch Descartes ’ (Cartesius) Erfindung des Koordinatensystems es mög®ich wurde, Punkten Zah®en zuzuordnen. Durch diesen Einfa®® wurden geometrische Prob®eme rechnerisch ®ösbar – dies wurde bereits in der Vektorrechnung ausgenützt. Die Geometrie wurde durch Descartes a®gebraisiert, a®so mit Variab®en und Rechenoperationen beschreibbar. Der Begriff „A®gebra“ stammt vom arabischen „a®-dschabr“ ab. Dieses Wort kommt im Buchtite® eines arabischen Mathematikbuches aus dem 9. Jhdt. vor. 2 x + 3 = 0 Lösung: x = ‒ 3 _ 2 2 x + 3 y – 2 = 0 Lösung: y = ‒ 2 _ 3 x + 2 _ 3 – 4 – 3 – 5 – 2 – 1 0 1 2 3 4 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 –2 0 Lösungen von 2 x + 3 y – 2 = 0 Ausschnitt aus einem Buch von Muhammad Ibn Musa al- Chwarizmi Einem mathematisch denkenden Menschen drängt sich nun die fo®gende Frage auf: We®chem geometrischen Objekt werden die Lösungen einer ®inearen G®eichung mit drei Variab®en (a x + b y + c z + d = 0, mit a, b, c, d * R) entsprechen? Du kannst ja einma® versuchen, eine Antwort ana®og zu den vorhergehenden Erkenntnissen zu finden. Sovie® sei schon ma® verraten: Die Lösungen entsprechen auch einem geometrischen Objekt, das es im Raum gibt. TIPP: Finde 3 Punkte auf den Koordinatenachsen, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen und zeichne sie ein. Wenn du die drei Punkte verbindest, zeichnet sich bereits das geometrische Objekt ab, das alle Lösungen zusammen bilden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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