51 4.2 Symmetrie und Periodizität Lernziele: º Symmetrie definieren und erkennen können º Periodizität definieren und erkennen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: FA-R 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können […], Periodizität, Achsensymmetrie Symmetrie Bereits in der Unterstufe wurden symmetrische Figuren gezeichnet. Dabei wurden z. B. Punkte an einer Geraden gespiegelt. Neben symmetrischen Figuren, symmetrischen Gebäuden, symmetrischen Gleichungen … gibt es auch symmetrische Funktionen. Hierbei werden zwei Formen der Symmetrie betrachtet: x 2 4 6 8 –6 –4 –2 2 4 –2 0 f(– x) – x x f(x) f(x) = f(– x) f f(x) x 2 6 8 –6 –4 –2 –4 –2 3 0 f(– x) – x x f(x) f(x) = – f(– x) f f(x) Der Graph von f liegt symmetrisch bezüglich der y-Achse. Es gilt f(x) = f(− x) für alle x aus der Definitionsmenge. Der Graph von f liegt symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Es gilt f(x) = − f(− x) für alle x aus der Definitionsmenge. Gerade und ungerade Funktionen Eine reelle Funktion f mit der Eigenschaft f(x) = f(− x) für alle x aus der Definitionsmenge, nennt man eine gerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Eine reelle Funktion f mit der Eigenschaft f(x) = − f(− x) nennt man ungerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenurspungs. Überprüfe rechnerisch, ob die Funktion f mit f(x) = x 3 − 4xeine gerade oder ungerade Funktion ist. Es wird durch Einsetzen überprüft, ob gilt: f(x) = f(− x) oder f(x) = − f(− x) f(− x) = (− x) 3 − 4 · (− x) = − x 3 + 4x = − (x 3 − 4x) = − f(x) Man erkennt, dass sich f(− x) nur im Vorzeichen von f(x) unterscheidet. Daher handelt es sich um eine ungerade Funktion. Kompetenzen Merke Muster 226 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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