54 4.3 Bijektive Funktionen und Umkehrfunktionen Lernziele: º Bijektive Funktionen definieren und erkennen können º Umkehrfunktionen aufstellen und erkennen können Es ist bereits bekannt, dass eine Funktion eine eindeutige Zuordnung ist, die jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau einen y-Wert zuordnet. Oft sucht man zu einem vorgegebenen y-Wert alle möglichen x-Werte. Dass dies nicht immer eindeutig ist, sieht man anhand des abgebildeten Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2: Für den Funktionswert y = 4 gibt es zwei verschiedene x-Werte (x = 2und x = − 2). Schränkt man die Definitionsmenge dieser Funktion auf nicht negative reelle Zahlen ein, dann existiert auch für jeden Funktionswert genau ein Argument (zu y = 4, gibt es nur den x-Wert x = 2). Solche Funktionen nennt man bijektiv und man kann für die Berechnung der gesuchten x-Werte eine Umkehrfunktion finden. Bijektive Funktion und Umkehrfunktion Eine Funktion f : D → ℝ heißt bijektiv, wenn jedem Element der Wertemenge genau ein Element der Definitionsmenge zugeordnet werden kann. Eine Funktion f−1 : f(D) → D, die jedem f(x) den eindeutigen x-Wert zuordnet, nennt man Umkehrfunktion von f. Zeige graphisch, dass die Funktion f : ℝ 0 + → ℝ, f(x) = x 2 _ 10 + 1bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion von f. Zeichne die beiden Graphen der Funktionen. Was fällt dir auf? Da die Funktion bei dieser Angabe nur für nicht negative reelle Zahlen definiert ist, kann man jedem y-Wert genau einen x-Wert zuordnen, daher ist die Funktion bijektiv. (vergleiche Abbildung). Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, setzt man f(x) = y, und formt auf x um. y = x 2 _ 10 + 1 | − 1 ⇒x = 2 9 _10y − 10 ⇒ Nun werden die Abhängigkeiten, d.h. x und y vertauscht: f−1 : [1; ∞] → ℝ 0 +, f −1 (x) = 2 9 _10x − 10 Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge der Ursprungsfunktion (anhand des Graphen von f erkennt man die Wertemenge von f : [1; ∞)). Bei obiger Abbildung erkennt man, dass der Graph der Funktion f an der ersten Mediane (h (x) = x) gespiegelt wurde. Kompetenzen x 4 6 –6 –4 2 0 4 f x = – 2 x = 2 2 –2 f(x) x 4 6 –6 –4 2 0 f(x) 4 f x = 2 2 –2 Merke Muster 234 x 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 0 1. Mediane (h(x) = x) f – 1 f y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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