74 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen > Potenzfunktionen 5 In Lösungswege 5 wurden bereits quadratische Funktionen und die Auswirkungen der Parameter a, m, n der Funktion f(x) = a · (x − m) 2 + nauf die Normalparabel erarbeitet. Dieses Wissen und die Erkenntnisse über Potenzfunktionen der Form f(x) = x r können nun auf Funktionen der Form f(x) = a·xr + b, a ≠ 0, a, b ∈ ℝ übertragen werden. In den beiden Abbildungen sieht man die Funktionen f mit f(x) = a·x3 + bund g mit g(x) = a·x−3 + bmit den Parametern a = 1; − 1, 0,1; 6und b = 0: x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 −x3 0,1 x 3 6 x3 x3 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 −x−3 x−3 0,1 x−3 6 x−3 Für |a| > 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion entlang der y-Achse gestreckt. (Z.B. jeder Funktionswert von 6 x3 ist 6 mal so groß wie der Funktionswert von x3.) Für |a| < 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion entlang der y-Achse gestaucht. (Z.B. jeder Funktionswert von 0 ,1 x3 ist ein Zehntel des Funktionswerts von x3.) Falls a negativ ist, so wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. In nebenstehender Abbildung sieht man drei Funktionen der Form f(x) = a·x3 + bmit den Parametern a = 1und b = − 2; 0; 2. Man kann erkennen, dass b eine Verschiebung entlang der y-Achse bewirkt. Wirkung der Parameter a, b einer Funktion f mit f(x) = a·xr + b, r ∈ ℤ, a, b ∈ ℝ, a ≠ 0 – Ist |a| > 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion f(x) = x r entlang der y-Achse gestreckt. – Ist |a| < 1wird die ursprüngliche Potenzfunktion f(x) = x r entlang der y-Achse gestaucht. – b bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f(x) = a·xr entlang der y-Achse. Gegeben ist der Graph einer Funktion der Form f(x) = a·xr + b, r ∈ ℤ, − 4 ≤ r ≤ 4. Bestimme die Werte der Parameter a, b und r. Anhand des Graphen erkennt man, dass der Exponent positiv und gerade sein muss. Es gilt daher r = 2, da r laut der Angabe kleiner als 4 ist. Weiters ist zu erkennen, dass der Graph um 3 Einheiten nach oben verschoben wurde, somit gilt: b = 3 Da der Graph durch den Punkt (2|− 5) geht, kann man diese Koordinaten für x und y einsetzen: f(x) = ax2 + 3 ⇒ f(2) = 4a + 3 = − 5 ⇒ a = − 2 Die Funktionsgleichung lautet daher: f(x) = − 2 x 2 + 3 Um sicher zu gehen, dass die Annahme r = 2stimmt, kann man noch weitere Punkte überprüfen (z.B. f(1) = 1, ...). x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 x3 x3 +2 x3 −2 Ó Technologie Darstellung Wirkung der Parameter 9db3uh Merke Muster 299 x f(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 f Ó Arbeitsblatt Auffinden von Funktionen 1 78f7we Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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