92 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion 6 Gegeben ist ein Ausschnitt einer Wertetabelle einer Funktion. Überprüfe, ob es sich um eine Exponentialfunktion handeln könnte. a) x − 4 − 3 − 1 f(x) 0,96 1,16 1,69 b) x 5 6 9 f(x) 1,85 0,83 0,7 c) x − 3 − 1 4 f(x) 160 40 1,25 Gegeben ist ein Ausschnitt einer Wertetabelle einer Exponentialfunktion. Ergänze die fehlenden Funktionswerte. x − 3 − 2 − 1 0 3 f(x) 8 4 2 x − 4 − 2 1 4 f(x) 72 162 546,75 Gegeben ist eine Exponentialfunktion f. Auf das Wievielfache verändert sich der Funktionswert, wenn man das Argument um 1) 1 2) 2 3) 5 4) 8 vergrößert? Gib die Veränderung auch in Prozent an. a) f(x) = 0, 57x c) f(x) = 0, 89x e) f(x) = 2·3x g) f(x) = 3 · ( 1 _ 5) x b) f(x) = 1,5x d) f(x) = 1,75x f) f(x) = 2 · 0,83x h) f(x) = 2 · (6 _ 5) x Die natürliche Exponentialfunktion Im Kapitel 2 wurden bereits die Euler ’sche Zahl, Exponentialgleichungen und Logarithmen behandelt. Zerlege so weit wie möglich in eine Summe bzw. Differenz von Logarithmen. a) ln(3 · e 4) b) ln(2 · e −4·λ) c) ln(3 · e 6·λ _ 3 · a ) d) ln( 5 · 9 _ e _ 2 ) e) ln( 7 · 3 9 _e −2·λ _ 4 ) Drücke die Zahl 100 durch eine Potenz mit der Basis a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 aus. Löse die Exponentialgleichung. a) 3 x+2 = 5 b) 2 3x = 2 x−4 c) 3 · 7 x = 2·23x d) 3 3x+2 = 2·6x−3 e) 0, 3 −4x+1 = 2 x Exponentialfunktionen können eine beliebige positive Basis besitzen. In den Naturwissenschaften kommt der Euler’schen Zahl eine besondere Bedeutung zu. Neben der Darstellung f(x) = a·bx wird daher oft die Darstellung f(x) = a·eλ·x mit λ ∈ ℝ verwendet. Setzt man die beiden Darstellungen gleich, erhält man: a · b x = a·eλ·x = a · (e λ) x ⇒ b = e λ Um die Konstante λ zu berechnen, löst man eine Exponentialgleichung. Da die Basis die Euler’sche Zahl ist, bietet sich hier der natürliche Logarithmus an: b = e λ | logarithmieren ln(b) = ln(e λ) | Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen ln(b) = λ · ln(e) | Anwendung: ln(e) = 1 λ = ln(b) FA-R 5.1 M1 354 FA-R 5.2 M1 355 356 357 358 359 Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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