97 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen > Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Der Holzbestand eines Waldes wurde 2015 auf 150 000 Kubikmeter geschätzt. Fünf Jahre später, im Jahre 2020, ergab die Schätzung 168 000 m3. Es wird exponentielles Wachstum angenommen. Stelle ein Wachstumsgesetz für den Holzbestand h mit h (t) = h 0 · b t in Abhängigkeit von den seit 2010 vergangenen Jahren t auf. Da das Wachstumsgesetz ab dem Jahr 2010 gelten soll, sind folgende Daten bekannt: h(5) = 150 000 und h (10) = 168 000 Es gilt: h(10) = h(5) · b 5 ⇒ 168 000 = 150 000 · b5 | : 150 000 ⇒ b = 5 9 _ 168 000 _ 150 000 = 1,02292 Durch Einsetzen in die allgemeine Wachstumsformel und Umformung kann man den Holzbestand im Jahr 2010 berechnen (zum Zeitpunkt t = 0): h(5) = 150 000 = h0 · 1, 02292 5 | : 1, 022925 ⇒ h 0 ≈ 133 932 Laut diesem Modell gilt: h(t) = 133 932 · 1,02292t. Der Holzbestand eines Waldes wurde 2018 auf 130 000 Kubikmeter geschätzt. Vier Jahre später ergab die Schätzung 145 000 m3. Es wird ein exponentielles Wachstum angenommen. a) Stelle ein Wachstumsgesetz für den Holzbestand h mit h (t) = h 0 · b t bzw. h (t) = h 0 · e λ·t in Abhängigkeit von den seit 2015 vergangenen Jahren auf. b) Um wie viel Prozent steigt der Holzbestand jährlich? c) Nach wie viel Jahren wird sich der Holzbestand verdreifacht haben? d) Ermittle den absoluten Zuwachs des Holzbestands vom Jahr 2023 auf 2024. Der Holzbestand eines Waldes wurde 2012 auf 135 000 Kubikmeter geschätzt. 3 Jahre später ergab die Schätzung 160 000 m3. Es wird exponentielles Wachstum angenommen. Mit wie viel Kubikmeter Holz kann man im Jahr 2035 rechnen, wenn im Jahr 2014 45 000 Kubikmeter Wald gefällt wurden? Bei einem Experiment beobachtet man die Anzahl von Atomen eines radioaktiven Elements. Nach zwei Stunden sind ca. 1 200 000 Atome vorhanden. Nach 4 weiteren Stunden sind es nur mehr 480 000. a) Stelle ein Zerfallsgesetz in der Form N (t) = N 0 · e λ·t auf, das die Anzahl der Atome N (t) in Abhängigkeit der seit dem Start der Beobachtung vergangenen Stunden modelliert. b) Wie viel Prozent der Atome zerfallen pro Stunde? c) Wann wird nur mehr ein Prozent von N0 vorhanden sein? Bei einem Physikexperiment wird die Höhe des Bierschaums in einem Glas gemessen. Nach 5 Sekunden ist der Schaum ca. 27,1 mm hoch, nach 19 Sekunden 24,6 mm hoch. Es wird angenommen, dass die Höhe (h in mm) des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit (in s) exponentiell abnimmt. a) Stelle ein Abnahmegesetz in der Form h (t) = h 0 · e λ·t und h(t) = h 0 · b t auf, das die Höhe h des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit modelliert. b) Auf welchen Prozentsatz sinkt die Bierschaumhöhe pro Sekunde? c) Wann wird die Höhe des Bierschaums auf ein Viertel des Anfangswertes gesunken sein? Die Anzahl von bestimmten Bakterien wächst in einer Kultur annähernd exponentiell. Zu Beginn schätzt eine Wissenschaftlerin 200 000 Bakterien, nach zwei Stunden bereits eine halbe Million. Berechne nach wie vielen Stunden über 2 Millionen Bakterien in der Kultur existieren. Muster 378 379 380 381 382 383 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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