249 11.1 Die imaginäre Einheit Lernziele: º Die Definition der imaginären Einheit kennen º Imaginäre und komplexe Zahlen definieren können º Den Betrag einer komplexen Zahl bestimmen können º Konjugiert komplexe Zahlen definieren können º Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene darstellen […] können (AG-L 1.5) Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 1.1 W issen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können Alle bis jetzt bekannten Zahlen lassen sich mindestens einer der Zahlmengen ℕ, ℤ, ℚ oder ℝ zuordnen. Kreuze die Zahlenmenge(n) an, in der/in denen die angegebene Zahl liegt. 1 2 3 4 ℕ ℤ ℚ ℝ A − 3,01 B − 3 _ 12 C 9 _ 1,44 D − 9 _ 11 Betrachtet man beispielsweise die Gleichung x 2 = − a mit a ∈ ℝ +, muss man feststellen, dass die Gleichung in keiner der bekannten Zahlenmengen eine Lösung besitzt. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Angenommen es gäbe eine Zahl, deren Quadrat − 1ist, könnte man eine Lösung der Gleichung finden (sofern alle Rechenoperationen wie gehabt durchgeführt werden können). Wir definieren: Imaginäre Einheit Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, für die gilt: i 2 = − 1 Mit dieser Definition der imaginären Einheit hat die quadratische Gleichung x 2 = − 1 die beiden Lösungen x1 = iund x2 = − i, da i 2 = − 1 und (− i) 2 = (− 1) 2 · i 2 = 1 · (− 1) = − 1. Allgemein werden beide Lösungen (iund − i) als Quadratwurzel aus − 1bezeichnet (vgl. S. 265). Für eine positive reelle Zahl a ist laut Definition die Quadratwurzel jene eindeutig bestimmte positive Zahl 9 _ a, deren Quadrat wieder a ist. Um die Eindeutigkeit des Wurzelzeichens weiter zu gewährleisten, wird vereinbart, dass 9 _ − 1= igilt. Geht man davon aus, dass die üblichen Rechenregeln anwendbar sind, lässt sich die Wurzel aus jeder negativen Zahl auf die Wurzel aus − 1zurückführen: 9 _ − a = 9 _a · (− 1) = 9 _ a · 9 _ − 1 = 9 _ a · 9 _ − 1 = 9 _ a· i. Somit wird definiert: Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl 9 _ − a = 9 _ a· imit a ∈ ℝ + Kompetenzen Vorwissen 896 N Z Q R C 2 π 0 1 2 3 e i – 1 – 3 – 2 i 2 + 3 i – 4 5 2 –– 3 1 – 2 Merke Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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