265 Komplexe Zahlen > Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung Gib die Potenz der komplexen Zahl in kartesischer Darstellung an. a) (3; 12°) 5 b) (2; 100°) 4 c) (1; 2 π _ 3 rad) 9 d) (1; π _ 2 rad) 12 e) (4; π _ 2 rad) 2 Gegeben ist die komplexe Zahl z = (1; 72°). Berechne z1, z 2, z 3, z 4 und z5 und stelle die Potenzen in der Gaußschen Zahleneben dar. Was fällt dir auf? z 1 = z = (1; 72°) z 2 = (1; 72°) 2 = (1; 144°) z 3 = (1; 72°) 3 = (1; 216°) z 4 = (1; 72°) 4 = (1; 288°) z 5 = (1; 72°) 5 = (1; 360°) Die Potenzen liegen für die komplexen Zahlen mit r = |z| = 1auf einem Kreis mit dem Radius 1 und teilen ihn in ein regelmäßiges Fünfeck. Berechne die ersten vier Potenzen der komplexen Zahl z und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar. a) (1; 90°) b) (1; 45°) c) (1; 20°) d) (1; 30°) Berechne die ersten sechs Potenzen der komplexen Zahl z und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar. a) (1; π _ 3 rad) b) (1; π _ 2 rad) c) (1; π _ 4 rad) d) (1; π _ 6 rad) Potenzieren einer komplexen Zahl der Form a + bi Geogebra: (–4 + 5 i)^4 –1519 + 720 i Casio: (–4 + 5 i)3 236 + 115 i TI-Nspire: (2 + 3 i)4 –119 – 120 i Wurzelziehen Unter Vernachlässigung der Vereinbarung, dass sich die Quadratwurzel aus − 1auf eine Lösung, nämlich ibeschränkt, definieren wir den allgemeinen Begriff einer komplexen Wurzel: Wurzel aus einer komplexen Zahl Eine komplexe Zahl x wird als n-te Wurzel (n ∈ ℕ \ {0}) der komplexen Zahl z bezeichnet, wenn x n = zgilt. Man schreibt: x = n 9 _ z Gegeben ist die komplexe Zahl z = 27· (cos(135°) + i · sin(135°)) und man möchte den Wert 3 9 _ z bestimmen. Dabei muss man berücksichtigen, dass das Argument φ = 135°von z in der Polardarstellung nicht eindeutig ist. Es legt nämlich jeder Winkel φ + 360°· kmit k ∈ ℤ 0 + dieselbe komplexe Zahl z fest. z = 27·(cos(135°) + i · sin(135°)) ist nur die einfachste Darstellung der komplexen Zahl. z = 27·(cos(135° + 360°· k) + i · sin(135° + 360°· k)) Demnach gibt es auch für die dritte Wurzel mehrere Möglichkeiten. Man schreibt nun die dritte Wurzel von z in Potenzschreibweise und wendet die Rechenregel für das Potenzieren an: 965 Re Im 1 0 z z2 z3 z4 z5 i Muster 966 967 968 Technologie Merke Ó Technologie Anleitung Potenzieren 26bs8h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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