12 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Gib an, ob folgende Aussage stimmt, und begründe die Entscheidung. a) Jede Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion. b) Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f mit f(x) = c(c ∈ ℝ\{0}) ist linear. c) Jede Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 0ist konstant. d) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion. e) Jede Stammfunktion einer rationalen Funktion ist eine rationale Funktion. Gegeben sind zwei Funktionen f und g, zwei Stammfunktionen F und G (von f und g) sowie eine positive reelle Zahl k. Kreuze die beiden jedenfalls zutreffenden Aussagen an. A F − Gist eine Stammfunktion von f − g. B k · Fist eine Stammfunktion von k · f. C G ist eine Stammfunktion von g + k. D G · Fist eine Stammfunktion von g · f. E k · F(x) ist eine Stammfunktion von f(k · x). Auffinden einer speziellen Stammfunktion Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v mit v(t) = 0, 5 t2 (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen 10 m hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt angenommen wird. Um eine Zeit-Ort-Funktion zu erhalten, muss eine Stammfunktion von v bestimmt werden. Diese erhält man mittels Integration. Es gilt: s(t) = ∫ (0, 5 t 2)dt = 0, 5 t 3 _ 3 + c Um die zutreffende Stammfunktion zu finden, wird die Bedingung s(0) = − 10(da sich der Wagen zu Beginn 10 m hinter der Startlinie befindet) verwendet. Dadurch kann der Parameter c bestimmt werden: s (0) = c = − 10 ⇒ s(t) = 0, 5 t 3 _ 3 − 10 Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen a Meter hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt (s = 0) angenommen wird. a) v(t) = 10 t; a = 12 b) v(t) = 0, 4 t2 + 3 t; a = 15 c) v(t) = 0,7 t2; a = 5 Bestimme jene Stammfunktion F von f, welche die angegebene Bedingung erfüllt. a) f(x) = − x − 5; F(− 3) = 1 d) f(x) = − 0, 34 · e−2 x; F(0) = 15 b) f(x) = − x 2 + 3 x − 2; F(3) = 2 e) f(x) = 0,12 · e3 x; F(0) = 4 c) f(x) = − 2 x 2 + x − 1; F(0) = 4 f) f(x) = 3 · sin(4 x); F(π) = 0 Gegeben ist eine Zeit-Beschleunigungsfunktion a (t in Sekunden, a in m /s2). Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, welche die gegebenen Bedingungen erfüllt. a) a(t) = 5; v(1) = 5; s(0) = 12 b) a(t) = 5 t + 1; v(1) = 12; s(3) = 60 23 AN-R 4.2 M1 24 Muster 25 26 27 Ó Arbeitsblatt Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung r4g2ds 28 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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