123 6.1 Die Normalverteilung Lernziele: º Die Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen kennen º Den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen skizzieren und interpretieren können º Die Wahrscheinlichkeiten von normalverteilten Zufallsvariablen berechnen können º Mit der Normalverteilung, auch in anwendungsorientierten Bereichen, arbeiten können º Wahrscheinlichkeiten der σ-Intervalle kennen Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: º WS‑R 3.4: Die Normalverteilung kennen und Wahrscheinlichkeiten als Flächeninhalte unter dem Graphen der Dichtefunktion deuten und anwenden; die Bedeutung des Erwartungswerts und der Standardabweichung für den Graphen der Dichtefunktion kennen und anwenden º WS‑R 3.5: Wahrscheinlichkeiten, Quantile und um den Erwartungswert symmetrische Intervalle einer normalverteilten Zufallsvariablen interpretieren und mit Technologieeinsatz ermitteln, die σ-Regeln (σ, 2σ, 3σ; siehe Formelsammlung) für normalverteilte Zufallsvariablen kennen und anwenden Viele stetige Zufallsvariablen ergeben sich aus der Summe vieler einzelner, unabhängiger Zufallsvariablen, von denen keine einen besonders großen Einfluss hat. Wird zum Beispiel von einer Maschine Milch abgefüllt und bezeichnet die stetige Zufallsvariable X die abgefüllte Milchmenge, so hängt diese von vielen Zufallsvariablen ab: Temperatur, Abnützungsgrad der Maschine, Zusammensetzung der Milch, Luftfeuchtigkeit, Verschmutzungsgrad der Maschine, Milchmenge u.s.w. Ermittelt man durch eine Untersuchung die Dichtefunktion einer solchen Zufallsvariablen, so hat deren Graph oft eine charakteristische Glockenform. Der „Zentrale Grenzwertsatz“ besagt nun, dass derartige Zufallsvariablen unter bestimmten Voraussetzungen normalverteilt sind. Ihre Dichtefunktion f ist die Dichtefunktion der Normalverteilung. Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen Besitzt eine stetige Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert μund der Standardabweichung σ die Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 , so nennt man die Zufallsvariable X normalverteilt. Man sagt: X ist eine N (μ; σ)-verteilte Zufallsvariable. Diese Funktion wird nach ihrem Entdecker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) auch „Gauß-Funktion“ genannt und ihr Graph wegen der charakteristischen Form auch als „Gauß’sche Glockenkurve“ bezeichnet. Gegeben ist die Dichtefunktion f einer normalverteilten Zufallsvariablen X. 1) Skizziere den Graphen von f. 2) Bestimme das Maximum von f. Was fällt dir auf? 3) Bestimme die Wendestellen von f. Welcher Zusammenhang mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung von X fällt dir auf? a) f(x) = 1 _ 9 2 π · 5 · e − 1 _ 2( x − 3 _ 5 ) 2 c) f(x) = 1 _ 9 18 π · e − 1 _ 2( x _ 3) 2 e) f(x) = 1 _ 9 2 π · e − 1 _ 2(x − 3) 2 b) f(x) = 1 _ 9 18 π · e − 1 _ 2( x + 3 _ 3 ) 2 d) f(x) = 1 _ 9 2 π · e − 1 _ 2 x 2 f) f(x) = 1 _ 9 50 π · e − 1 _ 2( x −5 _ 5 ) 2 Kompetenzen x Graph von f f μ μ + σ μ – σ Merke 340 Carl Friedrich Gauß Gültig ab Schuljahr 2026/27 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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