124 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 Aus den Ergebnissen von Aufgabe 340 folgt: Eigenschaften der Gauß-Funktion f Die Gauß’sche Glockenkurve hat folgende Eigenschaften: Das lokale Maximum von f ist an der Stelle μ . Die Wendepunkte von f sind an den Stellen μ − σ und μ + σ. f nähert sich asymptotisch der x-Achse an. f ist symmetrisch zur Geraden x = μ. Anmerkungen: – Alle Funktionswerte von f sind positiv: f(x) ≥ 0; für alle x ∈ ℝ – Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse beträgt 1: : −∞ ∞ f(x)dx = 1 – In nebenstehender Abbildung kann man erkennen: Der Parameter μ der Gauß-Funktion verändert die Lage des Maximums des Funktionsgraphen. – In nebenstehender Abbildung kann man erkennen: Der Parameter σ verändert die Form der Funktionsgraphen. Je größer σ, desto breiter wird der Graph und desto niedriger ist das Maximum der Gauß-Funktion. Bestimme durch Ablesen aus den Graphen die Funktionsgleichungen der abgebildeten Gauß’schen Glockenkurven. Lies jeweils die Extremstelle und die Wendestellen ab. (Alle gesuchten Stellen haben ganzzahlige Werte.) Ordne den Graphen von Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsvariablen die passenden Erwartungswerte μ und Standardabweichungen σ zu. 1 x f(x) 20 40 60 80 100 0,02 0,04 0 f 3 x p(x) 20 40 60 80 100 0,02 0,04 0 p 2 x h(x) 20 40 60 80 100 0,02 0,04 0 h 4 x g(x) 20 40 60 80 100 0,02 0,04 0 g A B C D E F μ = 40; σ = 15 μ = 50; σ = 20 μ = 50; σ = 10 μ = 60; σ = 10 μ = 60; σ = 5 μ = 40; σ = 20 A = 1 x Gerade: x = μ Wendepunkt Wendepunkt f μ μ + σ μ – σ Merke 70 50 20 30 40 60 80 90 µ = 50; σ = 5 µ = 70; σ = 5 70 50 20 30 40 60 80 90 µ = 50; σ = 5 µ = 50; σ = 10 341 x f(x) 10 20 30 40 50 60 –10 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0 b a c d e f WS-R 3.4 M1 342 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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