126 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Technologieeinsatz Da man Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen als Flächeninhalte unter einer (Wahrscheinlichkeits-) Dichtefunktion interpretieren kann, berechnet man Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsvariablen mit Hilfe von Flächeninhalten unter der entsprechenden Gauß’schen Glockenkurve. Betrachtet man zum Beispiel eine N(500; 50)-verteilte Zufallsvariable X, so entspricht die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 575) dem markierten Flächeninhalt in der nebenstehenden Abbildung der Gauß’schen Glockenkurve. Dieser wird durch das folgende Integral berechnet: P(X ≤ 575) = : −∞ 575 1 _ 9 2 π · 50 · e − 1 _ 2( x − 500 _ 50 ) 2 dx Das Aufsuchen von Stammfunktionen gestaltet sich selten so einfach, wie bisher gezeigt. Zum Beispiel kann man die Stammfunktion der Gauß-Funktion nicht angeben. Die Wahrscheinlichkeiten (= Flächeninhalte) in diesem Kapitel werden daher mit Technologieeinsatz berechnet. Die Berechnung ohne Technologieeinsatz wird anschließend im Abschnitt 6.2 vorgestellt. P(X ≤ 575) = : −∞ 575 1 _ 9 2 π · 50 · e − 1 _ 2( x−500 _ 50 ) 2 dx = Technologie ⎯ ⟶ = 0,9332 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ a)normalverteilter Zufallsvariablen Geogebra: Normal[<Erwartungswert>, <Standardabweichung>, a] Beispiel: Normal[500, 50, 575] = 0,9332 TI-Nspire: Beispiel: normCdf(–∞, 575, 500, 50) = 0,9332 oder menu 5 5 2 Casio: normCDf(unterer Wert, oberer Wert, σ, μ) Beispiel: normCDf(– ∞, 575, 50, 500) = 0,9332 Eine Abfüllanlage füllt Gries-Säckchen ab. Das Abfüllgewicht in Gramm (g) ist normalverteilt mit N(500; 5). Stelle die Wahrscheinlichkeit als Flächeninhalt unter der Gauß‑Funktion dar und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein abgefülltes Säckchen a) weniger als 490 g, b) mehr als 505 g und c) zwischen 495 und 505 g wiegt. a) P(X < 490) = : −∞ 490 1 _ 9 2 π · 5 · e − 1 _ 2( x − 500 _ 5 ) 2 dx ≈ 0,0228 = 2,28 % b) P(X > 505) = : 505 ∞ 1 _ 9 2 π · 5 · e − 1 _ 2( x − 500 _ 5 ) 2 dx ≈ 0,1587 = 15,87% c) P(495 ≤ X ≤ 505) = : 495 505 1 _ 9 2 π · 5 · e − 1 _ 2( x − 500 _ 5 ) 2 dx ≈ 0,6827 = 68,27% x 350 400 450 500 550 600 f TechnologieÓ Technologie Anleitung Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung berechnen 8js658 Muster 348 Ó Technologie Anleitung Normalverteilung mit Wahrscheinlichkeitsrechner berechnen fn8xg7 x 480 490 500 510 520 f P (X < 490) = 2,28 % x 480 490 500 510 520 f P (X > 505) = 15,87 % x 480 490 500 510 f P (495 ª X ª 505) = 68,27 % Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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