128 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 Die Intervalle (in Minuten) zwischen den U-Bahn-Zügen in einer Station sind N (5; 1)-verteilt. Der Leiter der Verkehrsbetriebe stellt die folgende Behauptung auf. Nimm dazu mit mathematischen Argumenten Stellung. a) Die durchschnittliche Wartezeit beträgt 5 Minuten. b) Man wartet maximal 9 Minuten auf die nächste U-Bahn. c) Die meisten Fahrgäste warten weniger als 5 Minuten auf die nächste U-Bahn. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Masse von Schokoladetafeln. Die Masse beträgt durchschnittlich 102 g mit einer Standardabweichung von 2 g. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A P(101 < X < 102) ist genauso groß wie P(100 < X < 101). B Genau die Hälfte aller Tafeln wiegt maximal 102 g. C Keine Tafel wiegt mehr als 108 g. D Alle Tafeln wiegen zwischen 100 g und 104 g. E Mehr als die Hälfte aller Tafeln wiegt mehr als 100 g. Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit N (5; 1). Rudi berechnet den Wert von P (X ≥ 9) und erhält dabei 0. Ist das Ergebnis falsch? In den vorhergehenden Aufgaben wird davon ausgegangen, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist. Da es auch andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt, müsste man eigentlich zuerst zeigen, dass diese Annahme gilt. Überlege: Wie kann man überprüfen, ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist? Zusammenhänge zwischen den Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion f der Normalverteilung und aufgrund der Tatsache, dass der Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse 1 beträgt, ergeben sich viele Zusammenhänge: Zusammenhänge zwischen den Wahrscheinlichkeitsberechnungen – P(X > c) = 1 − P(X ≤ c) – P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5 – P(X < μ − a) = P(X > μ + a) Beschreibe den Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit N (100; 3) mit einer Gleichung und berechne dann die Wahrscheinlichkeiten. a) P(X ≤ 97); P(X < 97) c) P(X ≥ 104); 1 − P(X < 104) e) P(X < 93); P(X > 107) b) P(X ≤ 95); P(X > 95) d) P(X ≤ 96); P(96 < X < 104) f) P(X > 94); P(X < 106) Tipp: Versuche, die Zusammenhänge zuerst graphisch zu erkennen und dann mit Hilfe einer Gleichung zu formulieren. » 355 WS-R 3.5 M1 356 » 357 » 358 Merke x c μ x μ x μ f f f P(X ª c) P(X > c) P(X < µ) P(X > µ) P(X < µ – a) µ – a a a { { µ + a P(X > µ + a) 359 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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