130 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 X beschreibt eine normalverteilte Zufallsvariable. Kreuze die Aussage(n) an, die jedenfalls richtig ist (sind). Das Intervall [a; b] mit a, b ∈ ℝ ist symmetrisch um den Erwartungswert μ. Gegeben sind Graphen von Dichtefunktionen normalverteilter Zufallsvariablen. Ordne den Termen die entsprechenden Graphen mit dem passenden grünen Flächeninhalt zu. Sigma-Intervalle Um die Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen abschätzen zu können, sind die sogenannten Sigma-Intervalle sehr hilfreich. Das σ-Intervall ist ein um den Erwartungwert μ symmetrisches Intervall [μ − σ; μ + σ] der N(μ; σ)-verteilten Zufallsvariablen X. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert aus diesem Intervall annimmt, beträgt immer ca. 68,3 %. Das 2σ- und 3σ-Intervall ist jeweils analog festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit für das 2σ-Intervall beträgt ≈ 95,4 %und für das 3σ-Intervall ist sie ≈ 99,7%. (Beweis: S. 132 Aufg. 375) σ-Intervalle Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f 1σ-Intervall 2σ-Intervall 3σ-Intervall x μ – σ μ μ + σ f 68,3 % x μ – 2σ μ μ + 2σ f 95,4 % x μ – 3σ μ μ + 3σ f 99,7 % P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954 P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997 367 A P(X ≥ a) = P(X ≤ b) B P(X = a + b _ 2 ) = 0,5 C P(X = b) + P(X > b) = P(X > b) D P(X ≤ a) = P(X ≤ b) E P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ a) − P(X ≤ b) WS-R 3.4 M1 368 1 P(X ≤ a) − P(X ≤ b) 2 1 − P(X ≥ a) 3 P(X ≤ a) + P(X > a) 4 1 − P(X ≤ b) A D B E C F x f a b x f b x f a x f x f b a x f a Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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