131 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung Die Länge einer bestimmten Fischart ist ungefähr normalverteilt mit μ = 31 cmund σ = 1,5 cm. a) Wieviel Prozent der Fische sind zwischen 29,5 cm und 32,5 cm lang? b) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen 99,7% der Fischlängen? c) Wieviel Prozent der Fische sind größer als 34 cm? a) Das angegebene Intervall ist genau das 1σ-Intervall [31 − 1,5; 31 + 1,5], daher liegt die Länge von ca. 68,3 % aller Fische in diesem Intervall. b) Es wird nach dem 3 σ-Intervall gefragt: [31 − 3 · 1,5; 31 + 3 · 1,5]. 99,7% der Fische sind zwischen 26,5 cm und 35,5 cm lang. c) P(X > 34) ist in nebenstehender Abbildung genau der Bereich rechts des 2 σ-Intervalls. Da das 2 σ-Intervall 95,4 % entspricht, umfasst der gesuchte Bereich die Wahrscheinlichkeit 1 − 0,954 _ 2 = 0,023. 2,3 % der Fische sind länger als 34 cm. Die Länge (in Zentimeter cm) von Nägeln ist normalverteilt mit N (5; 1,2). Bestimme die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Längenbereichs mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten der Sigma-Intervalle. a) [3,8; 6,2] b) [2,6; 7,4] c) länger als 6,2 cm d) kürzer als 1,4 cm Die Körpermasse (in Kilogramm kg) einer Altersgruppe ist normalverteilt mit μ = 37kgund σ = 3 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Massenbereichs mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten der Sigma-Intervalle. a) [37; 40] b) [31; 37] c) schwerer als 43 kg d) leichter als 31 kg Die Lebensdauer von Glühbirnen (in Stunden h) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 890 h und der Standardabweichung 50 h. Bestimme ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Lebensdauer von p % der Glühbirnen liegt. a) p = 99,7 b) p = 68,3 c) p = 95,4 Die jährliche Sonnenscheindauer X in einer österreichischen Stadt wird als normalverteilt angenommen. X besitzt den Erwartungswert µ = 2 315 Stunden und die Standardabweichung σ, wobei gilt: P(X ≤ 2 315 + σ) = b Bestimme den Wert von b. Die Abbildungen zeigen die Dichtefunktionen einer normalverteilten Zufallsvariablen. Ordne der markierten Fläche jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu. 1 2 Muster 369 x 28 H 34 f 2σ-Intervall ↔ 95,4 % P(X > 34) 370 371 372 WS-R 3.5 M1 373 374 A 0,954 B 0,8415 C 0,997 D 0,977 μ + 2σ μ – σ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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