140 Normalverteilte Zufallsvariablen > Bestimmung von Parametern der Normalverteilung 6 Der Wert a der Zufallsvariablen X, für den gilt P(X < a) = p, heißt das p‑Quantil der Zufallsvariablen. Im Beispiel 408 a) haben wir berechnet, dass P(X ≥ 492,18) gleich 0,9 ist. Es gilt also, dass P(X ≤ 492,18) gleich 0,1 ist. 492,18 heißt das 0,1‑Quantil der Zufallsvariablen X. Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit µ = 200 und σ = 23. Berechne das a) 0,25‑Quantil b) 0,1‑Quantil c) 0,5‑Quantil d) 0,99‑Quantil Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit N (μ; σ). Bestimme den Wert für k. a) N(200; 4); P(X ≤ k) = 0,34 d) N(3283; 34,1); P(X ≥ k) = 0,05 b) N(167; 8); P(X ≥ k) = 0,34 e) N(193; 1); P(μ − k ≤ X ≤ μ + k) = 0,99 c) N(23; 7); P(X ≤ k) = 0,995 f) N(82,2; 2,3); P(μ − k ≤ X ≤ μ + k) = 0,9 Grenze x des bestimmten Integrals : −∞ x 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x−μ _ σ ) 2 dx = pberechnen Geogebra (im CAS-Fenster): Normal(μ; σ; x) = p numerisch lösen Beispiel: Normal(505; 10; x) = 0,1 numerisch lösen: x = 492,18 TI-Nspire: invNorm(p, μ, σ) Beispiel: invNorm(0,1, 505, 10) ≈ 492,18 Casio: invNormCDf(p, μ, σ) Beispiel: invNormCDf(0,1, 505, 10) = 492,18 Gegeben ist eine N (μ; σ)-verteilte Zufallsvariable X. Bestimme ein symmetrisches Intervall [a; b] um den Erwartungswert, dessen Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von γ angenommen werden (P (a ≤ X ≤ b) = γ). a) N(381; 14); γ = 0,95 c) N(1000; 15,23); γ = 0,90 e) N(38; 4); γ = 0,90 b) N(0; 1); γ = 0,99 d) N(398; 5,6); γ = 0,95 f) N(5,2; 0,82); γ = 0,99 Das Gewicht einer Gruppe von Personen ist normalverteilt mit μ = 78 kgund σ = 2,1 kg. Welches a) Mindestgewicht b) Maximalgewicht haben 75 % der Personen? c) In welchen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert fallen 99 % der Werte? d) Als Normalgewicht definiert man einen Gewichtsbereich symmetrisch um den Erwartungswert, den 80 % der Personen erreichen. Berechne das Intervall für das Normalgewicht. Die Füllmenge X eines Getränkekartons wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert µ = 1 010 ml und der Standardabweichung σ = 20 ml. Kartons mit zu viel oder zu wenig Inhalt sollen aussortiert werden. Berechne ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall, in dem 95 % der Füllvolumina liegen. Die Masse einer bestimmten Obstsorte ist normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 156 g und der Standardabweichung σ = 24 g. Berechne, wie viel die leichtesten 20 % der Früchte maximal wiegen. Die Wartezeit in der Telefonwarteschleife eines Amtes (in Minuten) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 3,5 und der Standardabweichung 1,1. Wie lange müssen 90 % aller Anrufer und Anruferinnen a) mindestens b) höchstens warten? c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen 50 % aller Wartezeiten? Die Länge von Holzstiften ist normalverteilt mit N (μ; σ). Als Ausschuss werden jene a % der Stifte festgelegt, die um mehr als einen bestimmten Wert vom Erwartungswert der Länge abweichen. Bestimme jene Stiftlängen, die als Ausschuss aussortiert werden. a) N(300; 10); a = 5 b) N(43; 3,4); a = 10 c) N(5000; 23,2); a = 1 409 410 Technologie Ó Technologie Anleitung Integralgrenzen berechnen i683xn 411 412 WS-R 3.5 M1 413 WS-R 3.5 M1 414 415 416 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==