141 Normalverteilte Zufallsvariablen > Bestimmung von Parametern der Normalverteilung Berechnung von μ und σ bei einer normalverteilten Zufallsvariablen Eine Maschine füllt Zuckerpackungen ab. Die Abfüllmenge X ist normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 10 g. Man weiß, dass 75 % aller Packungen mehr als 490 g wiegen. Bestimme den Erwartungswert μ der Abfüllmenge. Es ist f mit f(x) = 1 _ 9 2 π ·σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X. Für den gesuchten Erwartungswert muss gelten P (X ≥ 490)= 0,75. Mit einem elektronischen Hilfsmittel löst man folgende Gleichung nach der Variablen μ auf: : 490 ∞ 1 _ 9 2 π · 10 · e − 1 _ 2( x − μ _ 10 ) 2 dx = 0,75. Man erhält μ = 496,74. Der gesuchte Wert beträgt ca. 497g. Die Füllmenge von Kartoffelchips-Packungen ist annähernd normalverteilt. Die Abfüllanlage hat eine Standardabweichung von 10 g. Auf welchen Erwartungswert muss man die Maschine einstellen, sodass 90 % der Packungen mehr als 200 g wiegen? Eine Firma erzeugt Marmorkugeln, deren Durchmesser normalverteilt sind. Die Maschine produziert diese mit einer Standardabweichung von 2 mm. Bestimme den Erwartungswert, sodass genau a % der Kugeln einen größeren Durchmesser als 100 mm haben. a) a = 10 b) a = 90 c) a = 50 d) a = 99 Die Dicke (in mm) von Blechplatten ist normalverteilt mit N(μ; 0,05). Bestimme μ, wenn a) 1 % der Platten dicker als 2,1 mm sind. c) 75 % der Platten höchstens 2,2 mm dick sind. b) 25 % der Platten mindestens 1,8 mm dick sind. d) 50 % der Platten dicker als 3 mm sind. Eine Maschine füllt Zuckerpackungen ab. Die Abfüllmenge X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 490 g. Aus Untersuchungen weiß man, dass 90 % aller Packungen zwischen 481 und 499 g wiegen. Bestimme die Standardabweichung σ der Abfüllmenge. Es ist f mit f(x) = 1 _ 9 2 π ·σ · e − 1 _ 2( x−μ _ σ ) 2 die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X. Für die gesuchte Standardabweichung muss gelten P (481 ≤ X ≤ 499) = 0,9. Mit einem elektronischen Hilfsmittel löst man folgende Gleichung nach der Variablen σ auf: : 481 499 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x−490 _ σ ) 2 dx = 0,9. Man erhält σ = 5,4716. Die Lebensdauer X von Eintagsfliegen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 Tag. Bestimme σ, wenn man weiß, dass 90 % aller Fliegen zwischen 22 h und 26 h leben. Es wird angenommen, dass die normale Körpertemperatur von Menschen normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von 36,7°. Bestimme die Standardabweichung, wenn a) 80 % der Menschen eine Temperatur von mehr als 36,5°C haben. b) 95 % der Menschen eine Temperatur von höchstens 37°C haben. c) 99 % der Menschen eine Temperatur zwischen 36,2°C und 37,2°C haben. Die Abfüllmenge X (in Milliliter ml) von Flaschen ist normalverteilt. 50 % der Flaschen enthalten mehr als 500 ml. Wie groß darf die Standardabweichung von X höchstens sein, damit a) mit 95 % Sicherheit mehr als 495 ml in jeder Flasche sind? b) mit 99 % Sicherheit mehr als 495 ml in jeder Flasche sind? Muster 417 x 440 460 480 500 520 540 f P (X º 490) = 0,75 μ = 497 Ó Technologie Anleitung Erwartungswert einer Normalverteilung berechnen je95zq Ó Vertiefung Anleitung zur Berechnung des Erwartungswerts mit Hilfe der StandardNormalverteilung d78q3a 418 419 420 Muster 421 x 450 470 480 490 500 510 f P (481 ª X ª 499) = 0,9 Ó Technologie Anleitung Standardabweichung einer Normalverteilung berechnen 7r58pg 422 423 424 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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