144 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6 Aus Erfahrung hat sich folgende „Faustregel“ bewährt: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Binomialverteilung B (n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Normalverteilung N(μ; σ) mit μ = n · pund σ = 9 _n · p · (1 − p) an. (Satz von Moivre-Laplace) In der Praxis gilt die Approximation als ausreichend gut, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: σ 2 = n · p · (1 − p) ≥ 9oder σ = 9 _n · p · (1 − p) ≥ 3 Kreuze alle Binomialverteilungen B (n; p) an, bei denen eine Annäherung durch eine Normalverteilung zulässig ist. a) A B(100; 0,9) B B(100; 0,09) C B(20; 0,5) D B(200; 0,5) E B(1 000; 0,01) b) A B(3 000; 0,5) B B(3 000; 0,09) C B(300; 0,09) D B(2 000; 0,1) E B(500; 0,01) Vervollständige den Satz so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Die Binomialverteilung (1) darf durch die Normalverteilung (2) approximiert werden. (1) (2) B(1 800; 0,1) N(180; 8,49) B(600; 0,3) N(180; 13,41) B(300; 0,6) N(180; 0,72) In einer Stadt gibt es erfahrungsgemäß 5 % Schwarzfahrer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man unter 1 000 kontrollierten Personen a) höchstens 50 Schwarzfahrer findet. b) mindestens 30 Schwarzfahrer findet. c) zwischen 30 und 60 Schwarzfahrer findet. d) genau 50 Schwarzfahrer findet. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der Schwarzfahrer unter 1 000 kontrollierten Personen. X ist binomialverteilt. Da σ = 9 _________________ 1 000 · 0,05 · (1 − 0,05) ≈ 6,89ist, kann man die Berechnungen durch eine Normalverteilung N (50; 6,89)approximieren. a) P(X ≤ 50)= 50 % b) P(X ≥ 30) ≈ 99,8 % c) P(30 ≤ X ≤ 60) ≈ 92 % d) 1. Art: Diese Fragestellung lässt sich eigentlich nicht mit der Approximation berechnen, da die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert der Zufallsvariablen bei der Normalverteilung immer 0 ist. Man muss daher auf die Binomialverteilung zurückgreifen. P(X = 50) = ( 1 000 50) · 0,0550 · 0,095950 = 0,0578 ≈ 5,8 % 2. Art: Durch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (49,5 < X < 50,5) mit Hilfe der Normalverteilung N(50; 6,89), kann man eine Approximation erreichen. Die Berechnung ergibt: P (49,5 < X < 50,5) = 5,8 % Bei der Produktion von Skateboards weisen erfahrungsgemäß 20 % der erzeugten Boards Fehler in der Bemalung auf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 500 Boards a) weniger als 110 b) mindestens 110 c) zwischen 100 und 110 d) genau 110 fehlerhafte befinden. Merke 428 429 Muster 430 431 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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