145 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Es wird 1 000-mal mit einem 6-seitigen Spielwürfel gewürfelt. X bezeichnet die Anzahl der gewürfelten Einser. Bestimme und interpretiere die angegebene Wahrscheinlichkeit a) P(X ≥ 150) b) P(150 ≤ X ≤ 200) c) P(X ≤ 150) d) P(150 ≤ X ≤ 180) Eine Münze wird 100 000-mal geworfen. X bezeichnet die Anzahl der dabei auftretenden Würfe, die „Kopf“ zeigen. Bestimme die angegebene Wahrscheinlichkeit. a) P(X ≥ 60 000) b) P(49 500 ≤ X ≤ 50 500) c) P(X ≤ 49 000) d) P(49 000 ≤ X ≤ 50 000) In einer Urne befinden sich 100 weiße und 900 rote Kugeln. Es wird 100-mal mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. X bezeichnet die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln. Bestimme die angegebene Wahrscheinlichkeit sowohl mit Hilfe einer Binomialverteilung als auch mit Hilfe der Approximation durch eine Normalverteilung. Bestimme die Differenz der Ergebnisse. a) P(X ≤ 9) b) P(8 ≤ X ≤ 12) c) P(X ≥ 10) d) P(6 ≤ X ≤ 9) e) P(X > 0) Ein erfahrener Lotteriespieler hat eruiert, dass bei einer Lotterie jedes fünfte Los gewinnt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 1 000 Losen, die er im Laufe von Jahren gekauft hat, mehr als 200 Gewinnlose befinden. (Verwende dabei die Approximation durch eine Normalverteilung.) Die Keimfähigkeit der Samen einer bestimmten Pflanzenart liegt bei 80,5 %. Es werden 1 000 Samen gekauft und angepflanzt. X bezeichnet die Anzahl der Keimlinge, die man aus diesen Samen erhält. Bestimme ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert von X, in dem mit 95 % Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Keimlinge liegt. Eine Firma füllt Kaffeesäcke ab. Erfahrungsgemäß ist jeder fünfzigste Sack so schlecht befüllt, dass er nicht in den Verkauf gelangen kann. Es werden 1 000 Säcke abgefüllt. Wie viele schlecht abgefüllte Säcke befinden sich mit 99 % Wahrscheinlichkeit höchstens unter ihnen? In einer Großstadt besitzt jeder zehnte Autobesitzer ein gelbes Auto. Gib ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert an, in dem sich unter 1 000 Autobesitzern mit 95 % Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Besitzer von gelben Autos dieser Stadt befindet. X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable, die durch eine Normalverteilung angenähert wird. Ihr Erwartungswert ist 900 und ihre Standardabweichung ist 20. Φ ist die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Ordne die äquivalenten Ausdrücke einander zu. In der Abbildung sieht man den Graphen der Dichtefunktion φ einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1. Ein Würfel wird 1 000-mal geworfen. X bezeichnet die Anzahl der dabei auftretenden Würfe mit einer Augenzahl größer als 4. Veranschauliche in der Abbildung den Wert von P (X ≥ 311). 432 433 434 435 436 437 438 439 1 P(X ≤ 900) A 2 · Φ(3) − 1 2 P(X ≥ 920) B 1 − Φ(− 1) 3 P(840 < X < 960) C Φ(3) 4 P(X ≤ 860) D 1 − Φ(1) E Φ(− 2) F Φ(0) 440 x φ(x) 0,5 1 1,5 2 2,5 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 φ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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