146 Normalverteilte Zufallsvariablen > Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 6 Zusammenfassung Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X f(x) = 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 μ… Erwartungswert σ … Standardabweichung Die Schreibweise N(μ; σ) bezeichnet eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ. Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen Ist f die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen, dann heißt F(x) = P(X ≤ x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Standard-Normalverteilung φ(z) = 1 _ 9 2 π · e − 1 _ 2 z 2… Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung N(0; 1) Φ(z) … Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung Transformationsgleichung: z = x − μ _ σ Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Eine Binomialverteilung B (n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Normalverteilung N(μ; σ) mit μ = n · pund σ = 9 _n · p · (1 − p) an. (Satz von Moivre-Laplace) In der Praxis gilt die Approximation als ausreichend gut, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: n · p · (1 − p) ≥ 9oder σ = 9 _n · p · (1 − p) ≥ 3 Veranschaulichung von Wahrscheinlichkeiten am Graphen der Dichtefunktion Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen X, entspricht der Flächeninhalt zwischen Graph und X‑Achse einer Wahrscheinlichkeit. Es git P(X ≤ a ) ist der Flächeninhalt zwischen Graph und X‑Achse von X = −∞ bis X = a. Einfluss der Parameter µ und σ auf den Graphen der Dichtefunktion Der Parameter µ verändert die Lage der Dichtefunktion. Der Parameter σ verändert die Form der Dichtefunktion. Die Sigma-Intervalle Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f. 1σ-Intervall 2σ-Intervall 3σ-Intervall x μ – σ μ μ + σ f 68,3 % x μ – 2σ μ μ + 2σ f 95,4 % x μ – 3σ μ μ + 3σ f 99,7 % P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954 P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997 x Graph von f(x) f μ μ + σ μ – σ x F(x) F 1 μ P(X ≤ a) a µ = 50; σ = 5 µ = 70; σ = 5 70 50 30 40 60 80 90 µ = 50; σ = 10 µ = 50; σ = 5 70 50 30 40 60 80 90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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