WS-R 3.5 WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.5 WS-R 3.5 WS-R 3.5 WS-R 3.4 149 Weg zur Matura Normalverteilte Zufallsvariablen > Teil-2-Aufgaben In einer Ortschaft wurde die Masse von Mäusen untersucht. a) D ie Masse X der untersuchten Mäuse ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 85 g und der Standardabweichung σ = 23 g. 1) B erechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse einer zufällig gefangenen Maus, mehr als 10 g vom Erwartungswert abweicht. 2) T rage die fehlende Zahl in die Textlücke ein. P(X ≤ _______) = P(X ≥ 100) b) I n einer anderen Ortschaft wurde ebenfalls die Masse Y von Mäusen untersucht. Die Masse der Mäuse ist auch dort normalverteilt. Die Abbildung zeigt die Dichtefunktion von Y. 1) L ies aus der Abbildung den Erwartungswert µ der Zufallsvariablen Y ab. Ein Jahr später wurde erneut die Masse von Mäusen untersucht. Die Masse X war auch diesmal normalverteilt mit dem gleichen Erwartungswert wie im Jahr davor. Die Standardabweichung war diesmal allerdings größer, als davor. 2) B eschreibe, wie sich der Graph der Dichtefunktion im Vergleich zu obiger Abbildung verändert hat. Die Lebensdauer X (in Jahren) eines Spielzeuges ist annähernd normalverteilt. a) Der Erwartungswert der Lebensdauer µ = 5,1 Jahre und die Standardabweichung σ = 0,5 Jahre. 1) Berechne die Lebensdauer, die 90 % der Spielzeuge erreichen 2) B erechne ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, das 99 % der Spielzeuge erreichen. b) D ie Produktion dieses Spielzeugs wird so verbessert, dass die Standardabweichung der Lebensdauer gleichbleibt. Der Erwartungswert wird durch die Umstellung auf 5,5 Jahre erhöht. In der Abbildung siehst du die Dichtefunktion von X nach der Umstellung. Der markierte Bereich liegt symmetrisch um den Erwartungswert. 1) Gib die Grenzen des Intervalls an. a = b = Für die Verteilungsfunktion F(X) der Zufallsvariablen X nach der Umstellung gilt: F(x) = P (X ≤ x). Die Abbildung zeigt den Graphen der Verteilungsfunktion von X: 2) Z eichne die Lebensdauer ein, die nur 10 % der Spielzeuge erreichen. M2 447 K 100 20 180 40 60 80 120 140 160 M2 448 K a b P = 0,954 2,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 0,3 0,5 0,7 0,9 0,1 7 3 4 5 26 8 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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