163 Schließende und beurteilende Statistik > Schließende Statistik Die Sicherheit eines gegebenen Konfidenzintervalls berechnen In einer Zeitschrift wird der Anteil der Personen, die mit den Oppositionsparteien zufrieden sind, mit einem Konfidenzintervall von [0,80; 0,84] angegeben. Die Behauptung stützt sich auf eine Befragung von 200 Personen. Berechne die Sicherheit dieser Behauptung. Da die Mitte des Konfidenzintervalls der relativen Häufigkeit in der Stichprobe entspricht, gilt h = 0,82. Da der Term z · 9 _ h · (1 − h) _ n aus der Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls der halben Breite des Konfidenzintervalls entspricht, gilt: 0 ,02 = z · 9 _ 0,82 · 0,18 _ 200 ⇒ z ≈ 0,74 ⇒ Φ(0,74) = γ + 1 _ 2 ⇒ γ = 2 · Φ(0,74) − 1 = 2 · 0,7704 − 1 = 0,54 Die Sicherheit beträgt ca. 54 %. Bei einer Befragung von n Personen wurde das Konfidenzintervall [p 1; p 2] ermittelt. Berechne die Sicherheit des Konfidenzintervalls. a) n = 2 000; p1 = 0,33; p2 = 0,37 d) n = 2 000; p1 = 0,77; p2 = 0,83 b) n = 2 000; p1 = 0,31; p2 = 0,33 e) n = 500; p1 = 0,02; p2 = 0,08 c) n = 1 000; p1 = 0,77; p2 = 0,83 f) n = 50; p1 = 0,08; p2 = 0,32 Bei einer Befragung von 1 500 Personen gaben 21 % an, die Partei A zu wählen. Aufgrund der Befragung behauptet ein Meinungsforschungsinstitut, dass der Stimmenanteil der Partei A zwischen 19 % und 23 % liegen wird. Berechne den Wert der Sicherheit y, mit der diese Behauptung aufgestellt wurde. In einer Stichprobe von 500 Stück einer Produktion wurden 23 defekte Produkte entdeckt. Berechne den Wert der Sicherheit γ, bei dem das Konfidenzintervall eine Breite von 0,01 hat. Den Stichprobenumfang für ein Konfidenzintervall ermitteln Plant man eine Untersuchung mit Hilfe einer Stichprobe, so ist es von Vorteil, den Stichprobenumfang im Vorfeld zu ermitteln, da der Stichprobenumfang maßgeblich die Breite des Konfidenzintervalls der Abschätzung und die Kosten der Untersuchung bestimmt. Will man zum Beispiel die unbekannte Wahrscheinlichkeit p in einer Grundgesamtheit mit Hilfe eines Konfidenzintervalls [h − ε; h + ε] und mit der Sicherheit γ abschätzen, so kann man den geeigneten Stichprobenumfang mit Hilfe der Formel für das Konfidenzintervall bestimmen. Aus ε = z · 9 _ h · (1 − h) _ n kann man n berechnen: n = h · (1 − h) · z 2 _ ε 2 . Der Wert für z ergibt sich aus der gewünschten Sicherheit: z ≈ 1,96für γ = 0,95und z ≈ 2,575 für γ = 0,99. Der Wert für die halbe Konfidenzintervallbreite ε kann ebenfalls frei gewählt werden. Da man noch keine Stichprobe gezogen hat (da man deren Umfang n erst bestimmen will), kann man für h die relative Häufigkeit früherer Umfragen wählen, wenn man mit keiner großen Abweichung rechnet. Sollte für h noch kein Erfahrungswert existieren, so wählt man h = 0,5, da man dadurch n sicherheitshalber möglichst groß macht. Ó Technologie Anleitung Sicherheit eines Konfidenzintervalls berechnen zm3vw7 Muster 482 Ó Arbeitsblatt Sicherheit eines Konfidenzintervalls berechnen 2fe854 483 484 485 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==