WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.4 WS-R 3.5 256 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik > Wahrscheinlichkeit und Statistik 11 Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X f(x) = 1 _ 9 2 π · σ · e − 1 _ 2( x − μ _ σ ) 2 μ… Erwartungswert σ … Standardabweichung Die Schreibweise N (μ; σ) bezeichnet eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ. Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen Ist f die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen, dann heißt F(x) = P(X ≤ x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Veranschaulichung von Wahrscheinlichkeiten am Graphen der Dichtefunktion Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen X entspricht der Flächeninhalt zwischen Graphen und X‑Achse einer Wahrscheinlichkeit. Es gilt: P(X ≤ a) ist der Flächeninhalt zwischen Graphen und X‑Achse von X = −∞ bis X = a. Veranschaulichung von Wahrscheinlichkeiten am Graphen der Verteilungsfunktion F Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen X entsprechen Wahrscheinlichkeiten Funktionswerten der Verteilungsfunktion. Es gilt: P(X ≤ a) ist gleich F(a). Einfluss der Parameter µ und σ auf den Graphen der Dichtefunktion Der Parameter µ verändert die Lage der Dichtefunktion. Der Parameter σ verändert die Form der Dichtefunktion. Die Sigma-Intervalle Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f. 1σ-Intervall 2σ-Intervall 3σ-Intervall x μ – σ μ μ + σ f 68,3 % x μ – 2σ μ μ + 2σ f 95,4 % x μ – 3σ μ μ + 3σ f 99,7 % P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954 P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997 x Graph von f(x) f μ μ + σ μ – σ Wendepunkt Wendepunkt x F(x) F 1 μ 0,5 P(X ≤ a) a F = P(X ≤ a) 1 a 0,8 0,6 0,4 0,2 0 70 50 20 30 40 60 80 90 µ = 50; σ = 5 µ = 70; σ = 5 70 50 20 30 40 60 80 90 µ = 50; σ = 5 µ = 50; σ = 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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