FA-R 4.14 FA-R 4.14 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AN-R 4.3 AN-R 3.3 FA-R 1.4 280 12 Weg zur Matura Maturavorbereitung: Vernetzungsaufgaben – Teil 2 > Teil-2-Aufgaben Polynomfunktionen Gegeben ist die Polynomfunktion dritten Grades f mit f(x) = 1 _ 120 · (x 3 − 36 · x2 + 371 · x − 576). Der Graph von f wird vom Graphen einer linearen Funktion g mit g(x) = k · x + d mit k, d ∈ ℝ in den Punkten A, B und C geschnitten. In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen von f und g dargestellt. Die Punkte A, B und C haben dabei jeweils ganzzahlige x-Koordinaten. a) Für die sogenannte Differenzfunktion D der beiden Funktionen f und g gilt: D(x) = f(x) − g(x) für alle x ∈ ℝ 1) Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Funktion D ist (1) und hat (2) Nullstellen. (1) (2) eine Polynomfunktion 3. Grades 1 eine Polynomfunktion 2. Grades 2 keine Polynomfunktion 3 Da sich die Graphen der Funktionen schneiden, ergeben sich zwei Flächenstücke, die von den beiden Graphen eingeschlossen sind (siehe obige Abbildung). 2) Interpretiere das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im Zusammenhang dieser Flächenstücke. : 3 23 d(x) Dx ≈ − 33,3 Die Summe der Flächeninhalte der von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Flächenstücke wird mit A bezeichnet. 3) Berechne A. b) Der Punkt P = (20,3|4) liegt auf dem Graphen von f und ist in der obigen Abbildung eingezeichnet. Für Polynomfunktionen f gilt der sogenannte Satz von Rolle. Er lautet: Ist f(a) = f(b), so gibt es eine Stelle m im Intervall [a; b], für die gilt: f‘(m) = 0. Der Satz von Rolle soll für das Intervall [a; 20,3] mit 8 < a < 20,3angewendet werden. 1) Gib a und m an. M2 809 x f(x), g(x) 2 4 6 8 1012141618202224 2 4 6 8 10 –2 0 P = (20,3 1 4) g f A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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