88 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Die Bevölkerung eines Landes ist vom Jahr 2006 bis zum Jahr 2016 von 7 Millionen auf 7,2 Millionen gestiegen. Es wird angenommen, dass die Bevölkerung jährlich um dieselbe Personenzahl ansteigt. yn gibt die Bevölkerungszahl in Millionen nach n Jahren an. a) Beschreibe die Änderung der Einwohnerzahl von einem Jahr zum nächsten durch eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + b. b) Beschreibe die Einwohnerzahl des Landes in expliziter Form und bestimme auf Basis dieses Modells die Einwohnerzahl des Landes im Jahr 2025. Der Anschaffungspreis eines Wagens beträgt 60 000 €. Nach drei Jahren beträgt der Wert bei linearer Abschreibung (d.h. jedes Jahr vermindert sich der Wert um denselben Betrag) nur mehr 37500 €. yn gibt den Wert des Wagens nach n Jahren an. a) Beschreibe die Wertminderung des Wagens von einem Jahr zum nächsten durch eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = y n + b. b) Gib den Wert des Wagens in expliziter Form an und bestimme auf Basis dieses Modells die Anzahl der Jahre, nach denen der Wert des Wagens 0 € beträgt. Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt unter idealen Bedingungen in 30 Minuten vollständig ab. y n beschreibt die Höhe der Kerze nach n Minuten in cm. Ergänze den fehlenden Wert: y n + 1 − y n = y 0 = 15 Die Höhe y einer Pflanze nimmt in einem bestimmten Zeitraum wöchentlich um 2 mm zu. Die Anfangshöhe beträgt 15 mm. Beschreibe die Höhe (in mm) y n der Pflanze nach n Wochen durch eine Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + b. Diskretes exponentielles Modell – yn + 1 = a · yn, a > 0, a ≠ 1 Bei dieser Art von Differenzengleichung erhält man den Wert y n + 1, indem man yn mit einem Faktor a multipliziert. Diese Eigenschaft erinnert für a > 0an exponentielle Funktionen. Aus diesem Grund nennt man dieses Modell auch exponentielles Modell. Die explizite Form erhält man durch: y 1 = a·y0, y 2 = a·y1 = a 2 · y 0, y 3 = a·y2 = a 3 · y 0 usw. ⇒ explizite Form yn = a n · y 0 Ist a > 1, so handelt es sich um exponentielle Zunahme. Ist 0 < a < 1, so handelt es sich um exponentielle Abnahme und die Größe y geht für n gegen unendlich gegen null. Diskretes exponentielles Modell Das exponentielle Modell ist durch die lineare Differenzengleichung y n + 1 = a·yn mit a ∈ ℝ+ \ {1} und den Anfangswert y 0 festgelegt. Für die explizite Darstellung gilt: y n = a n · y 0 mit n ∈ ℕ Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzengleichung beschreiben lässt. 1) Gib für yn eine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1 = a·yn + ban. 2) Gib eine explizite Darstellung für y n an und berechne yn für n = 5; 8 und 12. a) Die Mieten für Wohnraum steigen jährlich um rund 3,5 %. Gegenwärtig zahlt jemand 780 € Miete. yn beschreibt die Höhe der Miete nach n Jahren. b) Das Holzvolumen eines Waldes wird gegenwärtig auf 50 000 m3 geschätzt. Der Holzbestand wächst jährlich um rund 2,5 %. y n gibt den Holzbestand nach n Jahren an. 244 245 246 247 Merke 248 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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