90 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzengleichung beschreiben lässt. 1) Stelle für yneine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1= a·yn + bauf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 − y n = T(y n). 2) Beschreibe ynin expliziter Form. a) Ein Kapital von 4 000 € wird auf einem mit 0,5 % p.a. verzinsten Sparbuch angelegt. y n beschreibt das Kapital nach einer Laufzeit von n Jahren. b) Ein Lichtstrahl, der ins Wasser fällt, wird pro Meter Wassertiefe um rund 10 % schwächer. y n beschreibt die Lichtstärke in einer Tiefe von n Metern, y 0 ist die Lichtstärke vor dem Eintritt des Lichtstrahls ins Wasser. Für eine Bestandsgröße yn nach n Zeiteinheiten gilt der Zusammenhang yn + 1 − y n = y n · (u − 1). Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Gleichung kann als lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + b gedeutet werden. B Die Veränderung pro Zeiteinheit ist direkt proportional zum momentanen Bestand. C Ist u > 1, so wächst ynexponentiell. D Ist 0 < u < 1, so wird der Bestand immer größer. E Die absolute Änderung pro Zeiteinheit ist immer gleich. Für die Menge wn eines Wirkstoffs n Stunden nach der Einnahme gilt wn + 1 − w n = w n · (− 0,2), w 0 = 200 mg. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Wirkstoffmenge im Körper nimmt zu. B Die Wirkstoffmenge im Körper nimmt um 20 Prozent pro Stunde ab. C Die Veränderung der Wirkstoffmenge pro Zeiteinheit ist direkt proportional zur momentanen Wirkstoffmenge. D Die Wirkstoffmenge im Körper ist ab einem gewissen Zeitraum negativ. E Je mehr Stunden vergangen sind, desto größer ist der Betrag der absoluten Änderung pro Zeiteinheit. Weitere diskrete Modelle – yn + 1 = a · yn + b, a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 Betrachtet man Modelle, die sich gemäß der Differenzengleichung y n + 1= a·yn + b, a > 0, b ≠ 0 verändern, so sind diese Modelle für a ≠ 1 weder exponentiell noch linear. Je nach Wahl der Parameter a und b können Aussagen über die Bestandsgröße getätigt werden. Die explizite Form der Differenzengleichung ist gegeben durch (siehe Anhang Beweise, Seite 285): y n = a n · y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a Explizite Darstellung einer linearen Differenzengleichung Die explizite Form einer linearen Differenzengleichung y n + 1= a·yn + b mit dem Anfangswert y 0ist gegeben durch: y n = a n · y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a , a ≠ 1 253 Ó Arbeitsblatt Exponentielle Modelle 8ds996 254 255 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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