91 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Wirkung der Parameter a und b Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über das Verhalten der Bestandsgröße in Abhängigkeit von den Parametern a und b. Verwende als graphische Unterstützung die nebenstehende Online-Ergänzung. 0 < a < 1 a > 1 b > 0 Lässt man n gegen unendlich gehen, so erhält man: lim n→∞ y n= lim n→∞ (a n y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a ) = b _ 1 − a In diesem Fall gibt es eine Schranke, die nicht über- bzw. unterschritten wird. b _ 1 − a wird Wachstumsgrenze W genannt. Betrachtet man die explizite Form und lässt n gegen unendlich gehen, so wird y n immer größer. Es liegt unbeschränktes Wachstum vor. b < 0 Da beide Parameter eine Abnahme bewirken, wird die Größe y nab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen. Hier sind drei Verhaltensmuster möglich: y 1 > y 0 ⇒ unbeschränktes Wachstum y 1 = y 0 ⇒ der Bestand verändert sich nicht y 1 < y 0 ⇒ y n wird ab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen 1) Gib an, wie sich y n für größer werdende n verändert. 2) Bestimme die explizite Darstellung von y n. a) y n + 1= 0,5 · yn+ 3, y0 = 4 f) y n + 1= 0,4 · yn+ 3, y0 = 10 k) y n + 1= 12 · yn − 14, y0 = 38 b) y n + 1= 0,8 · yn+ 5, y0 = 100 g) y n + 1= 0,6 · yn − 14, y0 = 10 l) y n + 1= 0,5 · yn, y 0 = 1 c) y n + 1= 0,4 · yn − 20, y0 = 10 h) y n + 1= 2,9 · yn+ 25, y0 = 4 m) y n + 1= 2·yn+ 5, y0 = 8 d) y n + 1= 0,98 · yn − 35, y0 = 30 i) y n + 1= 3·yn − 5, y 0 = 5 n) y n + 1= 0,8 · yn − 10, y0 = 50 e) y n + 1= 1,5 · yn+ 14, y0 = 10 j) y n + 1= 5·yn − 120, y0 = 30 Die Wachstumsgrenze − y n + 1= a·yn + b, 0 < a < 1, b > 0 Wie in obiger Tabelle gezeigt, gibt es für den Fall 0 < a < 1 und b > 0 eine Wachstumsgrenze W = b _ 1 − a. Mit den folgenden Umformungen kann man zeigen, dass bei derartigen Systemen die absolute Änderung zweier aufeinanderfolgender Zeiteinheiten direkt proportional zur Differenz W − y n (auch Freiraum genannt) ist. Der Freiraum gibt den Bereich an, in dem die Bestandsgröße noch wachsen kann. Es gilt: y n + 1= a·yn + b | − y n ⇒ y n + 1 − y n = y n · (a − 1) + b = b − (1 − a) · y n Hebt man nun (1 − a) heraus, erhält man: y n + 1 − y n = (1 − a) · ( b _ 1 − a − y n) ⇒ y n + 1 − y n = (1 − a) · (W − y n) Diskretes beschränktes Modell Eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1= a·yn + b mit 0 < a < 1 und b > 0 kann auf y n + 1 − y n = k · (W − y n) mit W = b _ 1 − a und k = 1 − a umgeformt werden. Dabei wird W als Wachstumsgrenze und W − y n als Freiraum bezeichnet. Die absolute Änderung zweier aufeinanderfolgender Zeiteinheiten ynund yn + 1 ist direkt proportional zur Differenz W − y n. Ó Technologie Darstellung Wirkung der Parameter s9k6r2 256 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==