92 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Die Ausdehnung einer Bakterienkultur wird täglich vermessen. In einer 8 0 cm2 großen Petrischale stellt man am ersten Tag eine Fläche von 2 cm2 fest. Die von den Bakterien eingenommene Fläche nimmt täglich um 20 % der noch freien Fläche der Petrischale zu. y n beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischale in c m 2 nach n Tagen. Stelle für yn eine Differenzengleichung der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 = a·yn + b. Durch die Fläche der Petrischale ist eine Wachstumsgrenze W = 80 cm2 gegeben. Der Proportionalitätsfaktor ist k = 20 % = 0,2. Für die Differenzengleichung gilt: y n + 1 − y n = 0,2 · (80 − y n) = 16 − 0,2 y n mit y0 = 2 cm 2 Durch Umformung erhält man die rekursive Darstellung y n + 1 = y n + 16 − 0,2 y n = 0,8 yn + 16 mit y 0 = 2 cm 2. Die Ausdehnung einer Bakterienkultur wird täglich vermessen. In einer 9 5 cm2 großen Petrischale stellt man am ersten Tag eine Fläche von 5 cm2 fest. Der von den Bakterien eingenommene Flächeninhalt nimmt täglich um 15 % des noch freien Flächeninhalts der Petrischale zu. y n beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischale in c m 2 nach n Tagen. Stelle für yn eine Differenzengleichung der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 = a·yn + b. Von einer Größe y n nach n Tagen mit y0 = 12ist bekannt, dass die absolute Änderung von y n und yn + 1 direkt proportional zu (50 − y n) ist. Der Proportionalitätsfaktor ist 2,5 %. Stelle eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + bauf. Gegeben ist eine lineare Differenzengleichung. Bestimme für die Bestandsgröße – wenn möglich – die Wachstumsgrenze W und gib die Gleichung in der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) an. a) y n + 1 = 0,5 · yn + 8, y0 = 4 e) y n + 1 = 0,9 · yn + 40, y0 = 35 b) y n + 1 = 0,34 · yn + 25, y0 = 100 f) y n + 1 = 0,05 · yn + 7 800, y0 = 14 c) y n + 1 = 0,2 · yn + 5, y0 = 8 g) y n + 1 = 0,8 · yn + 3, y0 = 30 d) y n + 1 = 1,3 · yn + 4, y0 = 5 h) y n + 1 = 0,4 · yn − 5, y 0 = 1 200 Eine Pflanzenkultur vermehrt sich auf der Wasseroberfläche. Für die durch die Pflanzenkultur belegte Fläche y n nach n Wochen (in dm2) gilt: y n + 1 = 0,99 · yn + 300, y0 = 1 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die von der Pflanzenkultur belegte Fläche nimmt jede Woche ab. B Laut diesem Modell werden nicht mehr als 30000dm2 durch die Pflanzenkultur belegt sein. C Es liegt ein unbeschränktes Wachstum vor. D Je länger die Pflanzenkultur existiert, desto geringer ist ihr Zuwachs. E Die durch die Pflanzenkultur belegte Fläche nimmt exponentiell zu. Muster 257 258 259 260 261 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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