Mathematik Oberstufe Lösungswege Freiler | Marsik | Olf | Wittberger Arbeitsheft 5
Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 205268 Lösungswege Mathematik Oberstufe 5, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 207901 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Unterricht vom 11. Juli 2022, BMBWF-GZ: 2020-0.674.294, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 5. Klasse an allgemein bildende höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Vladimir Vladimirov / Getty Images; robvanhal / Getty Images - iStockphoto Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0003) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Christiane Schütz, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne GmbH, Horn ISBN 978-3-209-11497-6 (Lösungswege OS AH 5 + E-Book) ISBN 978-3-209-12559-0 (Lösungswege OS AH 5 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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2 Inhalt Unterstufencheck 4 Zahlen und Rechengesetze Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 10 1.1 Mengen 10 1.2 Zahlenmengen 12 1.3 Schätzen von Ergebnissen 14 1.4 Prozentrechnen 14 1.5 Gleitkommadarstellung 16 1.6 Das binäre Zahlensystem 16 Teil-1-Aufgaben 17 Teil-2-Aufgaben 18 Terme 19 2.1 Termbegriff 19 2.2 Operieren (Rechnen) mit Termen 20 2.3 Aufstellen und Interpretieren von Termen 21 Teil-1-Aufgaben 22 Teil-2-Aufgaben 23 Gleichungen Gleichungen und Formeln 24 3.1 Gleichungen 24 3.2 Formeln 25 Teil-1-Aufgaben 27 Teil-2-Aufgaben 28 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme 29 4.1 Lineare Gleichungen 29 4.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 32 Teil-1-Aufgaben 35 Teil-2-Aufgaben 36 Quadratische Gleichungen 37 5.1 Lösen quadratischer Gleichungen 37 5.2 Aufstellen von quadratischen Gleichungen 39 5.3 Satzgruppe von VIETA 40 5.4 Quadratische Bruchgleichungen 40 Teil-1-Aufgaben 41 Teil-2-Aufgaben 42 Funktionen Funktionen allgemein 43 6.1 Darstellung von Zuordnungen 43 6.2 Die Funktion – eine eindeutige Zuordnung 44 6.3 Funktionensprache 45 6.4 Nullstellen einer Funktion 47 6.5 Gleichungen graphisch lösen 47 Teil-1-Aufgaben 48 Teil-2-Aufgaben 49 Lineare Funktionen 50 7.1 Die Funktionsgleichung der linearen Funktion 50 7.2 Graphen und Wertetabellen linearer Funktionen 50 7.3 Besondere Geraden 52 7.4 Lineare Gleichungen und Gleichungs- systeme graphisch lösen 53 7.5 Anwendungen von linearen Funktionen 54 7.6 Lineare Modelle und direkte Proportionalität 55 Teil-1-Aufgaben 56 Teil-2-Aufgaben 57 Nichtlineare Funktionen 58 8.1 Quadratische Funktionen und Parabeln 58 8.2 Variation der Parameter von f(x) = a(x – m)2 + n 58 8.3 Nullstellen einer quadratischen Funktion 60 8.4 Anwendungen quadratischer Funktionen 61 8.5 Gebrochen rationale Funktionen 62 8.6 Indirekte Proportionalität 63 8.7 Abschnittsweise definierte Funktionen 63 Teil-1-Aufgaben 64 Teil-2-Aufgaben 65 Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck 66 9.1 Winkelfunktionen 66 9.2 Auflösen von rechtwinkligen Dreiecken 67 9.3 Anwendungen in der Geometrie und Vermessungsaufgaben 68 Teil-1-Aufgaben 69 Teil-2-Aufgaben 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck 71 10.1 Winkelfunktionen für beliebige Dreiecke 71 10.2 Erweiterung von Winkelfunktionen – Anwendungen 72 10.3 Sinus- und Cosinussatz 74 10.4 Vermessungsaufgaben 74 Teil-1-Aufgaben 75 Teil-2-Aufgaben 76 Vektorrechnung Vektoren 77 11.1 Einführung in die Vektorrechnung 77 11.2 Rechnen mit Vektoren 77 11.3 Geometrische Interpretation von Vektoren im R2 78 11.4 Geometrische Interpretation der Rechenoperationen 79 Teil-1-Aufgaben 81 Teil-2-Aufgaben 82 Geometrische Anwendungen von Vektoren 83 12.1 Abtragen von Strecken 83 12.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 84 12.3 Finden von Normalvektoren 85 Teil-1-Aufgaben 86 Teil-2-Aufgaben 87 Geraden 88 13.1 Parameterdarstellung einer Geraden 88 13.2 Lagebeziehungen und Schnittwinkel von Geraden 90 13.3 Normalvektordarstellung einer Geraden 91 13.4 Lagebeziehungen zweier Geraden in der allgemeinen Form 92 13.5 Anwendungen 92 Teil-1-Aufgaben 93 Teil-2-Aufgaben 94 Anhang Lösungen 95 10 11 12 13 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 5. Es bietet vielfältige Aufgaben, die zwei Ziele bedienen: • das vertiefte Festigen von Grundkompetenzen • das gezielte Einüben von Matura-Aufgabenformaten Aufgabe mit einfachem Komplexitätsgrad Aufgabe mit mittlerem Komplexitätsgrad Aufgabe mit hohem Komplexitätsgrad Teil-1-(ähnliche) Aufgaben in einem der Formate der schriftlichen Reifeprüfung Aufgaben, die ohne TR zu lösen sind Aufgaben die in der Quick Media App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben im Format der schriftlichen Reifeprüfung kontextreduzierte Teil-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 » M1 ó > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 5 6 8 7 » M1 ó M2K M2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann mathematische Texte verstehen. 1 Lies den Text genau durch und kreuze die beiden richtigen Aussagen an. Zwei Lehrerinnen, Frau Holm und Frau Erikson, besichtigten an einem Montag im Juni mit ihren Klassen das Naturhistorische Museum in Wien. Frau Holm begleitete die 2 a (25 Schülerinnen und Schüler), Frau Erikson die 2 b (drei Kinder weniger als in der 2 a). Beide Klassen wurden von jeweils einem Vater begleitet. An der Kassa zahlte Frau Erikson für beide Klassen 117,50 €. Das war viel Geld, doch glücklicherweise mussten die Erwachsenen als Begleitpersonen nichts zahlen. Die beiden Väter freuten sich. Zusammen hatten sie 15 € gespart. A Die Klasse 2 b wird von 22 Schülerinnen und Schülern besucht. B Frau Erikson beaufsichtigte mehr Kinder als Frau Holm. C Jedes Kind zahlte 3,50 € Eintritt in das Museum. D Insgesamt waren es vier Erwachsene und 47 Kinder. E Jeder Erwachsene hätte regulär 7€ Eintritt gezahlt. Ich kann die Potenzregeln anwenden. 2 Vereinfache und gib die Lösung mit Hilfe von Potenzen an. a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = d) x · x · y · y · x · y · y = b) 5 · 7 · 5 · 7 · 7 · 5 = e) 4 a · 4 a · 4 a · 4 a = c) 3 · u · u · u · 3 = f) 8 · 2 z · 8 · 2 z · 2 z · 8 · 8 = 3 Vereinfache, wenn möglich, und gib die Lösung mit Hilfe von Potenzen an. a) 53 · 54 = e) 33 : 31 = i) (‒ 2,5 · z³ · w)2 = b) 70 + 71 = f) 9 s3 : (9 s2) = j) (‒ 6 a3) = c) (63 · 62) : 6 = g) (101)4 = k) 2 v 2 _ 5 k 3 2 = d) (8 g)2 · 84 = h) (45 f)3 = l) 2 ‒ p _ 3 3 5 = ó Unterstufencheck Dieser Check hilft dir, die Kompetenzen, die du in der Unterstufe erworben hast, zu überprüfen. Führe ihn sorgfältig durch, um dich auf das kommende Schuljahr vorzubereiten. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann eine Parallele und eine Normale einzeichnen. Ich kann einen Punkt im Koordinatensystem ablesen. 4 Eine Gerade g ist gegeben. a) Konstruiere eine Parallele p durch den Punkt P = (0 1 0). b) Konstruiere eine zur Geraden g normale Gerade n, die durch den Punkt S = (2 1 0) geht. c) Gib den Schnittpunkt der beiden Geraden g und n an. Ich kann Zahlen auf einer Zahlengeraden einzeichnen. 5 Markiere die folgenden Zahlen auf der Zahlengeraden: a) 6,25; 0; ‒ 5 1 _ 2 ; ‒ 3,1; 2 3; 3 _ 4 b) 0,17; 0,22; 0,45; 0,7; 0,83; 0,99; 1,2; 1,34 Ich kann mit Termen rechnen. 6 Gegeben ist der Term 3 a + 1 _ 2 . Führe die Anweisungen nacheinander aus. a) 1) Verdopple den gegebenen Term: 2) Dividiere durch 3: 3) Addiere 3 b: 4) Verdreifache den Term: 5) Subtrahiere 4 b: 6) Multipliziere mit 1 _ 5 : b) Setze a = 2 und b = 3 in den Term aus der Angabe ein. Berechne den Wert des Terms. 7 Vereinfache den Term. a) z + z + 2 z + z2 + 4 z2 + 3 = c) y + 3 y (y + 4) – y2 + 2 y = b) y + 3 y – y2 + 4 – 5 y2 + 4 y = d) 8 (x + 5 x2) – 3 x2 + x – 2 x + 7 = 1 2 3 4 5 –1 –1 –3 –2 1 2 3 4 0 y g x 6 7 8 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 1,3 1,4 1,5 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ó ó 5 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann den Satz des Pythagoras anwenden. Ich kann den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen. 8 Von einem Dreieck sind die Längen d = 9,87cm, k = 10,22 cm und t = 6,53 cm gegeben. Berechne die Längen von g, der Höhe h, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. Kreuze die richtigen Ergebnisse an. 7,40 cm 36,67 cm 50,25 cm2 11,83 cm 25,50 cm2 7,05 cm 33,67 cm Ich kann die binomischen Formeln anwenden. 9 Forme mit Hilfe der binomischen Formeln um. a) (c – 5)2 = d) (4 + b)2 = b) x2 – 12 x + 36 = e) 9 – 6 h + h2 = c) (3 z – f) (3 z + f) = f) 25 n2 – v2 = 10 Wende die binomischen Formeln an. a) (c3 + 5)2 = c) 2 a2 b – c _ 2 3 2 = b) (e2 – f2) (e2 + f2) = d) x 2 _ 4 + x y _ 4 + y2 _ 16 = Ich kann <, >, ª, und º anwenden. 11 Gib an, welche natürlichen Zahlen die Bedingung erfüllen. a) 5 ª y < 7 L = { } c) 0 ª k < 1 L = { } b) 2 º g > 0 L = { } d) g ª 10 L = { } Ich kann mathematische Aussagen verstehen. 12 Ein Bauer besitzt K Kühe und H Hühner. Interpretiere die folgende Gleichung. a) H = 3 K Der Bauer b) K + 2 = H Der Bauer hat zwei mehr als h t g k d ó ó 6 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann Bruchzahlen, Dezimalzahlen und Prozente umwandeln. 13 Ergänze die Tabelle. Bruch Dezimalzahl Prozent a) 1 _ 2 50 % b) 0,25 c) 0,125 d) 3 _ 4 e) 1 % Ich kann Einheiten umwandeln. 14 Wandle die gegebenen Maße um. a) 10 m = mm = km = dm = cm b) 6 dag = kg = g = t c) 0,4 m2 = cm2 = dm2 = a d) 500 dm3 = m3 = l e) 60 h = d = min = sek Ich kann Bruchzahlen und Dezimalzahlen nach ihrer Größe ordnen. 15 Setze <, > oder = ein. a) 1 _ 9 0,9 d) 0,11 110 _ 1 000 g) 0,7 72 _ 100 b) 99 _ 100 7 _ 10 e) 0,36 2 _ 5 h) 12 _ 10 1,1 c) 1 _ 3 1 _ 7 f) 45 _ 50 0,8 i) 1 _ 3 0,3 16 Berechne und kürze soweit wie möglich. a) 1 _ 3 · 3 _ 5 = d) 2 1 _ 6 : 1 _ 2 = g) 6 4 _ 7 – 2 3 _ 21 + 1 5 _ 6 = b) 7 1 _ 2 + 2 1 _ 9 = e) 6 _ 9 : 3 = h) 2 1 _ 4 · 2 _ 5 + 4 2 _ 4 : 1 1 _ 2 = c) 3 1 _ 4 – 4 _ 6 = f) 2 1 3 _ 5 – 2 1 _ 6 3 · 2 = i) 2 5 2 _ 7 – 3 4 _ 14 3 · 2 4 _ 5 + 6 _ 10 3 = ó ó ó ó 7 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kann Winkel ablesen und Winkelarten bestimmen. Ich kenne die Basisbegriffe des Dreiecks und kann spezielle Dreiecke benennen. 17 1) Zeichne die Punkte des rechtwinkligen Dreiecks A = (‒ 5 1 0), B = (6 1 ‒1) und C = (1 1 5) in das Koordinatensystem ein und konstruiere das Dreieck. Beschrifte die Seiten und Winkel. 2) Markiere die Katheten blau und die Hypotenuse rot. 3) Kreuze an, welches spezielle Dreieck vorliegt. gleichseitig ungleichseitig gleichschenklig 4) Miss den Winkel α ab und kreuze die richtige Antwort an. 25° 29° 32° 45° 50° 5) Kreuze an, um welchen Winkel es sich bei α handelt. spitz voll erhaben stumpf gestreckt Ich kann Gleichungen lösen. Ich kann Zahlen den Zahlenmengen zuordnen. 18 1) Löse die Gleichung. a) 3 k + 8 – 17 = 5 (k + 4) – 10 b) ‒7b+1 _ 2 b2 – 9 = 2 · 2 1 _ 4 b2 – 1 3 2) Kreuze an, in welchen Zahlenmengen die Ergebnisse von 1a) bzw. 1b) liegen. a) Q N R Z b) Q N R Z x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –2 –3 –4 –1 0 ó 8 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ich kenne die in der Sekundarstufe 1 gelernten Formeln zur Berechnung von Flächeninhalten. 19 Ordne den Figuren die passenden Flächeninhaltsformeln zu. 1 3 2 4 A B C D E F A = e · f _ 2 A = e 2 π A = e2 A = e · f A = f · g _ 2 A = (e + f) g _ 2 Ich kann Winkel messen. 20 Miss den Winkel ab. Schätze zuerst. a) b) Ich kann Berechnungen ohne Technologie durchführen. 21 Berechne das Ergebnis. a) (5 – 6) · (‒ 3) + 10 – 4 · 9 = c) 7– 3·(5 + 2) – (‒11) = b) 30 –10 : 5 + 9·(3·1,5 – 2) = d) (‒7,5) : (‒2,5) + 3 – 2·4 = 22 Berechne das Ergebnis. a) 92 – 1 _ 2 · 1 _ 2 = c) 2 3 + 52 – 1,73 = b) 3 · 42 + 2 · 1 _ 4 = d) 10 2 + 20 · 3 _ 4 – 1 5 = f e f e g f e g e M α β ó ó 9 Unterstufencheck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.1 Mengen 23 Kreuze alle Elemente der angegebenen Zahlenmenge an. Die Summe der nicht angekreuzten Zahlen ergibt 369,1. a) Nu: 13 9 _ 9 88 1 0 66 35 9 12 34 b) P: ‒ 8 100 37 59 51 23 21 0 41 5 c) Z: ‒ 4 9 22 11 0 ‒ 5 6,7 ‒ 2,1 88 1 _ 2 Darstellung von Mengen 24 Gegeben ist ein Mengendiagramm. 1) Gib die dargestellte Menge in aufzählender Darstellung an. 2) Gib die dargestellte Menge in beschreibender Form an. a) b) 25 Ordne die passenden Darstellungen der Mengen einander zu. 1 {x * N † 4 < x ª 10} A {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 2 {x * N † 4 < x < 10} B {5; 6; 7; 8; 9} C {5; 6; 7; 8; 9; 10} D {4; 5; 6; 7; 8; 9} Beziehungen zwischen Mengen 26 Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweiligen Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Gegeben sind die Mengen A, B und C. Wenn A = N und (1) , dann gilt: (2) . (1) (2) C = Q C a A B = Ng B ² A C = Z A ² B 27 Gegeben sind die Mengen A = {0, 1, 2, 3}, B = {x * N † ‒ 2 < x < 5} und C = N+. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A B C D E A a C A ² B C ² B C ² N N a B AG-R 1.1 M2 ó 1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 0 N B N 4 5 6 7 8 9 10 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 Verknüpfung von Mengen 28 Die 5A fährt auf Sportwoche. Es sei S die Menge aller Schülerinnen und Schüler, die an dieser Schulveranstaltung teilnehmen, B die Menge der Schüler und M die Menge der Schülerinnen. Mit dem Buchstaben W wird die Menge der Schülerinnen und Schüler bezeichnet, die eine Wassersportart gewählt hat. Beschreibe jeweils die Menge unten in Worten. a) B ° W b) M ± W c) S \ W d) M \ B 29 Gegeben sind zwei Mengendiagramme. Ordne jeder markierten Fläche die passende Verknüpfung aus A bis D zu. 1 2 A A ± B B A \ B C A ° B D B \ A 30 Gegeben ist ein Mengendiagramm. Gib die folgenden Mengen in aufzählender Darstellung an. a) A ± (B ° C) b) B \ (A ± C) 31 In einer Schulstufe wurden die Schülerinnen und Schüler befragt, welchen Freizeitsport sie betreiben. Sie nannten Reiten, Laufen und Tennis. R ist die Menge der Personen, die Reiten wählten, L die Menge derer, die Laufen und T die Menge derer, die Tennis aussuchten. a) 1) Ordne jeder Menge die passende Beschreibung aus A bis D zu. 1 T \ (R ± L) A Menge an Personen, die gern reiten und laufen. 2 R ° L B Menge an Personen, die gern Tennis spielen, aber nicht reiten und nicht laufen. C Menge an Personen, die gern Tennis spielen oder reiten, aber nicht laufen. D Menge an Personen, die gern reiten. b) 1) Gib die blau markierte Fläche in Mengenschreibweise an. c) 1) Gib die Gesamtanzahl der befragten Schülerinnen und Schüler an. 2) Gib die Anzahl der Personen an, die Laufen oder Tennis oder beides genannt haben. AG-R 1.1 M1 ó 1 A B 3 4 5 6 7 8 12 10 2 1 A B 3 4 5 6 7 8 12 10 2 14 1 A C B 37 85 80 50 42 64 96 4 5 52 89 34 49 51 7 9 12 16 17 23 25 M2 T 7 5 15 3 9 4 11 R L 11 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Mengen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Zahlenmengen Menge der natürlichen Zahlen 32 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] a) A Ng a Nu B Ng ± Nu = N C {0} ² N+ D {3; 6} ² N g E Nu ² N b) A Ng ² N B Ng ° Nu = {0} C {0} ² N D {122} a Nu E N ² N+ 33 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Die kleinste positive natürliche Zahl ist größer als die kleinste natürliche Zahl. B Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger in N. C Alle natürlichen Zahlen sind positive Zahlen. D Die kleinste natürliche Zahl ist 1. E Jede natürliche positive Zahl hat einen Vorgänger in N. 34 Kreuze an, durch welche Zahlen die angegebene Zahl teilbar ist. a) 1 234 567 890 A 2 B 3 C 4 D 6 E 8 F 9 b) 987 654 321 A 2 B 3 C 4 D 6 E 8 F 9 Menge der ganzen Zahlen / Betrag ganzer Zahlen 35 Gegeben sind r = ‒ 2, s = ‒ 5 und t = 7. Berechne den Wert des folgenden Terms. a) 2 r + t – s c) 4 r – 2 s – t b) ‒ r + 6 s + 2 t d) ‒ 3 (‒ r – s – t) 36 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Jede natürliche Zahl ist eine positive ganze Zahl. B Alle natürlichen Zahlen sind in der Menge der ganzen Zahlen enthalten. C Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. D Jede positive ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. E Null ist ein Element von Z+. 37 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis aus A bis D zu. 1 |‒ 3 + 4| – |‒ 3 – 4| A 8 2 ‒ 3 – 4| – |3 – 4| B 6 C 0 D ‒ 6 Menge der rationalen Zahlen / Rechnen mit rationalen Zahlen („Bruchrechnen“) 38 Gib an, welche Zahlen auf der Zahlengeraden markiert sind. A = B = C = D = E = F = G = H = I = óAG-R 1.1 M1 óAG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M1 AG-R 1.1 M1 ó ó 0,12 0,14 0,16 0,18 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 –0,1 –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 A B C D E F G H I –0,18 –0,16 –0,14 –0,12 12 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
39 Vervollständige die Sätze, sodass sie mathematisch korrekt sind. Kreuze dazu die Kästchen neben den passenden Satzteilen an. Q ist die Menge der rationalen Zahlen. Jede rationale Zahl (1) . Q beinhaltet die Menge (2) . (1) (2) ist eine periodische Dezimalzahl aller Dezimalzahlen ist als Bruch ganzer Zahlen darstellbar der natürlichen Zahlen ist eine endliche Dezimalzahl aller Zahlen zwischen ‒1 und 1 40 Berechne und kürze so weit wie möglich. Schreibe zur Selbstkontrolle die Buchstaben neben den Rechnungen über die korrekten Ergebnisse. Du erhältst ein Lösungswort. a) 3 _ 4 – 1 _ 2 · 2 _ 4 = P b) 2 1 _ 2 + 2 _ 6 3 · 2 _ 5 – 5 _ 10 = P c) 8 _ 10 : 2 _ 4 – 2 3 _ 5 + 2 _ 5 3 = T d) 3 _ 4 + 6 _ 8 · 1 _ 2 = A e) 1 _ 8 + 2 3 _ 16 – 2 _ 8 3 = O f) 2 4 _ 5 + 9 _ 10 3 · 1 _ 2 – 4 _ 5 = L LÖSUNGSWORT: 1 _ 20 1 1 _ 8 ‒ 1 _ 6 3 _ 5 1 _ 16 1 _ 2 Menge der reellen Zahlen 41 Schreib die gegebenen Zahlen in die passenden Bereiche. 9 _ 5; 2,74; 3 9 _ 8, 123; 7, _ 12; 0,0˙4 ; 2 _ 9 ; π, 9 _ 2 _ 3 42 Kreuze die beiden zutreffenden Antworten an. [2 aus 5] A Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger in N. B Es gibt eine größte ganze Zahl. C Jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl. D Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. E Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. 43 Kreuze an, in welchen Zahlenmengen die folgende Rechenoperation abgeschlossen ist. a) Subtraktion A Q B N C R D Z b) Multiplikation A Q B N C R D Z AG-R 1.1 M1 ó ó N Z Q R AG-R 1.1 M1 ó 13 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Zahlenmengen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Reelle Intervalle 44 Ergänze die fehlende Darstellung des Intervalls. (‒ 3; 8] (‒ •; 0] {x * R ‡ 1 ª x ª 5} {x * R ‡ x > 7} 45 Ordne jedem Ausdruck den äquivalenten Ausdruck aus A bis D zu. 1 (‒ 3; 8] A {x * R ‡ ‒7<x<0} 2 (‒ 7; 0) B {x * R ‡ ‒ 3 < x < 8} C {x * R ‡ ‒ 3 < x ª 8} D {x * R ‡ x ª 7} 1.3 Schätzen von Ergebnissen Schätzwerte bei der Addition und Subtraktion 46 Schätze das Ergebnis. Kreuze die passende Schätzung an. a) 12,25 + 20,10 – 80,95 – 100, 23 + 213,88 A 0 B ‒ 50 C 100 D 70 E 20 b) 0,78 + 1,39 + 10,70 – 23,89 + 71,66 – 17,23 A 0 B ‒ 40 C 30 D 40 E 80 Schätzwerte bei der Multiplikation und Division 47 Ordne jedem Ausdruck den äquivalenten Ausdruck aus A bis D zu. a) b) 1 0,65·0,21 A 0,905 1 2 375 : 25 A 25 2 0,45·0,90 B 1,365 2 600 : 24 B 105 C 0,405 C 35 D 0,1365 D 95 1.4 Prozentrechnen 48 Schreibe mit Hilfe von Veränderungsfaktoren an. Beispiel: G wurde um 18 % erhöht. 1,18 · G a) G wurde um 27,4 % vermindert. b) G wurde auf 27,4 % vermindert. c) G wurde um 4,3 % vergrößert. d) G wurde um 4,3 % verkleinert. e) G wurde erst um 2,03 % erhöht und dann um 13 % vermindert. f) G wurde dreimal hintereinander um 5 % reduziert. óAG-R 1.1 M1 14 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
49 Setze den fehlenden Wert in den Lückentext ein. a) Nach einer 12-prozentigen Preiserhöhung kostet ein Elektrogerät 201,60 €. Somit war der ursprüngliche Preis Euro. b) Im Zuge einer 4-prozentigen Anhebung stieg ein Preis um 65,60 €. Somit betrug der Preis ursprünglich Euro. 50 Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweiligen Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Wenn man einen Betrag B (1) , dann multipliziert man B mit (2) . (1) (2) auf 29 % vermindert 1,71 auf 129 % vergrößert 0,71 um 29 % vermindert 12,9 51 In einer Buntstiftfabrik werden monatlich 750 000 Buntstifte produziert. 95 % der Stifte werden im Einzelhandel verkauft, da sie die Qualitätsmerkmale erfüllen. 3 % der Stifte erfüllen die Qualitätsmerkmale nicht (haben z.B. leichte Lackschäden) und werden nach Werksführungen verbilligt verkauft. Der Rest der Buntstifte ist Abfall. a) 1) Berechne, wie viel Prozent der Buntstifte Abfall sind. 2) Ein Stift, der alle Qualitätsmerkmale erfüllt, wird um 0,75 € verkauft, die Stifte mit den leichten Lackschäden um 25 c. Berechne die Einnahmen der Buntstiftfabrik in einem Quartal (= drei Monate). 52 Eine Ware kostet inklusive Mehrwertsteuer 400 €. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Wenn man den Preis der Ware ohne Mehrwertsteuer berechnen will, rechnet man 400 · 2 100 – 20 __ 100 3. B Wird beim Kauf der Ware 20 % Rabatt gewährt, kostet die Ware genau so viel, wie wenn man keine Mehrwertsteuer berechnet. C Die Ware kostet exklusive Mehrwertsteuer etwa 333,33 €. D Wenn man den Preis der Ware ohne Mehrwertsteuer berechnen will, rechnet man 400 · 2 120 – 20 __ 100 3. E Wird beim Kauf der Ware 20 % Rabatt gewährt, kostet die Ware weniger, als wenn man keine Mehrwertsteuer berechnet. AG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M2 óAG-R 1.1 M1 15 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Prozentrechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.5 Gleitkommadarstellung 53 Ergänze die Tabelle. Festkommadarstellung 456,2013 0,00501 12 318,14 normierte Gleitkommadarstellung 1,305 · 10 8 0,072 · 10‒ 5 2,4001 · 10‒ 11 54 Schreib in Festkommadarstellung (ohne Verwendung von Zehnerpotenzen) an. a) 2,3087 · 108 c) 3,560 · 100 b) 0,0045 · 10‒ 3 d) 5,6903 · 104 55 Gegeben sind einige Zahlen: 600; 0,04; 50 ·10‒ 7; 300 000; 0,12 · 10‒ 2; 768; 31 _ 1 000 1) Gib alle Zahlen in normierter Gleitkommadarstellung an. 2) Ordne die Zahlen der Reihe nach von der kleinsten bis zur größten Zahl. 56 Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweiligen Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Zahl (1) kann man auch folgendermaßen anschreiben: (2) . (1) (2) 652 · 103 m 6,52 · 103 mm 6,52 · 106 km 6,52 · 105 mm 6 520 · 105 dm 6,52 · 1010 mm 57 Gib an, womit man 5 nm multiplizieren muss, um 8 μm zu erhalten. 58 Die Menge Wasser in einem See wird auf 387079 hø geschätzt. a) 1) Stelle die Zahl in normierter Gleitkommadarstellung dar. hø 2) Gib die Flüssigkeitsmenge in Milliliter an. mø 1.6 Das binäre Zahlensystem 59 Gib folgende Zahlen statt in binärer Darstellung in Dezimaldarstellung an. a) 101010 b) 1011011 c) 1110111 60 Rechne in die binäre Darstellung um. a) (356)10 b) (202)10 óAG-R 1.1 M1 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M2 ó 16 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 1.1 Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R einsetzen 61 Zwischen Zahlenmengen gibt es bestimmte Beziehungen. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A B C D E Z+ a N g R a Z N a R+ Q+ a Q Z+ a N 62 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A 9 _ 7 _ 2 ist eine rationale Zahl. D 9 _ 5ist eine rationale Zahl. B 9 __ 121ist eine ganze Zahl. E 9 _ 8hat eine endliche Dezimaldarstellung. C 9 ___ 9,5 3˙ ist eine reelle Zahl. 63 Der Preis einer Ware sinkt zuerst um 20 % und wird zwei Monate später um 10 % erhöht. Ermittle, um wie viel Prozent sich der Preis insgesamt verändert hat. % 64 Gegeben ist die Menge {x * R ‡ – 2 < x ª 3}. Ordne ihr das dazugehörige Intervall zu. [1 aus 5] A D B E C 65 Gegeben sind die Mengen A = {‒ 3, ‒ 2, ‒ 1, 0, 1, 2} und B = N. Stelle die Menge A ° B in einem Venn-Diagramm dar. 66 Ordne jeder Beschreibung den passenden Rechenausdruck aus A bis D zu. 1 G wird um 5 % vermindert. A G · 0,9 2 G wird zuerst um 5 % vermehrt und dann um 5 % vermindert. B G · 1,05 · 0,95 C G · 1,05 D G · 0,95 67 Von in etwa neun Millionen Arten sind 2,2 Millionen Meerestiere. Das kleinste Lebewesen im Meer ist 400 Millionstel Millimeter groß. Es ist eine Bakterie. Stelle die im Text vorkommenden Zahlen in normierter Gleitkommadarstellung dar. AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 AG-R 1.1 M1 ó AG-R 1.1 M1 ó óAG-R 1.1 M1 17 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 AG-R 1.1 Teil-2-Aufgaben 68 Mikroskope Es gibt verschiedene Mikroskope. a) Eine 0,43 · 10‒2 mm lange Alge wird im Elekronenmikroskop (Auflösung bis zu 120,5 ·10‒12 m) dargestellt und auf das 104-Fache vergrößert. 1) Ermittle, wie groß die Alge dargestellt wird. Gib diese Größe in normierter Gleitkommadarstellung an. b) Ein Lichtmikroskop mit einer Auflösung von 190,38 Nanometern (nm) kann Gegenstände auf das bis zu 2 ·103-Fache vergrößert darstellen. Eine Kieselalge hat eine Länge von 39,8 Mikrometern (μm). 1) Gib an, wie groß diese Alge unter der oben genannten maximalen Vergrößerung im Lichtmikroskop dargestellt wird. c) Kieselalgen sind Fotosynthese betreibende Pflanzen und werden daher zur Biomasse der Erde gezählt. Die Landpflanzen machen mit einer Masse von 73,7·1014 g ca. 98,7% der Biomasse aus. 1) Argumentiere, dass unter dieser Bedingung die Biomasse nicht ca. 7,5 ·106 Tonnen betragen kann. d) 1) Zahlen in Fachtexten können zu unterschiedlichen Zahlenmengen gehören. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A 190,38 ist eine rationale Zahl. B 106 ist keine natürliche Zahl. C 120,5 · 10‒ 12 ist eine irrationale Zahl. D 39,8 ist weder eine ganze, noch eine reelle Zahl. E 2 · 10³ ist eine natürliche Zahl. 69 Energieverbrauch in Österreich a) Der Erdgasverbrauch wird in Österreich in Milliarden Standardkubikmeter (gemessen bei 15° C und 1,013 mbar) ermittelt. In Österreich wurden im Jahr 2016 um 3,75 % mehr Erdgas als im Jahr 2015 verbraucht und im Jahr 2017 um 9,64 % mehr als im Jahr 2016. Im Jahr 2018 war der Verbrauch um 4,4 % niedriger als im Jahr 2017, im Jahr 2019 war wieder ein Anstieg zu verzeichnen. Der Verbrauch stieg um 2,3 % und belief sich auf 8,9 Milliarden Kubikmeter. 1) Gegeben ist der Ausdruck G ·1,0946. Interpretiere G im gegebenen Kontext. 2) Ermittle, wieviel Milliarden Kubikmeter Erdgas jährlich 2016 in Österreich verbraucht wurden. b) 1) Der Unterschied zwischen zwei Angaben in Prozent wird mit Prozentpunkten bezeichnet. Begründe, welche der beiden Aussagen falsch ist. Aussage A: „Der Erdgasverbrauch sank von 2017 bis 2019 um ca. 0,2 Milliarden Kubikmeter. Das sind ca. zwei Prozent.“ Aussage B: „Der Erdgasverbrauch sank von 2017 bis 2019 um ca. 0,2 Milliarden Kubikmeter. Das sind ca. zwei Prozentpunkte.“ c) In einem Ort stehen drei Energieformen zur Versorgung von Haushalten zur Verfügung: Gas, Holz und Strom. G ist die Menge der Haushalte, die Gas verwendet, H die Menge der Haushalte, die mit Holz und S die Menge jener, die mit Strom versorgt wird. 1) Interpretiere die markierte Fläche im gegebenen Kontext. KM2 M2 G S H 18 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.1 Termbegriff 70 Berechne, wenn möglich, den Wert des gegebenen Terms für die gegebene Belegung. Term Belegung Wert a) T(u) = 9 ____ 5 u – 1 u = 10 b) T(s) = 1 _ s + 7 – 1 _ s – 7 s = 7 c) T(a, b) = a2 + b2 + 1 _ a + b a = 2, b = 3 d) T(r) = 1 _ r + 2 – r – 4 _ r r = 2 71 Gib die Definitionsmengen der Terme an. Die Lösungen sind zur Selbstkontrolle in der Tabelle darunter zu finden. a) T(a) = 9 _____ 2 a4 + a2 e) T(u) = u _ u + 1 b) T(y) = 9_ y f) T(x) = 1 _ 2 – x + 1 __ (x – 1) · (x + 1) c) T(b) = 9 ____ 2b – 4 g) T(x) = 5 ___ (x + 2) · (x – 3) · (x + 4) d) T(x) = 9 ___ x + 8 h) T(x) = 4 __ x · (4 – x) + 5 _ x + 3 R R \ {‒ 4; ‒ 2; 3} [‒ 8; ∞) [0; ∞) [2; ∞] R \ {‒1; 1; 2} R \ {‒ 3; 0; 4} R \ { – 1} 72 Gegeben ist die Formel O = 2 r π h + r π s zur Berechnung des Inhalts der Oberfläche eines Turmes. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A π ist eine Variable. B Jede Variable ist ein Term. C 2 r π h + r π s = 0 ist ein Term. D 2 r π h + r π s ist äquivalent zu r π (2 h + r). E π ist eine Zahl. ó ó M1 AG-B1 ó 2 Terme 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.2 Operieren (Rechnen) mit Termen Vereinfachen von einfachen Termen 73 Vereinfache den Term. a) (x + 3 x + 2) – (x + 2 x – 4) b) 9 x – 3 – [5 x + (2 x + 5) – 6] Rechnen mit Potenzen 74 Vereinfache jeweils mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen. a) x 11 · x5 c) y14 : y3 e) (2 a7)3 · (3a2)2 b) y 5 n + 4 · y2 n – 1 d) (z2 n + 5)4 : (zn – 3)3 f) (x8)5 : x7 75 Terme mit Potenzen können unterschiedlich dargestellt werden. Ordne jedem Term den äquivalenten Term aus A bis D zu. 1 a3 b · a2 b A ab 2 a3 d · a2 B a5 b C a6 b2 D a3 d + 2 76 Ergänze das entsprechende Produkt. · b a – b 5 + b2 a3 5 a b6 a2 n + 3 bn‒ 2 1 – (a b2)5 a3 – a b2 Binomische Formeln 77 Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln. a) (2 x + 9 y)2 b) (‒ 7 a5 – 2 b2)2 c) (‒ x3+ 2 y)2 d) (s6 + 5 t3) · (s6 – 5 t3) 78 Ergänze die fehlenden Einträge. a) (x2 + )2 = + 6 x2y + c) ( – )2= 16a4 – + 9 b6 b) ( – )2 = – 6 a6b3 + a10b2 d) (2 x3 + ) · ( – 5y) = 4x6– 25y2 ó ó ó M1 AG-B2 ó ó ó 20 Terme 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Faktorisieren 79 Faktorisiere den Term vollständig. a) 24 x7y5 – 15x2y6 + 12 xy3 b) 9 x6 – 30x3z2 + 25z4 c) 3 a4b4 + 36a3b5 + 108a2b6 80 Ein Term wurde fehlerhaft faktorisiert. Korrigiere die Fehler. 15 x3 y3 z3 + 5 x2 y2 z2 – 10 x4 y4 z4 = 10 x2 y z3 (1,5 x y + 0,5 y z2 – x2 y2 z) 81 Gegeben sind die Terme T1 und T2. T1 (t) = t2 – 6 t + 9 __ t – 3 und T2 (t) = t – 3 1) Zeige, dass die beiden Terme T1 und T2 ineinander übergeführt werden können. 2) Begründe, dass die beiden Terme nicht äquivalent sind. 2.3 Aufstellen und Interpretieren von Termen Aufstellen von Termen 82 Stelle den passenden Term auf. a) Das um 3 vermehrte Doppelte von b b) Das um 7 verminderte Quadrat der Hälfte von u c) Das Quadrat der um 7 verminderten Hälfte von u d) Das um 12,8 % verminderte Dreifache von z e) Das auf 4,12 % reduzierte Quadrat von y Interpretieren von Termen 83 Gib eine Interpretation für den gegebenen Term an. Kontext Interpretation 1) Ein rechteckiges Feld mit Länge l und Breite b (in Meter) wird eingezäunt. Ein Meter Zaun kostet p Euro. 2 · (l + b) · p bezeichnet 2) Von den Endpunkten einer s km langen Strecke fahren PKWs A und B mit konstanten Geschwindigkeiten vA km/h bzw. vB km/h einander entgegen. 2 · v A bedeutet s _ v B bedeutet s _ v A + vB bedeutet 3) Eine m Jahre alte Mutter hat eine t Jahre alte Tochter und einen s Jahre alten Sohn. | s – t | bedeutet m – t bedeutet ó ó ó 21 Terme > Aufstellen und Interpretieren von Termen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Terme, […] AG-R 2.1 Einfache Terme und Fomerln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können 84 Gegeben ist die Flächenformel O = r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Verkehrshütchens (Kegelstumpf). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A π ist eine Variable. B Jede Variable ist ein Term. C r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s ist ein Term. D r1 2 π + r 2 2 π + (r 1 + r2) π s ist äquivalent zu r1 2 π + r 2 2 π + r 1 π + r2 π s. E Jeder Term ist eine Variable. 85 Ordne jedem Term einen äquivalenten Term aus A bis D zu. 1 12 x9 – 12 x7 y3 + 3 x5 y6 A (x + 5) · (3 x3 – 15 x2) 2 (2 x – y3)2 B 27 x15 y21 C 4 x2 – 4 x y³ + y6 D 3 x5 · (2 x2 – y3)2 86 Eine Kerze ist um 7 Uhr h cm hoch. Sie brennt gleichmäßig ab, mit einem stündlichen Höhenverlust von d cm. Interpretiere den Term h – 3 · d. 87 Zwei Arbeiter A und B sollen einen Sandhaufen von x kg abtragen. A schafft pro Stunde a kg, B bringt es auf b kg stündlich. Interpretiere den Term x _ a + b . 88 Die nachstehenden Angaben beziehen sich auf Unfälle im Haushalt im Zeitraum von 2018 bis 2020. A ist die Anzahl der Unfälle im Haushalt im Jahr 2018, davon a % mit verletzten Kindern. B ist die Anzahl der Unfälle im Haushalt im Jahr 2019, davon b % mit verletzten Kindern. C ist die Anzahl der Unfälle im Haushalt im Jahr 2020, davon c % mit verletzten Kindern. Gib einen Term für die Gesamtanzahl G1 der Unfälle im Haushalt mit verletzten Kindern im Jahr 2019 an. G1 = M1 AG-R 1.2 ó M1 AG-R 1.2 ó M1 AG-R 2.1 ó M1 AG-R 2.1 ó M1 AG-R 2.1 ó 22 2 Terme > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 1.2 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 Teil-2-Aufgaben 89 Gartengestaltung Frau Mock ist begeisterte Gärtnerin. a) In ihrem 108 m2 großen Garten hat sie vier quadratische Hochbeete mit jeweils a2 m2 Flächeninhalt, ein großes rundes Blumenbeet mit einem Durchmesser von drei Metern und ein quadratisches Gewächshaus mit einer Seitenlänge von x Metern. Der restliche Garten ist eine Grünfläche. 1) Gib einen Term an, mit welchem man den Flächeninhalt der Grünfläche ermitteln kann. b) Frau Mock baut ein weiteres quaderförmiges Hochbeet mit einer Länge von a, einer Breite von b und einer Höhe von c Metern. Dieses soll zu 80 % mit Erde befüllt werden. 1) Gib einen Term an, mit dem man die benötigte Füllmenge (in m3) berechnen kann. c) Frau Mock will die Grundfläche ihres quadratischen Gewächshauses verdreifachen. Dazu plant sie, beide Seitenwände auf die dreifache Länge zu vergrößern. 1) Argumentiere, dass diese Maßnahme nicht zu dem gewünschten Ergebnis führt und zeige das mithilfe einer Berechnung. d) Eine neue Terrasse ist geplant. Diese wird A m2 groß und soll mit quadratischen Steinplatten mit der Kantenlänge x (in Meter) gepflastert werden. Nun gibt es nur noch Platten mit einer um 15 % größeren Kantenlänge. 1) Gib einen Term an, mit dem die Anzahl der größeren Platten berechnet werden kann, die man für diese Terrasse benötigt. 90 Gerader Pyramidenstumpf Die Zeichnung zeigt einen geraden Pyramidenstumpf, die Formel zur Berechnung des Volumens ist gegeben durch V = 1 _ 3 h (a2 b2 + 9 ______ a2 b2 · a1 b1 + a1 b1) a) 1) Gib an, welche der folgenden Aussagen im Zusammenhang mit der gegebenen Formel zutreffend sind. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Jede Variable ist ein Term. B V = 1 _ 3 h (a2 b2 + 9 ______ a2 b2 · a1 b1 + a1 b1) ist ein Term. C Der Wert von a1 b1 stimmt mit dem Wert von a2 b2 überein. D 1 _ 3 ist kein Term. E Jede Zahl ist ein Term. b) 1) Wie groß ist das neue Volumen, wenn die Höhe um 20 % vermindert wird? Kreuze die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] A B C D E V · 0,8 V · 0,2 V · 1,2 V · 0,02 V _ 1,2 c) Für einen Pyramidenstumpf gilt: a1 = b1 = a2 = b2 = h. 1) Zeige, dass für diesen Körper dann V = a3 gilt. 2) Gib an, um welchen Körper es sich in diesem Fall handelt. M2K M2 Deckfläche h ha a2 a1 b1 b2 hb Grundfläche 23 Terme > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.1 Gleichungen Gleichungen, Grundmenge, Definitionsmenge 91 Kreuze die Zahlen an, die Lösungen der Gleichung sind. Wenn die Ergebnisse korrekt und vollständig sind, erkennst du den 11. Buchstaben des Alphabets. a) 3 x + 7 = ‒ 2 ‒ 6 _ 2 ‒ 0,5 ‒ 1 3 ‒ 3 ‒ 5 _ 3 b) 1,5 t – 6 = 0 4 0 ‒ 4 12 _ 3 2 1 _ 4 c) 18 = 2 w – 9 27 _ 2 18 _ 6 13,5 0 2 _ 8 18 d) 4 x = 2 x + 17 8,5 34 _ 4 17 _ 2 8 ‒ 8,5 3 e) z + 0,6 = ‒ 4 _ 10 ‒ 1 1 6 _ 5 ‒ 5 _ 5 3 ‒ 6 _ 5 f) 4 d + 3 = 2 d + 11 4 11 _ 3 2 3 12 _ 3 ‒ 8 _ 2 92 Ordne jeder Gleichung die passende Definitionsmenge aus A bis D zu. 1 13 _ x = 5 A {x * R ‡ x ≠ 5} 2 9 __ 3 x = 21 B {x * R ‡ x ≠ 0} C {x * R ‡ x ≠ 9} D {x * R ‡ x º 0} Gleichungen lösen – Äquivalenzumformungen 93 Gegeben ist die Gleichung a) 2 _ 3 x – 1 _ 2 = 1,5 b) 0,5 x – 2 = 3 x _ 2 . Führe die Äquivalenzumformungen nacheinander aus und vergleiche dein Endergebnis mit der unten stehenden Gleichung. a) b) Multipliziere mit 6. Addiere 2. Subtrahiere x. Multipliziere mit 2. Dividiere durch 4. Subtrahiere 33. Dividiere durch 2. Das Endergebnis lautet: a) 3 x _ 4 – 67 _ 4 = – x _ 4 – 55 _ 4 b) x _ 2 – 19 = 2 x – 16 ó óAG-R 1.2 M1 ó 3 Gleichungen und Formeln 24 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
94 Löse die Gleichung. Die Summe der Ergebnisse ist ‒15,3. a) 5(5x + 9) = 3x + 2(x +1)10 x = b) 6 x (3 + 2) = 12 x + x + 14 x _ 2 + 10 x = c) 2 x2 + 19 = x (x + 4) – 9 x + x2 x = 95 Ordne die Gleichungen den äquivalenten Gleichungen aus A bis D zu. 1 7x+0,75=3 _ 4 A 4 x : 2 = 81 _ 27 · 2 2 x – 2 x = 5 B 2,5 + 3 x = 130 _ 52 C 0 = x – 2 D 16 x – 10 = 18 x Lösungsfälle bei Gleichungen 96 Gegeben ist die Gleichung 7x + 3 = 4 x + c. Setze für c einen Term ein, sodass die Gleichung die gegebene Anzahl von Lösungen besitzt. Kreuze die beiden möglichen Terme an. a) eine Lösung A 9 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 3 x D 3 x + 3 E 0 b) unendlich viele Lösungen A 27 + 27 x __ 9 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 0 D 3 x + 3 E 9 c) keine Lösung A 0 B (‒ 1) · (‒ 3 x + 3) C 9 D 3 x + 3 E 3 x 3.2 Formeln Umformen von Formeln 97 Forme die Formel nach der (den) angegebenen Variablen um. a) O = 4 r2 π r = b) V = G · h _ 3 G = h = c) h2 = p · q p = q = h = d) M = a · ha + b · hb ha = b = a = 98 Forme die Formel nach den angegebenen Variablen um. a) P = (a x – b x)2 __ 6 a = b = x = b) 1 _ f = 1 _ a + 1 _ b b = a = f = c) O = 2 (a b + a c + b c) b = a = c = ó AG-R 2.1 M1 ó ó 25 Gleichungen und Formeln > Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
99 Gegeben ist die Formel a = (b + c) · d __ e · f . Kreuze die beiden richtigen Umformungen an. [2 aus 5] A a · e · f = (b + c) · d C e · f = (b + c) · d __ a E a · f = (b + c) · d __ e d B d = (b + c) · a __ e · f D f = (b + c) · d e __ a 100 Die Flagge der Dominikanischen Republik besteht aus einem Rechteck, welches in vier kleinere Rechtecke (zwei blaue und zwei rote) unterteilt ist. Diese Vierecke sind durch ein weißes Kreuz voneinander getrennt (siehe Abbildung). Das Kreuz ist c cm breit, die kleineren Rechtecke sind g cm breit und j cm lang. Dadurch ergibt sich die Formel für den Flächeninhalt des Kreuzes A = 2 c g + c2 + 2 c j. Forme die Formel nach g und j um. g = j = Aufstellen von Formeln 101 Ein Pizzabäcker erklärt die Preise für seine Pizzen so: „Ich berechne einem Kunden für eine Pizza Margaritha (= Pizzateig, Tomatensauce, Käse) a €. Jede weitere Zutat kostet b € mehr, Kinder zahlen vom Gesamtpreis G nur 60 %.“ Kreuze an, welche beiden Formeln den Preis einer Kinderpizza ausdrücken, x ist dabei die Anzahl der weiteren Zutaten. [2 aus 5] A G = (a · x + b) · 0,6 C G = 0,6 a + 0,6 b x E G = 0,4 (a + b x) B G = 0,6 (a + b x) D G = 0,6 a + 0,6 b + 0,6 x 102 In einem Wald sind 15 % der b Bäume, 20 % der s Sträucher und 30 % der k krautigen Pflanzen geschädigt. Kreuze die Formel an, die angibt, wie viele Pflanzen geschädigt sind. [1 aus 5] A 0,85b + 0,8s + 0,7k C 15 b + 20 s + 30 k E 0,15 b + 0,2 s + 0,3 k B 0,15b + 0,8s + 0,7k D 85 b + 80 s + 70 k 103 Eine Firma produziert drei Arten von Kupferrohren. Jährlich werden s1 Stück von der Sorte A, s2 Stück von der Sorte B und s3 Stück von der Sorte C produziert. Der Stückpreis beträgt a € bei der Sorte A, bei der Sorte B ist der Stückpreis doppelt so hoch wie bei Sorte A. Die Sorte C kostet nur halb so viel wie die Sorte A. Ordne den Aussagen die passende Formel aus A bis D zu. 1 Anzahl aller produzierten Kupferrohre A F = a _ 2 2 Stückpreis der Sorte C B F = s1 + s2 + s3 C F = 2 a D F = s1 · a + s2 · 2 a + s3 · 0,5 a 104 Daniela hat sich eine quaderförmige Holzkiste mit den Seitenlängen a cm und b cm und der Höhe h cm gekauft. Diese möchte sie nun bunt bemalen. Die Kiste ist oben offen. Jede Fläche soll innen und außen farbig gestrichen werden, der Boden der Kiste bleibt allerdings außen unbehandelt. Stelle eine Formel mit den Variablen a, b und h für die Berechnung der zu bemalenden Fläche auf. A = AG-R 1.2 M1 ó óAG-R 2.1 M1 óAG-R 2.1 M1 óAG-R 2.1 M1 AG-R 2.1 M1 ó 26 Gleichungen und Formeln 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variablen, Terme, Formeln, Gleichungen, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können 105 Gegeben ist die Gleichung 5 a x – 4 · (2 + a) = b x mit a = 2,5. Bestimme den Wert für b so, dass die Gleichung keine Lösung besitzt. b = 106 Gegeben ist die Gleichung x _ 4 – 2 = 3 in x * R. Kreuze die beiden nachstehenden Gleichungen in x * R an, die zur gegebenen Gleichung äquivalent sind. [2 aus 5] A B C D E x _ 2 – 4 = 3 x – 8 _ 4 = 3 x _ 2 = 10 x _ 4 + 3 = 2 x – 2 _ 4 = 3 107 Gesucht ist der Flächeninhalt A der gegebenen Figur ABCD. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A A = (a + d)2 D A = 2 (a d + b c) B A = (x + y) · f __ 2 E A = x · 0,5 f + y · 0,5 f C A = x · 0,5 f + y · 0,5 c 108 Ordne jeder Gleichung eine äquivalente Gleichung aus A bis D zu. 1 0,125 x = 5 A x = 10 2 8 x _ 4 = 80 _ 2 B 0,1 x = 4 C 0,2 x = 80 D 2 x = 40 109 Gegeben ist die Gleichung f = (a + b) · c __ d – e . Forme die Gleichung nach b um. b = 110 Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Dammes. Stelle mit den gegebenen Längenmaßen und den Variablen h und x eine Formel zur Berechnung der Länge l auf. l = óAG-R 1.2 M1 AG-R 1.2 M1 ó AG-R 2.1 M1 B C x y D a d b c A f ó AG-R 1.2 M1 ó AG-R 1.2 M1 ó 15 m l 60 m 8 m x h óAG-R 2.1 M1 27 Gleichungen und Formeln > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R 2.1 AG-R AG-R AG-R AG-R Teil-2-Aufgaben 111 Wohnungsmiete Ein Immobilienmakler vermietet in einer Apartmentanlage Büros. a) Die Miete für ein Büro beträgt m €. Der Betrag wird auf drei Mieterinnen aufgeteilt: Mieterin B zahlt 15 % weniger als Mieterin A und Mieterin C zahlt 120 € weniger als Mieterin B. Mieterin A zahlt x € Miete. 1) Stelle eine Formel in Abhängigkeit von x auf, um die Miete m für das Büro zu ermitteln. m = Ein neues Gesetz reduziert die momentane Miete von 1 230 € auf 1 050 €. 2) Berechne, um wieviel Prozent die Miete reduziert wurde. b) Für ein anderes Büro zahlen vier Mieter 3460 €. Die Miete von Mieter P (in €) kann mit der Formel 3460 = 1 _ 4 x + x _ 16 + 3 3 _ 4 + 5,9375 x ermittelt werden. 1) Berechne die Miete. c) 1) Forme die Formel M = x + 0,5 x – 120 nach x um. x = 112 Wärmekapazität Die spezifische Wärmekapazität c gibt an, wie viel Energie man benötigt, um 1 kg eines Stoffes um 1 °C zu erwärmen. Sie wird in kJ/(kg · K) gemessen. Wenn man die spezifische Wärmekapazität (c) und die Masse eines Stoffes (m) in Kilogramm, sowie die benötigten Temperaturen in Grad Celsius (C) oder Kelvin (K) kennt, kann man berechnen, welche Wärmemenge (Q) in KiloJoule (kJ, Einheit der Wärmemenge) notwendig ist, um einen bestimmten Stoff zu erwärmen. Dazu verwendet man in der Physik die Formel: Q = c · m · ΔT. Dabei ist ΔT die Differenz zwischen T1 (Anfangstemperatur) und T2 (Endtemperatur), also T2 – T1. Da nur mit Temperaturdifferenzen gearbeitet wird, ist es egal, ob man in Celsius oder Kelvin rechnet. Spezifische Wärmekapazitäten verschiedener Stoffe Stoff c in kJ/(kg · K) Stoff c in kJ/(kg · K) Stoff c in kJ/(kg · K) Wasser 4,19 Kupfer 0,38 Porzellan 0,84 Luft 1,05 Aluminium 0,896 Edelstahl 0,5 Eisen 0,452 Asphalt 0,92 Sand 0,835 a) 1) Kreuze an, welche beiden Umformungen der Formel korrekt sind. [2 aus 5] korrekt A B C D E Formel Q _ m · ∆T = c Q _ m · c + T1 = T2 T1 _ m · c = Q – T2 ∆T _ c · Q = m Q __ c · (T1 – T2) = m b) 1) Ermittle die Wärmemenge, die man benötigt, um 150 l Wasser von 14 °C auf 38 °C zu erwärmen. 2) Bestimme, um wie viel Grad Celsius sich 4,8 kg Sand erwärmt haben, wenn die zugeführte Wärmemenge 70 kJ beträgt. c) Ein quaderförmiger Körper (m = 2 976 dag) wird durch eine Energiezufuhr von 350 kJ von ‒ 3 °C auf 11 °C erwärmt. 1) Gib an, um welchen Stoff es sich deiner Meinung nach handelt und begründe deine Aussage. KM2 AG-R 1.2 M2 1.2 2.1 2.1 2.1 28 Gleichungen und Formeln 3 Gleichungen und Formeln > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4.1 Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen mit einer Variablen 113 Löse die Gleichung und mache die Probe. a) 3(7x–5)–50=15x+3 b) 2 x – 5 (5 x + 4 + x) = 36 114 Löse die Gleichungen und trage die Buchstaben in die passenden Spalten ein. Du erhältst ein Lösungswort. 1) 15 – 3 _ 4 x = 1 _ 2 x – 5 RA 5) (7m + 3)(7m – 3) = (7m – 3) 2 FT 2) 8 x – x _ 4 = 31 B 6) 10 b (b – 3) = (5 b + 4) (2 b + 2) R 3) 1 _ 2 x · 2 _ 7 = 2 K 7) (k + 21) (k + 2) = k 2 + 3 k + 40 K 4) 0,6 x – 0,4 x = 20 E 8) 12 v (3 v + 8) – 10 v = (6 v + 3)2 + 41 LE 14 16 3 _ 7 ‒ 0,1 1 4 100 ‒ 1 _ 6 115 Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweiligen Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Die lineare Gleichung (1) ist äquivalent zur Gleichung (2) . (1) (2) 4 x + 5 (x – 3) = 5 2 x = 13 3 x – 2 (x – 7) + x = 1 9 x = 20 18 + 8 x = 9 (x – 1,5) 63 x = 2 ó ó AG-R 1.2 M1 ó 4 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme 29 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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