Mathematik Oberstufe Lösungswege Freiler | Marsik | Olf Steininger | Wittberger Arbeitsheft 8
Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 185173 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 24. Mai 2017, BMB GZ 5.018/0140-IT/3/2016, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 4. November 2024, BMBWF-GZ: 2024-0.458.766 teilt das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft, kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Altrendo Images / Shutterstock; DashikiPo_Art / Shutterstock Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz Herstellung: Raphael Hamann, Wien; Oleksandra Toropenko, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: hs Druck GmbH, Hohenzell ISBN 978-3-209-11500-3 (Lösungswege OS AH 8 + E-Book) ISBN 978-3-209-13055-6 (Lösungswege OS AH 8 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Mathematik Oberstufe Lösungswege 8 Arbeitsheft Philipp Freiler Julia Marsik Markus Olf Jürgen Steininger Markus Wittberger Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt Integralrechnung Stammfunktionen 4 1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 4 1.2 Stammfunktionen graphisch ermitteln 7 1.3 Weitere Integrationsregeln 8 Teil-1-Aufgaben 9 Teil-2-Aufgaben 10 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 11 2.1 Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral 11 2.2 Produktsummen und das bestimmte Integral 14 2.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 15 2.4 Berechnung von Flächeninhalten 17 Teil-1-Aufgaben 21 Teil-2-Aufgaben 22 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 23 3.1 Volumenberechnungen 23 3.2 Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung 24 3.3 Naturwissenschaftliche Anwendungen 26 3.4 Anwendungen aus der Wirtschaft 28 Teil-1-Aufgaben 29 Teil-2-Aufgaben 30 Dynamische Systeme Dynamische Systeme 31 4.1 Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 31 4.2 Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 34 4.3 Wirkungsdiagramme und Flussdiagramme 37 Teil-2-ähnliche-Aufgaben 39 Stetige Wahrscheinlichkeitsver- teilung und beurteilende Statistik Stetige Zufallsvariablen 40 5.1 Dichte- und Verteilungsfunktionen 40 5.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 42 Teil-2-ähnliche-Aufgaben 43 Normalverteilte Zufalls- variablen 44 6.1 Die Normalverteilung 44 6.2 Die Standard-Normalverteilung 47 6.3 Bestimmung von Parametern der Normalverteilung 49 6.4 Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 50 Teil-1-Aufgaben 52 Teil-2-Aufgaben 53 Schließende und beurteilende Statistik 55 7.1 Schließende Statistik 55 7.2 Beurteilende Statistik 58 Teil-2-ähnliche-Aufgaben 59 Maturavorbereitung Probematura 1 61 Teil 1 61 Teil 2 70 Probematura 2 74 Teil 1 74 Teil 2 83 Anhang Lösungen 87 Bildnachweis 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 8. Es bietet vielfältige Aufgaben, die zwei Ziele bedienen: • das vertiefte Festigen von Grundkompetenzen • das gezielte Einüben von Matura-Aufgabenformaten Aufgabe mit einfachem Komplexitätsgrad Aufgabe mit mittlerem Komplexitätsgrad Aufgabe mit hohem Komplexitätsgrad Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schriftliche Reifeprüfung Aufgaben, die in der QuickMedia App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schriftliche Reifeprüfung kontextreduzierte Teil-2-Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 » > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 » M1 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 4 6 5 7 6 » M1 M2K M2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Stammfunktionen 1 Kreuze die beiden möglichen Stammfunktionen der Funktion f mit f(x) = 3 · x3 – 5 · x an. [2 aus 5] A F(x) = 3 · x 4 _ 4 – 5 · x2 _ 2 + 3 B F(x) = 0,75 · x4 + 2,5 · x2 + 1 C F(x) = 3 · x 4 _ 4 – 5 · x2 _ 2 + π D F(x) = 7,5 · x4 + 2,5 · x2 E F(x) = 3 · x 3 _ 4 – 5 · x2 _ 2 2 Gegeben sind die Funktionen a bis i. Kreuze die sechs sicher zutreffenden Aussagen an. a(x) = 2 · x – 3 b(x) = 4 · cos(x) c(x) = 12· ex d(x) = 2 e(x) = x2 – 3 · x + 5 f(x) = 4 · sin(x) g(x) = 12· ex h(x) = 24· ex i(x) = 0 A Die Funktion a ist eine Stammfunktion von d. B Die Funktion e ist eine Stammfunktion von a. C Die Funktion c ist die Ableitungsfunktion von g. D Die Funktion g ist die Ableitungsfunktion von c. E Die Funktion h ist eine Stammfunktion von c. F Die Funktion b ist eine Stammfunktion von f. G Die Funktion d ist eine Stammfunktion von i. H Die Funktion a ist die Ableitungsfunktion von e. I Die Funktion a ist eine Stammfunktion von i. 3 Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Eine Stammfunktion von f mit (1) ist F mit (2) . (1) (2) f(x) = 2 · x 2 +7·x–1 __ 4 F(x) = 1 _ 24 · (4· x 3+ 23· x2 – 6 · x) f(x) = 0,5 · x2 +7·x–1 F(x) = 1 _ 24 · (2· x 3– 3· x2 + 42 · x) f(x) = 1 _ 4 · (x 2 – x + 7) F(x) = x3 _ 6 + 3,5· x 2 – 2 · x AN-R 4.1 M1 M1 AN-R 4.2 1 Stammfunktionen 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Das unbestimmte Integral 4 Berechne das Integral. a) : x 0 dx = e) : x 239 _ 417 dx = b) : x π dx = f) : x ‒ 0,761 dx = c) : x 1 000 000 dx = g) : x n + 2 dx = (n * ℝ, n > ‒ 2) d) : x ‒ 3 dx = h) : x n – 3 dx = (n * ℝ, n > 3) 5 Gib eine Stammfunktion von f an. a) f(x) = k; k * ℝ c) f(x) = π e) f(x) = 1,2 x b) f(x) = s + t; s, t * ℚ d) f(x) = 3 x f) f(x) = 2 5 _ 8 3 x Weitere Integrationsregeln 6 Ermittle eine mögliche Stammfunktion von f. a) f(x) = x3 + 2 · x2 – 5 · x + 7 b) f(x) = 5 · x7 + 3 · x4 – 2 · x c) f(x) = 0 7 Im Spiel „Memory“ gehören immer zwei Felder zusammen. In der Tabelle unten zeigt immer ein Feld eine Funktion und das dazugehörige Feld eine zu der Funktion passende Stammfunktion. Es gibt neun Paare, zwei Felder bleiben übrig. Finde die zusammengehörenden Paare. A E I M Q a(x) = 2 _ 5 · x e(x) = 1 _ 2 · cos(2 · x) i(x) = ‒ 0,5 · cos(2 · x) m(x) = 2 _ 3 · x q(x) = cos(2 · x) B F J N R b(x) = sin(2 · x) f(x) = 2 _ 3 ln(x) j(x) = e 2 · x n(x) = 2 _ 5 ln(5 · x) r(x) = 8 · e 2 · x C G K O S c(x) = 1 _ 2 · sin(2 · x) g(x) = 2 x k(x) = 2 _ 5 ln(x) o(x) = 2x _ ln(2) s(x) = ‒ sin(2 · x) D H L P T d(x) = 4 e2 · x h(x) = 0,4 · sin(5 · x) l(x) = 2,5 · sin(5 · x) p(x) = 0,5 · e2 · x t(x) = 2 · cos(5 · x) 5 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Ermittle drei mögliche Stammfunktionen von f. f(x) = 7·xm – 5 · xn – 3 + 2 · xj + 1 + p (m, n, j, p * ℕ, n º 3) 9 Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 5 · xn + 3 – 4 · xn und g mit g(x) = 2 · xn + 3 + xn (n * ℝ+). Überprüfe anhand der obigen Funktionen, dass gilt: : (f(x) – g(x))dx = : f(x)dx – : g(x) dx Auffinden einer speziellen Stammfunktion 10 Von einer Polynomfunktion f dritten Grades kennt man die erste Ableitung mit f’(x) = 3 · x2 – 27. Der Graph der Funktion schneidet die waagrechte Achse an der Stelle 3. Ermittle die Funktionsgleichung von f. f(x) = 11 Die erste Ableitung einer Funktion f dritten Grades lautet f’(x) = 0,375 · (x2 – 10 · x + 21). Der Graph der Funktion geht durch den Punkt P = (5 1 2). Gib die Funktionsgleichung von f an. f(x) = 12 Für die Geschwindigkeit v (in m/s) eines Rennwagens zum Zeitpunkt t gilt v(t) = 8 · t (t * [0; 8]). 1) Ermittle eine Stammfunktion s1 von v und interpretiere diese im gegebenen Sachzusammenhang. 2) Ermittle jene Stammfunktion s von v mit der Eigenschaft s(2) = 18. 3) Berechne die absolute Änderung von s in [1; 5] und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang. 13 Die momentane Änderungsrate A’ der Anzahl der Bakterien in einer Probe zum Zeitpunkt t (in Stunden) ist durch A’(t) = 17,325 · e0,3465 · t gegeben. 1) Ermittle eine Stammfunktion von A’. A(t) = 2) Ermittle die Stammfunktion A in der Form A(t) = a · bt (a, b * ℝ) (A(0) = a). A(t) = 3) Interpretiere die Werte der Parameter a und b im gegebenen Sachzusammenhang. 4) Berechne die absolute Änderung von A im Intervall [1; 5] und interpretiere dein Ergebnis. 6 Stammfunktionen 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Stammfunktionen graphisch ermitteln 14 Gegeben sind die Graphen der Funktionen f1 bis f6. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] f1 f2 x f1(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f1 x f2(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f2 f3 f4 x f3(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f3 x f4(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f4 f5 f6 x f5(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f5 x f6(x) 2 4 –4 –2 2 4 6 8 0 f6 A Die Graphen von f3 und f6 sind die Graphen zweier Stammfunktionen von f2. B Der Graph von f5 ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion von f3. C Die Graphen von f3 und f6 sind die Graphen zweier Stammfunktionen von f4. D Der Graph von f5 ist der Graph der zweiten Ableitung von f6. E Der Graph von f2 ist der Graph der ersten Ableitung von f1 und f4. M1 AN-R 3.2 7 Stammfunktionen > Stammfunktionen graphisch ermitteln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Gegeben ist in nebenstehender Abbildung der Graph einer Funktion f dritten Grades. Kreuze jene beiden Graphen an, die eine Stammfunktion F von f darstellen können. [2 aus 5] A B C D E x F(x) 2 4 –4 –2 2 4 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16 0 F x F(x) 2 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 F x F(x) 2 –2 2 4 6 8 –12 –10 –8 –6 –4 0 F x F(x) 2 4 6 –4 2 4 6 –10 –8 –6 –4 –2 0 F x F(x) 2 4 –4 2 4 6 8 10 12 –4 –2 0 F 16 Gegeben ist in nachstehender Abbildung der Graph einer quadratischen Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A F ist eine Polynomfunktion dritten Grades. B F besitzt an der Stelle 5 eine lokale Extremstelle. C F ist in [4; 6] streng monoton steigend. D F besitzt keine Wendestelle. E F ist in [2; 4] positiv gekrümmt. 1.3 Weitere Integrationsregeln Substitutionsmethode 17 Berechne das Integral und vervollständige die Lücken. Der Term in der Klammer soll durch u ersetzt werden. a) : (2 · x – 4)11 dx = u = u’ = dx = b) : (5 · x – 1)3 dx = u = u’ = dx = c) : 1 __ (4 · x – 5)2 dx = u = u’ = dx = Partielle Integration 18 Gegeben ist das Integral : x · ex dx. Berechne das Integral durch Anwendung der partiellen Integration. Gib an, welche Zuordnung ungünstig ist und begründe deine Entscheidung. 1) Wähle folgende Zuordnung: f(x) = x, g(x) = ex 2) Wähle folgende Zuordnung: f(x) = e x, g(x) = x M1 AN-R 3.2 x f(x) 2 4 –4 2 4 6 –10 –8 –6 –4 –2 0 f M1 AN-R 3.2 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 0 f 8 1 Stammfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 Den Begriff „Ableitungsfunktion und Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 4.2 Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, ∫ k · f(x) dx, ∫ f(k · x) dx […] 19 Gegeben sind die Funktionen F, f und G. Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Wenn die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist, dann gilt (1) , wenn außerdem (2) gilt, dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f. (1) (2) F(x) = f(x) G’(x) = F’(x) = f(x) F(x) = f’(x) G(x) = F(x) = f’(x) F’(x) = f(x) G’(x) = F(x) = f’(x) 20 In nachstehender Abbildung ist der Graph einer Funktion f gegeben. Skizziere die Graphen zweier Stammfunktionen von f. a) b) 21 In nachstehender Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades gegeben. F ist eine Stammfunktion von f. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A F besitzt genau drei Extremstellen. B F besitzt in (0; 1) eine Extremstelle. C F ist in [3; 6] streng monoton steigend. D F besitzt in (0; 1) und in (2; 3) eine Wendestelle. E F besitzt an der Stelle 4 eine globale Minimumstelle. 22 Kreuze die beiden möglichen Stammfunktionen der Funktion f mit f(x) = 2 · x3 – 4 · x an. [2 aus 5] A F(x) = 2 · x 4 _ 4 – 4 · x2 _ 2 + q, q * ℚ D F(x) = 2 · x4 – 0,5 · x2 – 7 B F(x) = 0,5 · x4 + 2 · x2 + 3 E F(x) = 0,5 · x4 + 2 · x2 + 9,2 C F(x) = 2 · x 4 _ 4 – 4 · x2 _ 2 + 7 M1 AN-R 3.1 M1 AN-R 3.2 x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x y 2 4 –4 –2 2 4 6 0 f M1 AN-R 3.2 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 f M1 AN-R 4.2 9 Stammfunktionen > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AN-R 4.2 AG-R 2.1 AN-R 4.2 AG-R 2.2 AN-R 4.2 FA-R 5.2 FA-R 5.2 AN-R 3.1 Teil-2-Aufgaben 23 Hygrostatischer Druck a) Der Druck p beim Tauchen wird hydrostatischer Druck genannt. Seine momentane Zunahme pro Meter Wassertiefe T ist der konstante Wert ρ · g, wobei ρ die Dichte des Wassers und g die Erdbeschleunigung bedeutet. Der Druck an der Wasseroberfläche (T = 0) wird mit p0 bezeichnet. 1) Kreuze die beiden sicher zutreffenden Ausdrücke an, die den Druck p in Abhängigkeit von der Wassertiefe T sicher beschreiben. [2 aus 5] A : ρ · T · d · g D ρ · g · T + p0 B p0 · T + ρ · g E : g · T · d · T + p0 C : ρ · g · d · T b) Im Gegensatz zum Druck nimmt das Volumen eines Gases mit steigender Wassertiefe ab. So kann etwa die momentane Abnahme des Luftvolumens in der Lunge (in Liter pro Meter) bei der Tiefe T (in Meter) durch die Funktion A mit A(T) = ‒ 2,5 _ T2 beschrieben werden. 1) Forme die Funktionsgleichung A(T) = ‒ 2,5 _ T2 nach T um. T = 2) Ermittle die Funktionsgleichung für eine Funktion V, die das Volumen in Abhängigkeit von der Tiefe beschreibt. 3) Gegeben ist die lineare Gleichung V ·T = 2,5, mit welcher man das Volumen in Abhängigkeit von der Tiefe beschreiben kann. Berechne, um wie viel das Volumen abnimmt, wenn man von vier Meter auf zwölf Meter abtaucht, ohne ein- oder auszuatmen. 24 Italienischer Espresso a) Ein italienischer Espresso soll beim Servieren 92 °C haben. In einem Café in Rom hat es an einem Frühlingstag 17°C. Die momentane Temperaturänderung des Espressos pro Minute lässt sich durch die Funktion f mit f(t) = ‒ 30 · e‒ 0,4 · t beschreiben. 1) Ermittle jene Funktion T(t), die die Temperatur des Kaffees zum Zeitpunkt t angibt. b) Die Temperatur eines anderen Kaffees wird durch die Funktion K mit K(t) = b + 75 · e‒ 0,4 · t angegeben (b * ℕ). 1) Ermittle K(0). K(0) = 2) Interpretiere K(0) im Kontext. c) Gegeben sind zwei auf [a; b] stetige Funktionen k und t. Es gilt der Zusammenhang k(x) = t’(x). 1) Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A k ist eine Stammfunktion von t. B t ist Ableitungsfunktion von k. C t + c ist Ableitungsfunktion k + c (c * ℝ). D t ist eine Stammfunktion von k. E k ist Ableitungsfunktion t. KM2 M2 10 Stammfunktionen 1 Stammfunktionen > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.1 Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Ober- und Untersummen 25 Führe die einzelnen Schritte a) bis d) durch und ergänze die Lücken bei b) und c) mit den korrekten Ergebnissen aus der ganz unten stehenden Tabelle. Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f(x) = 3 _ 10 · (‒ x 2 + 8 · x) im Intervall [0; 8]. a) Stelle die Obersumme O n bzw. die Untersumme U n von f im Intervall [0; 8] in der jeweiligen Abbildung graphisch dar. 1) O2 2) O4 3) U8 b) Berechne die gesuchten Funktionswerte: f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) = f(7) = f(8) = c) Berechne die gefragte Obersumme O n bzw. die Untersumme U n von f im Intervall [0; 8]. O2 = O4 = U8 = d) Welcher der in c berechneten Werte ist dem Flächeninhalt, den der Graph von f im Intervall [0; 8] mit der x-Achse einschließt am nächsten? Begründe deine Entscheidung. Wert: Begründung: 3,6 4,5 33,6 3,6 2,1 2,1 38,4 4,8 0 4,5 20,4 0 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f 2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 Gegeben ist eine in [2; 10] streng monoton steigende Polynomfunktion f, die in diesem Intervall nur positive Funktionswerte besitzt. U4 bezeichnet die Untersumme von f in [2; 10], wenn das Intervall in vier gleich große Teile unterteilt wird. Kreuze die für U 4 sicher zutreffende Formel an. [1 aus 5] A U4 = f(2) · 2 + f(4) · 2 + f(6) · 2 + f(8) · 2 + f(10) · 2 B U4 = f(2) + f(4) + f(6) + f(8) C U4 = f(2) · 2 + f(4) · 2 + f(6) · 2 + f(8) · 2 D U4 = 2 · (f(2) + f(3) + f(4) + f(7) + f(8)) E U4 = f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + f(10) 27 Eine Funktion f ist in [4; 20] streng monoton steigend und stetig. Es sind folgende Funktionswerte von f gegeben: f(4) = 3 f(5) = 5 f(6) = 7 f(7) = 8 f(8) = 12 f(9) = 13 f(10) = 14 f(11) = 15 f(12) = 17 f(13) = 18 f(14) = 20 f(15) = 23 f(16) = 25 f(17) = 26 f(18) = 29 f(19) = 31 f(20) = 37 Das Intervall [4; 20] wird in n gleich große Teile unterteilt. Berechne die gesuchten Obersummen O n und die gesuchten Untersummen U n. Die Summe deiner Lösungen sollte 1 278 ergeben. U4 = U8 = O 2 = O 4 = 28 Gib eine lineare Funktion f mit folgenden Eigenschaften an: – Die Funktion f besitzt im Intervall [2; 4] nur positive Funktionswerte. – Unterteilt man das Intervall [2; 4] in zwei gleich große Teilintervalle, so gilt für die Obersumme: O 2 = 20 – Unterteilt man das Intervall [2; 4] in zwei gleich große Teilintervalle, so gilt für die Untersumme: U 2 = 16 f(x) = 29 Gegeben ist eine in [2; 5] streng monoton steigende Funktion f mit f(x) = 2· x2 – 3. Berechne, in wie viele gleich breite Teilintervalle das Intervall [2; 5] geteilt werden muss, damit die Differenz der Ober- und Untersummen kleiner als 0,2 wird. 12 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Das bestimmte Integral 30 Fülle die Lücken im angegebenen Text. Verwende dazu die passenden Inhalte, die in der unten stehenden Tabelle angegeben sind. Es müssen nicht alle Angaben der Tabelle verwendet werden. Den Ausdruck : 3 9 f(b)db nennt man von f in [3; 9]. Der Wert dieses Ausdrucks ist jene Zahl, die zwischen allen und von f in [3; 9] liegt. Dabei wird untere Grenze und obere Grenze genannt. Die Integrationsvariable bei diesem Ausdruck ist , f(b) wird als bezeichnet. Besitzt eine Funktion f in [3; 9] keine negativen Funktionswerte und ist f stetig, dann ist der Wert von : 3 9 f(x)dx der , den der Graph von f in [3; 9] mit der x-Achse einschließt. Obersummen 3 Integrand b Flächeninhalt x 9 bestimmtes Integral Funktionswert Untersummen 31 Gegeben sind verschiedene bestimmte Integrale der Form : a b f(x)dx. Onbzw. Un bezeichnet die Obersumme bzw. die Untersumme von f bei Unterteilung des Intervalls [a; b] in n gleich große Teilintervalle. Ergänze die Lücken mithilfe von Technologie und male die Felder mit den zutreffenden Lösungen farbig an. Es entsteht das Bild eines Sonderzeichens. 1) U4 = ª : 1 5 (4 · x – 2)dx ª = O4 2) U6 = ª : 0 3 2 x 2 _ 6 + 1 3 dx ª = O6 3) U6 = ª : 4 8 (x · e0,2) dx ª = O 6 4) U7 = ª : 2 9 2 8 _ x + 2 3 dx ª = O 7 Lösung: Das Bild zeigt ein . 32 Kreuze die beiden zutreffenden Deutungen des Begriffs „bestimmtes Integral von f’’ an. [2 aus 5] Das bestimmte Integral von f ist … A jene Zah®, die zwischen a®®en Untersummen und a®®en Obersummen von f in [a; b] ®iegt. B die Differenz a®®er Ober- und Untersummen von f in [a; b]. C der F®ächeninha®t, den die Funktion f mit der x-Achse einsch®ießt. D der Grenzwert der Obersummen On von f in [a; b] für n ¥ •. E der Grenzwert eines Produktes von Summen. 0,27 26,23 45 11 11,34 32 30,94 23,56 23,04 27,69 4,9 3,78 12,76 24,63 27,74 66 5,43 20 7,1 17,2 34 4,15 48 0,99 13 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
33 In nebenstehender Abbildung ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 _ 8 gegeben. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A : ‒ 4 0 f(x)dx = : 0 4 f(x) dx B : 0 2 f(x)dx < : 3 5 f(x) dx C : ‒ 2 2 f(x)dx = 2 D : 0 3 f(x)dx > : ‒ 5 ‒ 1 f(x) dx E : ‒ 5 5 f(x)dx < : 0 5 f(x) dx 2.2 Produktsummen und das bestimmte Integral Das bestimmte Integral – Deutung als eine Summe von Produkten 34 Gegeben sind die Untersumme (Un) und die Obersumme (On) der Funktion f in [a; b] bei Unterteilung des Intervalls in n gleich große Teile. Ermittle die Zwischensumme dieser Funktion in [a; b], bei welcher die Mittelpunkte der Teilintervalle als Zwischenstellen gewählt werden. Kontrolliere auch die Beziehung Un ª Sn ª On . a) f(x) = ‒ 0,25 · x2 + 0,5 · x + 3 [1; 4] O 3 = 8,5 U3 = 6,25 S3 = b) (x) = 0,5 · x2 + 2 · x + 4 [0; 3] O 6 = 28,19 U6 = 22,94 S6 = Interpretationen 35 In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph einer abschnittsweisen linearen Funktion f dargestellt. Ermittle : 0 6 f(x) dx. 36 In untenstehender Abbildung ist der Graph einer Funktion f gegeben. Gib an, ob man mit dem gegebenen bestimmten Integral : a b f(x)dx den Flächeninhalt, den der Graph von f in [a; b] mit der x-Achse einschließt, ermittle und begründe deine Entscheidung. a) : ‒ 3 1,5 f(x)dx b) : ‒ 2 2 g(x) dx c) : ‒ 1 0 h(x) dx M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 f M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 0 f x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 0 f x g(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 0 g x h(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 h 14 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
37 In ein Becken wird Wasser gepumpt bzw. es wird Wasser aus dem Becken abgesaugt. Die Strömungsgeschwindigkeit v(t) (in ø/min) in Abhängigkeit von der Zeit t (ab 8:00 Uhr in Minuten) ist in der untenstehenden Abbildung dargestellt. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Um 8:00 Uhr ist das Becken leer. B Zwischen 8:20 Uhr und 8:40 Uhr fließt kein Wasser ins Becken. C Um 9:00 Uhr ist das Becken leer. D In den ersten 20 Minuten fließen 2 000 Liter ins Becken. E Zwischen 8:20 Uhr und 8:30 Uhr fließen 2 000 Liter ins Becken. 2.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 38 Ordne jedem Integral das entsprechende Ergebnis aus A bis D zu. 1 : ‒ 2 5 x3 dx 2 : ‒ 3 0 x2 dx 39 Berechne die Integrale und vergleiche die Ergebnisse. Welchen Zusammenhang erkennst du? 1) : ‒ 2 0 x 3 dx 2) : 0 2 x 3 dx 3) : ‒ 2 2 x 3 dx Rechenregeln für bestimmte Integrale 40 Berechne das bestimmte Integral : ‒ 3 2 (x2 – 3 · x + 2)dx und gib an, ob dieser Wert der Flächeninhalt ist, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einschließt. 41 Der Inha®t der F®äche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = ‒ x2 + 6 · x + 9 und der x-Achse im Interva®® [2; b] eingesch®ossen wird, beträgt 51. Ermitt®e b (b > 2). b = M1 AN-R 4.3 t v(t) 20 40 60 80 100 100 200 –200 –100 0 v M1 AN-R 4.2 A 16,66 C 9 B 84,4 D 152,25 15 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
42 Ermittle die gesuchten Werte für a * ℝ+ und ordne die Buchstaben neben den Aufgaben den entsprechenden Lösungen zu, um ein Lösungswort zu erhalten. Lösungswort: 1) : 0 a (5·x – 3)dx = 4 Z 5) : a 6 (x2 – 8)dx = 31,67 E 2) : a 7 (2 · x + 1)dx = 14 I 6) : 3 a (x3 – 20)dx = 23,75 S 3) : ‒ 4 a (‒ x2 + 9)dx = 14,67 R 7) : 9 12 (a · x2 – 3)dx = 990 E 4) : 1 4 (a · x + 5)dx = 52,5 S 8) : a 11 (‒ x3)dx = ‒ 3 060 V 0 1 2 3 4 5 6 7 43 Berechne die Integrale (a, b, c, d * ℝ). a) : a a x dx + : b b x2 dx + : c c (‒ x3) dx – : d d (5 · x – d)dx = b) 2 · : a b (4 · x3 – 5· x2 + 7)dx + : b a (4 · x3 – 5· x2 + 7)dx + : b a (4 · x3 – 5· x2 + 7) dx= c) : a 2 · a (x2 + 6·x – 0,5)dx + : 2 · a 4 a (x2 + 6·x – 0,5)dx + : 4 · a a (x2 + 6 · x – 0,5)dx = Annäherung mittels bestimmter Integrale 44 Eine Sängerin eröffnet einen neuen Youtube-Kanal. Es werden die täglichen Zugriffe auf diesen Kanal in den ersten 10 Tagen durch eine Funktion f mit f(x) = 2 · x2 (f(x) ist die Anzahl der Zugriffe am x-ten Tag) modelliert. 1) a) Berechne, wie viele Zugriffe es nach 10 Tagen insgesamt auf diesem Kanal gegeben hat exakt (nach der Funktion f). b) Veranschauliche deine Berechnungen graphisch in nachstehender Abbildung. 2) a) Berechne, wie viele Zugriffe es nach 10 Tagen insgesamt auf diesem Kanal gegeben hat näherungsweise mithilfe der Integralrechnung. b) Veranschauliche dein Ergebnis graphisch in nachstehender Abbildung. 1) 2) x f(x) 123456789101112 50 100 150 200 250 300 0 f x f(x) 123456789101112 50 100 150 200 250 300 0 f 16 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2.4 Berechnung von Flächeninhalten Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse 45 Ermittle den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion im gegebenen Intervall mit der x-Achse einschließt. a) f(x) = x3 + 3 · x2 – 10 · x [‒ 5; 2] b) f(x) = x4 + x3 – 9 · x2 – 9 · x [‒ 3; 3] 46 In nebenstehender Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades gegeben. Gib einen Term an, mit dem man den Flächeninhalt berechnen kann, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. 47 In untenstehender Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f fünften Grades gegeben. A ist der Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. Die Funktion f ist eine ungerade Funktion. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A A = 2 : ‒ 2 ‒ 1 f(x)dx + | : ‒ 1 0 f(x) dx | 3 · 2 B A = | : ‒ 2 ‒ 1 f(x)dx | C : ‒ 2 2 f(x)dx = 0 D : ‒ 2 ‒ 1 f(x)dx + : ‒ 1 0 f(x)dx < 0 E : ‒ 2 ‒ 1 f(x)dx = : 1 2 f(x) dx 48 In untenstehender Abbildung ist der Graph einer zur y-Achse symmetrischen Funktion f gegeben. A ist der Flächeninhalt, der in der Abbildung markiert ist. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A A = : ‒ 2 2 f(x) dx B A = 2 · : 0 1 f(x)dx – 2 · : 1 2 f(x) dx C A = : ‒ 1 1 f(x)dx + 2 · | : ‒ 2 ‒ 1 f(x)dx | D A = 2 · : ‒ 2 0 f(x) dx E A = : ‒ 2 0 f(x)dx + : 0 2 f(x) dx M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 0 f M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 f M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 0 f 17 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
49 Gegeben ist eine quadratische Funktion f. Ordne die angeführten Integrale den entsprechenden farbig gekennzeichneten Flächeninhalten aus A bis D zu. 1 x f(x) 1 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 f 2 x f(x) 1 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 f 50 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = 3 · sin(x). Ermittle den Flächeninhalt, den der Graph dieser Funktion im Intervall [‒ π; π] mit der x-Achse einschließt. A = M1 AN-R 4.3 A : ‒ 1 1 f(x) dx B | : 0 1 f(x) dx | + : ‒ 1 0 f(x) dx C | : ‒ 1 1 f(x) dx | D 2 : ‒ 1,5 0 f(x) dx M1 AN-R 4.3 18 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen 51 In der untenstehenden Abbildung sind die Graphen zweier Polynomfunktionen f und g dargestellt. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind ganzzahlig. Der Graph von g schneidet die x-Achse bei ‒ 3,8 und bei 0,7. Gib einen Term an, mit dem man den in der Abbildung markierten Flächeninhalt berechnen kann. a) b) A = A = c) d) A = A = e) f) A = A = 52 In der nebenstehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g gegeben, welche einander an den Stellen ‒ 2, 0 und 1 schneiden. Gib eine Formel an, mit welcher man den farbig markierten Flächeninhalt ermitteln kann. x y 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 f g x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 y f g x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 y f g x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 y f g x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 y f g x 2 4 6 –8 –6 –4 –2 2 4 –6 –4 –2 0 y f g M1 AN-R 4.3 x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 2 4 6 8 10 –6 –4 –2 0 f g 19 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Berechnung von Flächeninhalten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
53 Untenstehend sind Funktionen sowie Flächeninhalte gegeben, welche zwischen den Graphen der Funktionen und den Graphen anderer Funktionen liegen. Kreuze an, welche Funktionsgleichung für die jeweilige zweite Funktion in Frage kommt. Die Buchstaben neben den korrekten Lösungen ergeben ein Lösungswort. Lösungswort: 1) f(x) = ‒ x2 + 5 D g(x) = x K g(x) = 2 · x2 + 3 P g(x) = 4 · x2 – 5 A = 21,33 T g(x) = 2 · x + 6 S g(x) = x2 + 4 · x – 1 2) f(x) = ‒ x2 A g(x) = 2 · x2 E g(x) = 8 · x2 + 3 I g(x) = x3 A = 21,33 O g(x) = x2 – 8 U g(x) = x 3) f(x) = ‒ 3 · x2 + 3 · x M g(x) = ‒ 2 · x2 N g(x) = 5 · x2 + 1 H g(x) = 4 · x2 + 3 · x A = 140,63 T g(x) = 18 S g(x) = ‒ 5 · x2 + 18 · x 54 Gegeben ist die ungerade Funktion f mit f(x) = x3 – 4 · x. 1) Ermittle den Wendepunkt der Funktion f und gib die Funktionsgleichung der Wendetangente w an. 2) Berechne : ‒ 1 1 f(x)dx und erkläre das Ergebnis. 3) Berechne den Flächeninhalt, den die beiden Funktionen f und w in [‒1; 1] miteinander einschließen. 55 In untenstehender Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g sowie einige Berechnungsansätze zur Ermittlung des farbig markierten Flächeninhalts gegeben. Kreuze jene beiden sicher zutreffenden Terme an, mit denen man den gesuchten Flächeninhalt berechnen kann. [2 aus 5] A : a c (f(x) – g(x))dx B : a 0 (f(x) – g(x))dx – : 0 c (f(x) + g(x))dx C : a 0 (f(x) – g(x))dx + : 0 c (g(x) – f(x))dx D : a 2 (f(x) – g(x))dx – : 2 c (f(x) – g(x))dx E : a 0 (f(x) – g(x))dx + | : 0 c (f(x) – g(x))dx | Uneigentliche Integrale 56 Berechne das uneigentliche Integral. a) : 2 • ‒ 3 _ x4 dx b) : 1 • ‒ 2 _ x2 dx M1 AN-R 4.3 x y 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –2 0 f g T = (c 1 d) S = (a 1 b) 20 2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.1 Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten können AN-R 4.2 Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, ∫ k · f(x) dx, ∫ f(k · x) dx (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können AN-R 4.3 Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können 57 Der Graph der in der nebenstehenden Abbildung dargeste®®ten Funktion f sch®ießt mit der x-Achse im 1. Quadranten ein F®ächenstück ein. Gib eine Forme® an, mit we®cher man die dargeste®®te Untersumme von f im Interva®® [0; a] ermitte®n kann. 58 Gegeben ist das bestimmte Integral : b 5 · b 3 · xdx. Ermittle, für welches b * ℝ+ dieses Integral gleich 144 ist. 59 Gegeben sind einige bestimmte Integrale der Form : a b f(x)dx. Kreuze jene beiden Integrale an, bei denen der Flächeninhalt beschrieben wird, den der Graph von f in [a; b] mit der x-Achse einschließt. [2 aus 5] A B C D E : 1 3 (‒2·x +1)dx : 3 7 (2 · x + 2)dx : ‒ 3 7 (x3) dx : 0 2 cos(x)dx : ‒ 2 20 dx 60 In der nebenstehenden Abbildung sieht man den Graphen einer Funktion f. Stelle den Flächeninhalt, den f mit der x-Achse in [0; 8] einschließt, mit einem Integral dar. 61 In untenstehender Abbildung sind die Graphen zweier quadratischer Funktionen f und g gegeben. Kreuze jene beiden sicher zutreffenden Integra®e an, mit denen man den von beiden Funktionsgraphen eingesch®ossenen F®ächeninha®t ermitte®n kann. [2 aus 5] A A = : a c (f(x) – g(x))dx B A = 2 · : a c g(x) dx C A = ‒ 2 · : a 0 (f(x) – g(x))dx D A = 4 · : 0 c f(x) dx E A = : a c f(x) dx – : c a g(x) dx x f(x) x1 x2 x3 x4 a 0 f M1 AN-R 4.1 M1 AN-R 4.2 M1 AN-R 4.3 M1 AN-R 4.3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 –1 0 f M1 AN-R 4.3 x y 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 f g c a 21 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
AN-R 4.3 AN-R 4.3 AN-R 4.3 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AN-R 4.3 Teil-2-Aufgaben 62 Schneeschmelze In den ersten Tagen nach der Schneeschmelze lässt sich die Zuflussgeschwindigkeit f (in m3/Tag) des Wassers in ein Staubecken durch die Funktion f mit f(t) = t3 – 30 · t2 + 150 · t (t in Tagen) beschreiben. a) In nebenstehender Abbildung ist der Graph von f in [0; 6,3] dargestellt. 1) Stelle das Integral : 0 4 f(t) dtin der Abbildung farbig dar. 2) Interpretiere den Ausdruck : 0 4 f(t) dtim gegebenen Sachzusammenhang. b) Die Funktion f wird einmal abgeleitet. 1) Zeichne die Ableitungsfunktion von f in die obige Abbildung ein. c) Die Funktion f mit f(t) = t3 – 30 · t2 + 150 · t wird integriert. 1) Stelle eine Stammfunktion F auf. F = 63 Fahrtraining Bei einem Fahrtraining auf einem Übungsplatz benötigt ein Auto für das Befahren einer Teststrecke eine bestimmte Zeit. Die dazugehörige Geschwindigkeitsfunktion vA mit vA(t) = 38 – 3,2 e 2,44 – 0,1 · t beschreibt die Geschwindigkeit (in m/s) des Autos im Zeitintervall [0; 60] (t in Sekunden). Ein Motorrad ist zur gleichen Zeit auf derselben Strecke unterwegs. Seine Geschwindigkeit lässt sich mit der Funktion vM mit vM(t) = 3,33 + 2,2 · e 2,44 – 0,1 (t – 0,24) beschreiben. a) 1) Gib die Bedeutung von t1 an, wenn folgende Gleichung gilt: : 0 20 vA(t)dt = : 0 t1 vM(t) dt b) 1) Ermittle, nach wie vielen Sekunden das Auto einen Kilometer zurückgelegt hat. c) In untenstehender Abbildung sind die Graphen der beiden Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen gegeben. 1) Erkläre die Bedeutung des markierten Flächeninhalts im Kontext. 2) Ermittle den dazugehörigen Wert. KM2 t f(t) 1 2 3 4 5 6 7 100 200 0 f M2 vA(t), vM(t) in m/s 10 20 30 40 50 60 70 t in s 10 20 30 40 50 0 vA vM 22 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung > Weg zur Matura > Tei®-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.1 Volumenberechnungen Volumina von Körpern mit bekannter Querschnittsfläche 64 Die horizontale Querschnittsfläche eines Körpers ist in jeder Höhe z eine geometrische Figur mit der Seitenlänge a(z) = 3 – 1 _ 3 · z 2, wobei z * [0; 3] ist. Ordne jeder Querschnittsfläche das entsprechende Volumen des jeweiligen Körpers aus A bis D zu. 1 Querschnittsfläche: gleichseitiges Dreieck A ≈ 37,4 2 Querschnittsfläche: regelmäßiges Sechseck B ≈ 8,7 C ≈ 6,2 D ≈ 30,9 Volumina von Rotationskörpern 65 In nebenstehender Abbildung ist eine Ellipse gegeben, mit ell: 49 · x2 + 81 · y2 = 3 969. a) Durch Rotation um die x-Achse entsteht ein Ellipsoid. Ergänze die Lücken im Rechengang. 1) Ermittle die Koordinaten der Hauptscheitel. A = ( 1 ) B = ( 1 ) 2) Forme die Ellipsengleichung nach y2 um. y2 = 3) Ermittle das Volumen des Ellipsoids. V = 2 · π · dx = b) Die Ellipse rotiert um die y-Achse. Ermittle das Volumen des entstandenen Ellipsoids. x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 –8 8 10 –6 e®® 3 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
66 Die Innenseite eines Trinkglases entsteht durch Rotation der Parabel p mit p(x) = x2 + 1 um die y-Achse. Das Glas ist 10 cm hoch (siehe nebenstehende Skizze). 1) Berechne, in welcher Höhe über dem Boden im Inneren des Glases die Füllmarke „1/8 Liter“ angebracht ist. 2) Ein Gast eines Heurigen behauptet: „Wenn der Wirt bei 200 Gläsern jeweils nur bis 2 mm unter der „1/8 Liter-Marke“ einschenkt, spart er mehr als einen ganzen Liter.“ Überprüfe diese Behauptung rechnerisch. 3) Die Außenseite des Glases wird durch Rotation der Parabel r(x) = 7 _ 4 · x 2 – 7 um die y-Achse gebildet. Ermittle die Masse des leeren Glases, wenn die Dichte der verwendeten Glassorte 1,8 kg/dm3 beträgt. 3.2 Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von nicht-negativen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg schließen 67 Eine Läuferin startet zum Zeitpunkt t0 einen sechs Sekunden dauernden Sprint. Ihre Geschwindigkeit (in m/s) während des Sprints wird mit der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = t + 3 (t in Sekunden) modelliert. Berechne : 0 6 (t + 3)dt und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. 68 Herr Paimauer ist ein begeisterter Radfahrer. Die nachstehenden Diagramme zeigen die ZeitGeschwindigkeitsfunktionen seiner letzten vier Radtouren. Kreuze die entsprechende Tour an, bei welcher er den längsten Weg zurückgelegt hat. A B C D x p(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 p y g(t) 2 4 6 8 10121416 2 4 6 8 10 0 t g h(t) 2 4 6 8 10121416 2 4 6 8 10 0 t h k(t) 2 4 6 8 10121416 2 4 6 8 10 0 t k t n(t) 2 4 6 8 10121416 2 4 6 8 10 0 n 24 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
69 Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v eines Körpers mit v(t) = ‒ t2 + 3 · t + 1. Ermittle, wann der Körper 20 _ 3 m zurückgelegt hat und markiere den entsprechenden Flächeninhalt in der Abbildung. Von beliebigen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg schließen 70 Eine Schildkröte bewegt sich geradlinig auf einer Bahn. In der untenstehenden Abbildung ist der dazugehörige Graph der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v im Intervall [0; 3] (v in m/h) gegeben. Kreuze die beiden sicher zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A : 0 3 v(t)dt beschreibt den Abstand der Schildkröte vom Startpunkt zum Zeitpunkt t = 3. B : 0 2 v(t)dt + : 2 3 v(t)dt beschreibt den im Zeitintervall [0; 3] insgesamt zurückgelegten Weg der Schildkröte. C : 0 2 v(t)dt beschreibt den im Zeitintervall [0; 2] zurückgelegten Weg der Schildkröte. D Zum Zeitpunkt 2 ist die Schildkröte weiter vom Startpunkt entfernt als zum Zeitpunkt 2,5. E : 0 3 v(t)dt beschreibt den im Zeitintervall [0; 3] zurückgelegten Weg der Schildkröte. Von einer nicht-negativen Zeit-Beschleunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg schließen 71 Bei einem Experiment wird ein motorisiertes Papierflugzeug mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 2 m/s gestartet und anschließend beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist durch a(t) = t (m/s2) gegeben. Ermittle den zurückgelegten Weg im jeweiligen Zeitintervall und trage die Buchstaben neben den Intervallen zu den zutreffenden Lösungen in die Tabelle ein, um ein Lösungswort zu erhalten. Lösungswort: 1) [2; 3] N 3) [0; 2] E 5) [1; 3] G 7) [8; 8] I 2) [1; 4] E 4) [5; 6] E 6) [0; 1] R 17,17 m 5,17 m 5,33 m 2,17 m 8,33 m 0 m 16,50 m M1 AN-R 4.3 t in s v(t) inm/s 1 2 3 4 1 2 3 0 M1 AN-R 4.3 t inh v(t) inm/h 1 2 3 4 1 2 –2 –1 0 v 25 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Von einer beliebigen Zeit-Beschleunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg schließen 72 In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Beschleunigungsfunktion a (a(t) in m/s2) gegeben. Veranschauliche die Geschwindigkeitsänderung (v(t) in m/s) im Intervall [1; 4]. a) b) 73 Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand (s(0) = 0, v(0) = 0). Die Beschleunigung nach t Sekunden bis zu dem Zeitpunkt, an welchem a(t) = 0 gilt, lässt sich durch die Funktion a mit a(t) = 10 – 0,5 · t + 0,005 · t2 (m/s2) beschreiben. 1) Ermittle den Zeitpunkt, zu dem das Fahrzeug mit maximaler Geschwindigkeit fährt. 2) Ermittle die Höchstgeschwindigkeit des Fahrzeugs. 3) Gib den Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit an. 3.3 Naturwissenschaftliche Anwendungen Zusammenhang zwischen Kraft und Arbeit 74 Um eine Stahlfeder zu dehnen benötigt man Kraft. Eine Feder wird aus der Ruhelage x0 = 0 um x mm gedehnt, wofür die Kraft F(x) verwendet wird. Interpretiere den Ausdruck : 0 60 F(x)dx im gegebenen Kontext. 75 Die Federkraft F einer bestimmten Spiralfeder kann im Definitionsbereich [0; 6] durch die Funktionsgleichung F(x) = 3,5 · x beschrieben werden. Zeichne die Arbeit, die man benötigt um eine Feder von der Ausdehnung von 1,5 cm auf 3 cm zu bringen, in das nebenstehende F‑x‑Diagramm ein. M1 AN-R 4.3 t a1(t) 12345678910 1 2 3 4 –2 –1 0 a1 t a2(t) a2(t) = –0,5 · t 2 + 1,5 · t 12345678910 1 2 3 –3 –2 –1 0 a2 M1 AN-R 4.3 M1 AN-R 4.3 x in cm F(x) in Newton 12345678910 5 10 15 20 25 30 35 0 F 26 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
76 In untenstehender Abbildung sind drei F-x-Diagramme von Spiralfedern gegeben. Ermittle die Feder, bei welcher man die meiste Arbeit benötigt hat, um die Feder von der Ruhelage auf 25 cm zu dehnen und kreuze das dazugehörige Diagramm an. Feder 1 Feder 2 Feder 3 Zusammenhang zwischen Leistung und Arbeit 77 Die Leistung P einer Maschine mit P(t) = 3 · t + 5 ist im Zeitintervall [0; 7,5] (t in Stunden) gegeben. Interpretiere folgenden Rechenausdruck: : 0 7,5 (3 · t + 5)dt 78 Eine Maschine arbeitet fehlerhaft. Die Leistung des Geräts nimmt dabei innerhalb eines Arbeitstages (8 Stunden) linear von 9 MJ/h auf 3,5 MJ/h ab. Ermittle die Arbeit, die in diesen acht Stunden von der Maschine verrichtet wird. W = Integral einer momentanen Änderungsrate 79 N(t) gibt die Anzahl von Bakterien nach t Stunden an. Die Änderungsrate N’(t) wird durch die Funktionsgleichung N’(t) = 30 + 400 · t beschrieben. Ermittle die Bakterienzunahme in den gesuchten Zeitintervallen. Ordne die Werte nach der Größe (beginne mit dem kleinsten Wert) und du erhältst ein Lösungswort. 1) [9; 10,5] A 2) [3; 5] T 3) [20; 21] K 4) [20,5; 22] T Lösungswort: 80 Die Funktion k(t) bezeichnet die momentane Änderungsrate des Durchmessers einer Kristalldruse in Millimeter/Jahr. Gegeben ist der Term : 4 7 k(t) dt. Interpretiere diesen Rechenausdruck im Satzzusammenhang. x in cm F(x) in Newton 5 101520253035 5 10 15 20 25 30 35 0 F x in cm F(x) in Newton 5 101520253035 5 10 15 20 25 30 35 0 F x in cm F(x) in Newton 5 101520253035 5 10 15 20 25 30 35 0 F M1 AN-R 4.3 M1 AN-R 4.3 M1 AN-R 4.3 27 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Naturwissenschaftliche Anwendungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3.4 Anwendungen aus der Wirtschaft Kostenfunktion und Grenzkostenfunktion 81 Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,02 · x2 – 5 · x + 400. Kreuze die beiden möglichen zutreffenden Kostenfunktionen an. [2 aus 5] A K(x) = 1 _ 150 · (x 3 – 375· x2 + 60 000 · x) D K(x) = 1 _ 150 · (x 3 – 375· x2) B K(x) = x3 – 375· x2 + 60 000 · x E K(x) = 1 _ 150 · (x 3 + 375· x2 + 60 000 · x) C K(x) = 1 _ 150 · (x 3 – 375· x2 + 60 000 · x + 20 000) 82 In nebenstehender Abbildung ist die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,002 · x2 gegeben. Gib die Änderung der Gesamtkosten an, wenn die Produktion von 50 ME auf 100 ME erhöht wird und stelle den erhaltenen Wert in der Abbildung dar. 83 Eine Firma produziert einen Luxusartikel, von welchem sie maximal 100 ME herstellen will. Die Gleichung der Grenzkostenfunktion ist durch K’(x) = ‒ 0,2 · x + 40 gegeben. Bei der Herstellung von 50 ME betragen die Gesamtkosten 2 550 GE. Ermittle die Kostenfunktion. K(x) = Gewinnfunktion und Grenzgewinnfunktion 84 Gegeben ist die Funktion G’ mit G’(x) = ‒ 2 · x2 + 15 · x + 7, die den Grenzgewinn in einem Betrieb beschreibt. Im Betrieb findet eine Erhöhung der abgesetzten Menge von 4 ME auf 6 ME statt. Gib an, welche Auswirkungen dies auf die Gewinnsituation des Betriebs hat. 85 Gegeben ist der Graph der Funktion g, der den Grenzgewinn G’ in einem Betrieb darstellt. Der Betriebsleiter erwägt eine Erhöhung der abgesetzten Menge von 5 ME auf 8 ME. Stelle den Ausdruck : 5 8 g(x)dx geometrisch dar und deute den Wert des Integrals im gegebenen Sachzusammenhang. M1 AN-R 4.3 x K’(x) 50 100 150 200 50 100 0 K’ M1 AN-R 4.3 x g(x) 2 4 6 8 10 2 4 6 –10 –8 –6 –4 –2 0 g 28 3 Weitere Anwendungen der Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.3 Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können 86 Um eine Stah®feder x cm zu dehnen, benötigt man die Kraft F(x). Interpretiere den Ausdruck : 2 4,5 F(x)dx. 87 h(t) bezeichnet die Höhenänderung einer Pf®anze in Zentimeter nach t Tagen. In der nebenstehenden Abbi®dung sieht man den Graphen der Funktion h’ mit h’(t) = (4 · t)0,5, we®cher die momentane Änderungsrate der Höhe der Pf®anze beschreibt. Veranschau®iche den Wert der Höhenänderung der Pf®anze innerhalb von sieben Tagen in der Abbi®dung. Höhenänderung der Pf®anze: 88 In der nebenstehenden Abbildung ist die Grenzkosten- funktion K’ eines Betriebes gegeben. Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Der Wert des Integra®s (1) gibt (2) des Betriebes an, wenn die Produktion von 50 ME auf 100 ME erhöht wird. (1) (2) : 50 100 K’(x) dx die Grenzkosten : 50 100 K(x) dx die Gesamtkosten : 50 100 K’’(x)dx die Änderung der Gesamtkosten 89 In einer Firma werden Babywippen erzeugt. Die Fixkosten betragen 9 000 GE wöchent®ich, die Grenzkostenfunktion ®autet K’(x) = 0,003 · x2 – 2 · x + 340. Gib die G®eichung der Kostenfunktion an. M1 AN-R 4.3 M1 AN-R 4.3 t h’(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 0 h’ M1 AN-R 4.3 x K’(x) 20 40 60 80 100 120 140 160 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 0 K’ M1 AN-R 4.3 29 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg zur Matura > Tei®-1-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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